精品解析：湖北省武汉市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度上学期高一期末质量检测 数学试卷 2025.01 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､班级､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，根据交集运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 已知函数，则的增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代换法求正弦型函数的增区间. 【详解】令， 解得， 所以函数的增区间是. 故选：C. 3. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数单调性和，再结合零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为. 故选：B. 5. 一种药在病人血液中会以每小时的比例衰减，这种药在病人血液中低于时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（ ）（，精确到） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结解不等式即可. 【详解】设再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过， 则， 可得， 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过. 故选：A. 6. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：B 7. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦函数性质判断A；利用指数、对数函数及幂函数的单调性判断BCD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，都有，，且， 所以，且， 设任意，则，则， 又，所以， 若，则当时，，则，矛盾， 所以，所以，所以函数是单调递减函数， 所以不等式等价于，所以， 故即，解得. 所以不等式的解集是. 故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数单调性判断A，根据余弦函数单调性判断B，根据诱导公式及同角三角函数关系判断C，根据诱导公式判断D. 【详解】因为在上不单调，所以，则不成立，故A错误； 因为在上单调递减，所以，则成立，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以或，即或，故D错误. 故选：BC 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示： 因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据对数的运算及性质求解. 详解】, 故答案为：6 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 14. 已知，则的最小值为__________. 【答案】##4.5 【解析】 【分析】根据“1”变形技巧，利用基本不等式得解. 【详解】由可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系即可求值； （2）利用同角三角函数的基本关系化简，再结合是第三、四象限角求解即可. 【详解】（1）原式， 又，所以原式； （2）因为①， 两边平方得， 因为②，所以③， ②+③得， 即，所以， 因为是第三、四象限角，所以， 所以， 所以④， 联立①④，解得，， 所以. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得a的方程，解方程即可得解； （2）由函数的单调性得不等式组，解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 因为，所以， （2）因为，不等式， 所以， 即①， 因为在上单调递减， 所以①等价于， 由②得，解得， 由③得，解得， 取交集得不等式解集是. 17. 已知函数，且. （1）求的最小正周期和的值； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，且，求的取值集合. 【答案】（1）， （2）最大值，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）由周期公式直接求周期，由得方程，结合的范围即可得解. （2）由的范围结合的性质即可求解； （3）由得，结合正弦函数性质得不等式，结合解该不等式即可求解. 【小问1详解】 的最小正周期， 因为，所以，即， 所以，又，所以取，. 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，即时，取得最大值， 因为， 所以，即时，取得最小值； 【小问3详解】 由得， 所以， 所以， 又，所以只能取，得， 即. 18. 已知定义在上的函数. （1）若，求的值域； （2）是否存在，使是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）存在 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用指数函数的性质即可得出值域； （2）根据函数为奇函数利用求，再检验即可； （3）根据函数为减函数，利用单调性定义转化为成立，再由指数函数单调性得解. 【小问1详解】 当，， 设，则， 因为，所以， 所以，即的值域是， 【小问2详解】 若是定义在上的奇函数， 则，即， 所以，即， 此时，， 所以， 所以存在，使为奇函数. 【小问3详解】 因为在上单调递减，设，且， 则，即， 因为， 所以， 因为，所以 因为，所以只需 即， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：函数变形时，需要对指数的运算熟练且变形能力强，对运算能力要求较高. 19. 已知函数. （1）求的零点； （2）设函数的最大值为，求的解析式； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由得，解该方程即可得解； （2）先由题设得，构造函数，分、和三种情况结合二次函数单调性分析讨论即可求解. （3）求出最小值和的最小值即可求解. 【小问1详解】 令，则， 所以的零点是. 【小问2详解】 ， 设，则，， 由二次函数在上的单调性可知 当即时，； 当即时，； 当即时，， 所以. 【小问3详解】 由条件可知的最小值不小于的最小值， 因为，所以的最小值是， ， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期高一期末质量检测 数学试卷 2025.01 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､班级､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的增区间是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A B. C. D. 5. 一种药在病人血液中会以每小时比例衰减，这种药在病人血液中低于时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（ ）（，精确到） A. B. C. D. 6. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（ ） A. B. C. D. 7. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C D. 8. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13 已知，则__________. 14. 已知，则的最小值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，解不等式. 17. 已知函数，且. （1）求的最小正周期和的值； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，且，求的取值集合. 18. 已知定义在上的函数. （1）若，求的值域； （2）是否存在，使是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的零点； （2）设函数的最大值为，求的解析式； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $