9.2.4总体离散程度的估计课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9．2.4　总体离散程度的估计 明确目标 发展素养 结合实例，能用样本估计总体的离散程度，理解离散程度参数(标准差、方差、极差)的统计含义. 通过对标准差、方差的学习，培养数学抽象、数据分析素养. 知识点　总体离散程度的估计 (一)教材梳理填空 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差： 2．总体方差和标准差： (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝____________为总体方差，S＝_____为总体标准 (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝______________ 3．样本方差和标准差： 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝_________________为样本方差，s＝______为样本标准差． 4．标准差的意义： 标准差刻画了数据的__________或__________，标准差越大，数据的离散程度越____；标准差越小，数据的离散程度越_____. (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若两组数据的方差一样大，则说明这两组数据都是相同的． ( ) (2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0. ( ) (3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． ( ) × × √ 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (　　) A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 答案：B 答案：A 题型一　方差和标准差的计算 【学透用活】 [典例1]　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．   甲 乙 丙 丁 x 7 8 8 7 s2 6.3 6.3 7 8.7 答案：B　 2．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案：2 答案： 117.98 题型三　数据的数字特征的综合应用 [探究发现] (1)对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？ 提示：用平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度． (2)对比两组数据时，要从哪几个方面进行？ 提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面 【学透用活】 [典例3]　在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表： 分数 50 60 70 80 90 100 人 数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． 小麦  第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)： 分析以上解答是否正确，若不正确，请指出错误之处，并给出正确解题过程． 提示：以上解答错误，原因是只比较了两种冬小麦的平均产量而忽略了冬小麦产量稳定性的讨论． 班级 平均分 众数 中位数 标准差 高一(1)班 79 70 87 19.8 高一(2)班 79 70 79 5.2 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了．” (2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议． 解析：不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，则由样本方差为4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知，总不满足和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9这组数满 足要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足和为20，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B. 答案：B　 数据x1，x2，…，xn的方差为_______________＝__________，标准差为________________ 5．分层随机抽样的方差： 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为s2＝_________________________________________ 3．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为 (　　) A.　　　　　　　 B．1 C. D．2 [解]　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． [方法技巧] 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．　　 【对点练清】 1．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是 (　　) A．甲　　　　　　　　　 B．乙 C．丙 D．丁 解析：因为乙＝丙>甲＝丁，且s＝s<s<s，故应选择乙进入决赛． 解析：甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90， 乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 题型二　分层随机抽样的方差和标准差 【学透用活】 [典例2]　甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ [解]　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝×60＋×70＝68 kg， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296. [方法技巧] 计算分层随机抽样的方差s2的步骤 (1)确定1，2，s，s； (2)确定； (3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]计算s2.　　 【对点练清】 已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为________． 解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知 20＝[s2＋(1.2－2.4)2]＋[10＋(1.2－1.8)2]＋[8＋(1.2－0.7)2]，解得s2＝117.98，即二线城市的房价的方差为117.98. [解]　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些． (2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝×4 000＝80(分)， 乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝×4 000＝80(分)． s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172， s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256. ∵s<s，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些． (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好． (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好． [方法技巧] 数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析． (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．　　 【对点练清】 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67； 乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75. 经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？ 解：甲的平均成绩和方差如下： 甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，s＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6. 乙的平均成绩和方差如下： 乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，s＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15. 显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛． 若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议． 解：由题意得甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10， 乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10， 由甲＝乙，得甲、乙两种冬小麦的平均产量都为10 t/km2，所以引进甲、乙任意一种都可以． 正解如下： 由题意得甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10， 乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10， s＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02. s＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244. 甲、乙两种冬小麦的平均产量都为10 t/km2，且s< s，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，故推荐引进甲种冬小麦种植． 二、应用性——强调学以致用 2．某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位：分)统计如下表： 解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在25名以后，从名次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏．小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游．(2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数占一半左右，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助．高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 (　　) A．9　　　 B．10　　　 C．11　　　 D．12 $$