9.2.2&9.2.3 向量的数乘 向量的数量积【6大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.2.2&9.2.3　向量的数乘 向量的数量积 【考点梳理】 · 考点一：向量的数乘运算 · 考点二：平面向量的混合运算 · 考点三：向量的线性运算的几何应用 · 考点四：三角形的心的向量表示 · 考点五：向量的数量积的定义和几何意义 · 考点六：数量积的运算 · 考点七：数量积和模关系问题 · 考点八：向量夹角的计算 · 考点九：垂直关系的向量表示 · 考点十：求向量投影 · 考点十一：向量的数量积综合问题 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（    ）．    A． B． C． D． 题型二：平面向量的混合运算 4．（24-25高一下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 6．（22-23高一·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·河南新乡·期中）在中，边上的中线为，点满足，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角形的心的向量表示 10．（22-23高一下·上海虹口·期中）若所在平面内一点P满足，则P是的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 11．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 12．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 题型五：向量的数量积的定义和几何意义 13．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（    ） A． B． C． D． 题型六：数量积的运算 16．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 17．（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 18．（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知中，，，O是内一点，且满足，则（    ） A．26 B． C．13 D． 题型七：数量积和模关系问题 19．（23-24高一下·云南昭通）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·山东）已知向量满足，且，则（   ） A． B．2 C．10 D． 21．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 题型八：向量夹角的计算 22．（23-24高一下·天津·期中）已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高三上·山西太原·期末）已知向量，，满足，，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 题型九：垂直关系的向量表示 25．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 26．（2024·四川宜宾·一模）已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 题型十：求向量投影 28．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 29．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 30．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 题型十一：向量的数量积综合问题 31．（24-25高一下·全国）已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 32．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 33．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，，. (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若是内一点，且满足，求的最小值. 【高分演练】 一、单选题 34．（24-25高一下·全国）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 35．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 36．（24-25高一下·全国）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的有（   ） ①在上的投影为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（2025·浙江·模拟预测）已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·全国）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 39．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 40．（24-25高二上·湖北）已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·广东茂名）在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 42．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 43．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 44．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 45．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 46．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．非零向量，，满足且与同向，则 B．若，则与的夹角θ的范围是 C．非零向量，，满足，则与的夹角为30° D．在中，若，则为等腰三角形 三、填空题 47．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，在上的投影的数量为6，则 ． 48．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的夹角为，是的中点，则 ． 49．（2024高三·全国·专题练习）设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 50．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 四、解答题 51．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 52．（24-25高一下·全国）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 53．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 54．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．    (1)若，求； (2)若，且，求实数λ的值． 55．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2.2&9.2.3　向量的数乘 向量的数量积 【考点梳理】 · 考点一：向量的数乘运算 · 考点二：平面向量的混合运算 · 考点三：向量的线性运算的几何应用 · 考点四：三角形的心的向量表示 · 考点五：向量的数量积的定义和几何意义 · 考点六：数量积的运算 · 考点七：数量积和模关系问题 · 考点八：向量夹角的计算 · 考点九：垂直关系的向量表示 · 考点十：求向量投影 · 考点十一：向量的数量积综合问题 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 2．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 3．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，由求解. 【详解】解：因为在平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，且，， 所以 ， 所以， 故选：C 题型二：平面向量的混合运算 4．（24-25高一下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 6．（22-23高一·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取BC中点F，先征得四边形为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可. 【详解】取BC中点F，连接AF，如图所示，    又因为，， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以 . 故选：D. 8．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解． 【详解】因为， 所以，即， 又的中点为E， 所以， 故选：D． 9．（23-24高一下·河南新乡·期中）在中，边上的中线为，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算即可. 【详解】   为的中点， ， . 故选：A. 题型四：三角形的心的向量表示 10．（22-23高一下·上海虹口·期中）若所在平面内一点P满足，则P是的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】设中点为D，根据向量等式结合向量的线性运算可推出点共线。，结合三角形重心性质，可得答案. 【详解】设中点为D，    由可得， 即点共线，且，则P为的重心. 故选：C 11．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】，到三个顶点的距离相等，所以为外心； ，，所在直线经过中点，与中线共线，同理可得，分别与，边的中线共线，是三角形中三条中线的交点，是重心； ，，，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心. 故选：C. 12．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 题型五：向量的数量积的定义和几何意义 13．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 15．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，根据条件得到，利用数量积的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为， 如图，取中点，又，所以，即， 结合平面向量数量积的几何意义，又，得到， 故选：B. 题型六：数量积的运算 16．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】利用向量的数量积的运算律求得，利用向量的夹角公式可求得，可求与的夹角. 【详解】由，可得，即 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以与的夹角为. 故选：C. 17．（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 18．（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知中，，，O是内一点，且满足，则（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】A 【分析】由题意，得出点为三角形的外心，根据外心的性质及数量积运算求解即可. 