精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第一学期 9月月考 数学试卷 考试时间：2024年9月27日18：10-20：10考试时长：120分钟 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 集合满足，则集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 5. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 6. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A. B. C. D. 8. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分.部分答对得部分分数，有错误选项得0分.） 9. 若集合，，满足，则实数的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 集合，则______.（用“”或“”连接） 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 14. 已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 四、解答题（本题5小题，其中第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分.） 15. 已知全集，集合，，求，，． 16. （1）设a、b为实数，比较与的值的大小. （2）已知，求的取值范围； （3）写出集合的所有子集. 17. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 19. 设矩形的周长为，其中．如图所示，把它沿对角线向折叠，折过去后交边于点．设，． （1）将表示成的函数，并求定义域； （2）当长为多少时，的面积最大，并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第一学期 9月月考 数学试卷 考试时间：2024年9月27日18：10-20：10考试时长：120分钟 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 3. 集合满足，则集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为， 则集合可以为共7个， 故选：C. 4. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：， ，所以. 故选：C. 5. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 6. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论. 【详解】因为，，若“，，则， 所以“，”是“”的充分条件； 当，满足，但不满足， 所以“，”不是“”的必要条件. 故选：A. 7. 已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论. 【详解】由,得, 因为, 移项得, 所以, 可得, 由,得, 可得, 可得. 综上所述,不等式成立, 故选:D. 8. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分.部分答对得部分分数，有错误选项得0分.） 9. 若集合，，满足，则实数的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用列举法表示集合，再由得出，对进行分类讨论即可确定的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以当时，，满足，即符合题意； 当时，，要满足，则有或，解得或； 综上所述，的值可能是. 故选：BCD. 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，若，且，则，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 集合，则______.（用“”或“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，若，求出m、n的值，验证是否符合条件即可. 【详解】当时，有，满足. 所以. 故答案为： 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 【答案】16 【解析】 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 14. 已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交集运算求. 【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数， 所以由得，由得， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题（本题5小题，其中第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分.） 15. 已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【解析】 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 16. （1）设a、b为实数，比较与的值的大小. （2）已知，求的取值范围； （3）写出集合的所有子集. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法得到，即可比较. （2）利用待定系数法求出，再由不等式性质得解即可； （3）化简集合写出子集即可. 【详解】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. （2）设， 故，解得，即， 因为，，则， 则，即； （3）因为， 所以的子集为：. 17. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 18. （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【答案】（1） 糖水变甜了得出不等式 设的三边长分别为，则有， 由上述不等式可得：， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以：. （2） 小东买到的糖的平均价格较高，证明如下： 对于小东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克）， 对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克， 故小华买到的糖的平均价格为（元/千克）， ，即小东买到的糖的平均价格较高. 【解析】 【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，利用此结果从而求解； （2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设矩形的周长为，其中．如图所示，把它沿对角线向折叠，折过去后交边于点．设，． （1）将表示成的函数，并求定义域； （2）当长为多少时，的面积最大，并求出最大值． 【答案】（1），定义域为 （2）当长为时，面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】（1）由三角形全等得到，从而由勾股定理推得，同时由线段长度大小得到，由此得解； （2）利用换元法与基本不等式即可求得的面积的最大值，以及此时的长度. 【小问1详解】 根据题意，由，得， 易知，故， 故， 又在中，则， 即，整理得， 又且，即且，故， 所以，定义域为． 【小问2详解】 由（1）得的面积， 令，则， 故， 当且仅当，即，即时，等号成立，故， 故当长为时，面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $