9.3.2 &9.3.3向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示【7大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.3.2 &9.3.3向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示 【考点梳理】 · 考点一：平面向量线性运算的坐标表示 · 考点二：利用坐标求向量的模 · 考点三：由向量线性运算结果求参数 · 考点四：平面向量线性运算解决几何问题 · 考点五：由向量平行（共线）求参数 · 考点六：由向量线性运算解决最值和范围问题 · 考点七：平面向量坐标的综合问题 【知识梳理】 知识一：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识二： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识三　平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 知识四　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识五　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识六：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：平面向量线性运算的坐标表示 1．（2024高一下·全国·）已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 3．（21-22高一下·广东江门·期中）平面内给定两个向量 ， (1)设与的夹角为，求； (2)求. 题型二：利用坐标求向量的模 4．（21-22高一下·山东东营·期中）已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D． 5．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，    (1)用，表示 (2)求线段AM的长度. 6．（21-22高一下·江苏扬州·期中）已知向量，其中 (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 题型三：由向量线性运算结果求参数 7．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 8．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 9．（23-24高一下·北京）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则 ． 题型四：平面向量线性运算解决几何问题 10．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 11．（20-21高三上·江苏扬州·阶段练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A．-4 B．5 C．-5 D．4 12．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 题型五：由向量平行（共线）求参数 13．（24-25高一下·全国）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（24-25高一上·辽宁锦州·期末），若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 15．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型六：由向量线性运算解决最值和范围问题 16．（23-24高一下·广东韶）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 17．（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（20-21高一下·浙江温州·期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：平面向量坐标的综合问题 19．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 20．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 21．（23-24高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高一下·全国）已知，，则（    ） A．8 B． C．28 D．32 23．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 24．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 26．（24-25高三上·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．若在上的投影向量为 30．（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 31．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D．若，则向量在向量上的投影向量为 32．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 33．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若与的夹角为，则 B．若，则 C．若，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 三、填空题 34．（24-25高一下·全国）已知，，则点坐标为 ． 35．（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 36．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 37．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 四、解答题 38．（24-25高一下·全国）已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 39．（24-25高一下·上海·单元测试）已知平面向量，，，且． (1)求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 40．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 41．（23-24高一下·天津）已知：向量，，. (1)求； (2)求，夹角的余弦值； (3)若，求实数k的值. 42．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3.2 &9.3.3向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示 【考点梳理】 · 考点一：平面向量线性运算的坐标表示 · 考点二：利用坐标求向量的模 · 考点三：由向量线性运算结果求参数 · 考点四：平面向量线性运算解决几何问题 · 考点五：由向量平行（共线）求参数 · 考点六：由向量线性运算解决最值和范围问题 · 考点七：平面向量坐标的综合问题 【知识梳理】 知识一：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识二： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识三　平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 知识四　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识五　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识六：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：平面向量线性运算的坐标表示 1．（2024高一下·全国·）已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果. 【详解】因为，故. 故选：D. 2．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标计算公式直接计算； （2）根据向量的线性运算及模长公式直接计算； （3）根据向量的线性运算及数量积公式直接计算. 【详解】（1）由已知，， 得； （2）方法一：，所以； 方法二：， 所以； （3）方法一：因为，，所以； 方法二：. 3．（21-22高一下·广东江门·期中）平面内给定两个向量 ， (1)设与的夹角为，求； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件分别求出与的数量积及模长，利用向量的夹角公式直接代入求解即可； （2）根据向量的坐标运算以及模长公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， ，  ， 所以 ； （2）因为，， 所以， 所以. 题型二：利用坐标求向量的模 4．（21-22高一下·山东东营·期中）已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求出，求模即可. 【详解】∵，，∴， ∴. 故选：C. 5．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，    (1)用，表示 (2)求线段AM的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则． （2）以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意，可求出M点的坐标，利用向量模求得答案． 【详解】（1） 由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O， 所以， 因为M为BO中点， （2） 如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系， 由，，，可求得点C的坐标为，即，    所以，，则，即， 根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为，即 所以，. 所以线段AM的长度为． 6．（21-22高一下·江苏扬州·期中）已知向量，其中 (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题知，，进而计算数量积与模； （2）直接根据向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）解：    ，，= （2）解：由（1）得， ， 与的夹角的余弦值为： 题型三：由向量线性运算结果求参数 7．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 8．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则 ． 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得，可得结果. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    易知， 则， 由可得，解得； 可得. 故答案为： 题型四：平面向量线性运算解决几何问题 10．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 11．（20-21高三上·江苏扬州·阶段练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A．-4 B．5 C．-5 D．4 【答案】B 【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值. 