【详解】由，可知O是的外心，如图所示，过点作， 则，分别为，的中点，则， 所以， 故选：A 题型七：数量积和模关系问题 19．（23-24高一下·云南昭通）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入计算可得结果. 【详解】∵，且，间的夹角为， ∴. 故选：C. 20．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知向量满足，且，则（   ） A． B．2 C．10 D． 【答案】A 【分析】先利用向量数量积的定义求出，再由向量数量积的运算律求得. 【详解】因，且，则， 故. 故选：A. 21．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 题型八：向量夹角的计算 22．（23-24高一下·天津·期中）已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长公式，即可结合数量积的定义代入求解. 【详解】由可得， 将，代入可得， 所以，故，由于，所以， 故选：A 23．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积公式求出，进而由夹角余弦公式求出答案 【详解】，故， 则，所以与的夹角等于. 故选：D 24．（22-23高三上·山西太原·期末）已知向量，，满足，，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果 【详解】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 题型九：垂直关系的向量表示 25．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为单位向量，所以， 又因为， 所以， 则， 所以. 故选：C. 26．（2024·四川宜宾·一模）已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解. 【详解】由已知，即， 又，则， 解得，， 故选：A. 27．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律及模的性质化简求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即①， 又，所以②， 由①②可得，， 即. 故选：C 题型十：求向量投影 28．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求解即得. 【详解】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 29．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】代入投影向量公式，结合数量积公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 30．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 题型十一：向量的数量积综合问题 31．（24-25高一下·全国）已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量的定义及运算律，结合垂直关系的向量表示列式计算即得. （2）利用（1）中信息，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 即，解得， 所以当时，． （2）当时，，，由（1）知，， ， ， 所以． 32．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 33．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，，. (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若是内一点，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）先转化表示数量积，再结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）， ， （2）设， ， ， ， ， ， 解得； （3）， 所以， ， ， ， ， ，，、、三点共线， ， 当且仅当即为中点时取等号， 而， 所以的最小值为. 【高分演练】 一、单选题 34．（24-25高一下·全国）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 35．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】根据向量共线定理一一分析即可. 【详解】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 36．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的有（   ） ①在上的投影为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据投影公式判断①，应用平面向量数量积公式定义判断②，根据向量数量积平方计算判断③，应用向量的垂直判断④. 【详解】在上的投影是一个向量，故①不正确； 故②不正确； ，故③正确； 如图所示，设，作平行四边形，则为菱形．则． 故④正确. 故选：B. 37．（2025·浙江·模拟预测）已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用向量垂直关系及数量积的运算律可得，即可得答案. 【详解】由题设，，， 所以，即向量与的夹角为. 故选：C 38．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 39．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 40．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量和满足，由在上的投影向量为， 得，所以在上的投影向量为. 故选：D 41．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合向量的运算分析可知，再结合数量积可得，即可得结果. 【详解】设，， 则、均为单位向量，且与同向，与同向， 可知与的角平分线的方向向量共线， 因为，可知的角平分线与垂直， 即的角平分线与高线重合，所以为等腰三角形，且， 又因为， 且，可得， 则边上的高为，. 所以的周长为. 故选：B. 二、多选题 42．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据向量间关系判断向量平行关系判断A,B,C,假设向量共线求参法判断D. 【详解】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量． A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线； B中，因为，所以与共线； C中，因为，所以与共线； D中，若与共线，则存在实数，使， 即，所以． 因为，是不共线向量， 所以，方程组无解， 所以与不共线. 故选：BC. 43．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D. 【详解】由于， 又因为，所以，故，故B正确，A错误； 因为，故， 又，故，所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 44．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，利用向量垂直的充要条件判断即得；对于B，根据投影向量的定义易得；对于C，利用向量数量积的运算律计算求得即可排除；对于D，利用向量数量积的运算律计算推得即可排除. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确； 对于C，由，解得，因，故，即C错误； 对于D，由，得，即，故，即D错误. 故选：AB. 45．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正六边形的性质，结合向量加法，模长，数量积定义可解. 【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误. 对于B, ,故B正确. 对于C，,故C正确. 对于D，,, 根据正六边形性质知道，且. 故.故D错误. 故选：BC． 46．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．非零向量，，满足且与同向，则 B．若，则与的夹角θ的范围是 C．非零向量，，满足，则与的夹角为30° D．在中，若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】对于A,向量不能比较大小判断，对于B, 运用数量积就定义得到，则夹角范围是判断，对于C, 运用模长公式，结合数量积和夹角公式计算判断，对于D, 因为表示与的平分线共线的向量，结合数量积判断垂直即可. 【详解】对于A,向量不能比较大小，则A错误． 对于B, ，则，则夹角范围是，则B正确. 对于C, 由，可得， 可得，可得 又由，可得，则C正确. 对于D, 因为表示与的平分线共线的向量，又，可得的平分线与垂直，所以为等腰三角形，则D正确. 故选：BCD. 三、填空题 47．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，在上的投影的数量为6，则 ． 【答案】30 【分析】利用向量投影数量的计算公式以及向量的模长、结合数量积定义计算求解. 【详解】. 故答案为：. 48．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的夹角为，是的中点，则 ． 【答案】 【分析】首先利用基底表示向量，再利用数量积公式求. 【详解】， 所以， 则. 故答案为： 49．（2024高三·全国·专题练习）设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以. 故答案为：. 50．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 【答案】/ 【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 四、解答题 51．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 52．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 【答案】(1) (2) (3)-4 【分析】（1）应用平面向量的数量积公式计算即可； （2）应用投影数量的公式计算即可； （3）应用投影数量的公式计算即可. 【详解】（1）． 为直角三角形，且． ． （2）． （3） 53．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，所以，将代入可得，再由数量积的定义求得，代回即可求解； （2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且， 所以， 则， 故当时，最小为， 此时， 则， 又， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 54．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．    (1)若，求； (2)若，且，求实数λ的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再用中线的向量表达式，结合数量积计算即可； （2）运用垂直的向量结论，再结合基底，运算即可. 【详解】（1）由已知，，夹角为，可得． 因为，所以可得． 所以； （2）因为， 则 ，所以. 55．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i），；（ii）3，；；. (2). 【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得； （2）由数量积结合二次函数即可求得. 【详解】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$