【详解】   由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设， 则 ，当取得最小值5. 故选：B 【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题. 12．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 题型五：由向量平行（共线）求参数 13．（24-25高一下·全国）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的充要条件进行判断． 【详解】A．，共线，不符合题意； B．，共线，不符合题意； C．不存在一个实数使得，不共线，符合题意； D．，共线，不符合题意； 故选：C． 14．（24-25高一上·辽宁锦州·期末），若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值. 【详解】由得， ∵，，∴，解得. 故选：A. 15．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量，根据、的坐标运算可得答案. 【详解】设向量，则，， 因为，， 所以，，解得，， 则. 故选：A. 题型六：由向量线性运算解决最值和范围问题 16．（23-24高一下·广东韶）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解. 【详解】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故答案为：C 17．（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 18．（20-21高一下·浙江温州·期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案 【详解】设，则， ， 所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点， 所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，      则，，因为，所以， 因为，所以， 所以，， 两式相加得， 所以， 因为，所以设， 所以， 因为不共线，所以不共线，所以， 所以，， ， 所以， 故选：A. 题型七：平面向量坐标的综合问题 19．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可； （2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标. 【详解】（1）由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． （2）， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 20．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可； （3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可. 【详解】（1），， ； （2）由，知与夹角的余弦值为； （3）， 由与垂直， 则， 解得. 21．（23-24高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量运算及模的坐标表示计算； （2）由求解； （3）由向量与的数量积大于0且两向量不共线可得． 【详解】（1）由，， 得，故； （2）与垂直， ， ， 整理得：，解得； （3）与的夹角为锐角， ，且与不共线， 即，且， 解得且， 综上：当与的夹角为锐角时，． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高一下·全国）已知，，则（    ） A．8 B． C．28 D．32 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 23．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题意可得，，又，可得，可求. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 24．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 25．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 26．（24-25高三上·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得. 【详解】由，可得， 若若与平行可知， 解得. 故选：A 27．（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故选：C. 28．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 二、多选题 29．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．若在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由已知可得，，故B错误； 因为，又，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 30．（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 【答案】BC 【分析】取，可判断A；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；将垂直关系转化为数量积为零，结合单位向量的定义可求向量坐标，进而判断C；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，则不一定共线，故A错； 对于B选项，两个非零向量和，若，则， 整理可得，故与垂直，故B对； 对于C选项，设与垂直的单位向量为， 由题意可得，解得或， 所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对； 对于D选项，已知向量， 则在上的投影向量为， 所以，，解得，故D错． 故选：BC. 31．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D．若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角的余弦判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，若，则，又，则，C正确； 对于D，若，则，又，于是， 则向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：AC 32．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】BD 【分析】对于A,验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C,移项之后在平方求解即可；对于D,在向量上的投影向量为,据此求解即可. 【详解】对于A,因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B,因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C,因为，所以，即， 所以，所以，解得，故C错误； 对于D,因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 33．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若与的夹角为，则 B．若，则 C．若，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】CD 【分析】利用数量积的运算律求解判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量，， 对于A，与的夹角为，，， 因此，A错误； 对于B，由，得，因此，B错误； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：CD 三、填空题 34．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，则点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设，利用向量的线性坐标运算列式求解即可. 【详解】设，则 ，， 由，得解得故． 故答案为： 35．（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】由向量垂直的性质列方程求，利用向量的模的坐标表示求，再由向量夹角公式求结论. 【详解】因为， 所以，得. 因为，，， 所以. 故答案为：. 36．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【答案】/ 【分析】以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果. 【详解】 如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以， 故答案为：. 37．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. 四、解答题 38．（24-25高一下·全国·课后作业）已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）应用向量的坐标表示的线性运算即可； （2）根据向量的坐标运算结合已知计算即得. 【详解】（1）由已知得，，． ； （2）设为坐标原点． ，，， 又，， ，． 39．（24-25高一下·上海·单元测试）已知平面向量，，，且． (1)求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，根据和，得到方程组，求出，，得到的坐标； （2），利用投影向量的模长公式求出答案. 【详解】（1）设，，故，且， 所以，，故； （2），， 故在上的投影向量的模为． 40．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 【答案】(1)-7 (2)3 【分析】（1）先写出的坐标，再由，求解即可； （2）根据，展开运算，利用配方法，求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. （2）当时，，， 所以＝＝ ＝， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3. 41．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知：向量，，. (1)求； (2)求，夹角的余弦值； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1)； (2)； (3)7. 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示求，结合向量的模长公式即可求解； （2）根据题意求出，代入夹角公式运算即可. （3）先求出，再利用垂直关系的坐标表示，列式求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）依题意，，则， 所以夹角的余弦值为. （3）依题意，， 由，得，解得， 所以实数k的值为7. 42．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可. （2）将问题转化为，利用向量垂直关系求解即可； （3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可. 【详解】（1）  . （2）若，则， 因为，，， 则， 所以. （3））由题可得： ， ， ∵，当时，的最大值为， 当时，最小值为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$