5.2.1 第2课时 三角函数值的符号及公式一 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 5.2.1 第2课时　 三角函数值的符号及公式一 学习目标 1.熟练掌握三角函数值在各象限的符号．　2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题． 3．通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力． ‹#› 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 在平面直角坐标系Oxy中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)． 思考1　根据三角函数的定义，三角函数值的符号与什么有关系？ 提示：与点P的横纵坐标的符号有关． 新知学习 探究 返回导航 思考2　如图，角α的终边OP绕原点O旋转无数周后的三角函数值与α对应的三角函数值相等吗？ 有什么规律？ 提示：相等；成周期性变化，每转一周，重复一次． 新知学习 探究 返回导航 一二 三四 一四 二三 一三 二四 新知学习 探究 返回导航 (1)设角α的始边为x轴的非负半轴，则“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)tan 125°sin 223°________0.(填“>”或“<”) 【解析】　因为125°是第二象限角，所以tan 125°<0；223°为第三象限角，所以sin 223°<0， 所以tan 125°sin 223°>0. > 新知学习 探究 返回导航 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限； (2)定符号：利用三角函数值的符号变化规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．　 解题技巧 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知tan x<0且cos x<0，则角x的终边在第__________象限． 解析：由tan x<0，得角x的终边在第二、四象限，因为cos x<0，所以角x的终边在第二、三象限或x轴非正半轴上，由于上述条件要同时成立，所以角x的终边在第二象限． 二 新知学习 探究 返回导航 相等 sin α cos α　 tan α 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°－cos 360°. 【解】　sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°－cos 360° ＝sin (2×360°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)＋tan (3×360°＋45°)－cos (360°＋0°) ＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°－cos 0°＝1＋1＋1－1＝2. 新知学习 探究 返回导航 利用公式一求解任意角的三角函数值的步骤 解题技巧 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)－395°； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 对于绝对值较大的角先利用公式一转化为[0，2π)范围内的角，然后再判断符号．　 解题技巧 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)在平面直角坐标系中，点P(tan 2 024°，sin 2 024°)位于第________象限． 解析：tan 2 024°＝tan (5×360°＋224°)＝tan 224°>0，sin 2 024°＝sin (5×360°＋224°)＝sin 224°<0，所以P(tan 2 024°，sin 2 024°)在第四象限． 四 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)设α＝210°＋k·360°(k∈Z)，则下列判断正确的是(　　) A．sin α>0 B．tan α>0 C．cos α<0 D．sin αcos α<0 解析：由题易知α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，sin αcos α>0.故选BC. √ √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 0 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：三角函数值在各象限的符号、诱导公式一． 2．须贯通：公式一的作用是把绝对值比较大的角转化为[0，2π)范围内的角． 3．应注意：(1)角α终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定； (2)公式一的结构特征．　 课堂小结 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(一　三角函数值的符号) 如图所示： 正弦：eq \o(□,\s\up1(1))________象限正，eq \o(□,\s\up1(2))________象限负． 余弦：eq \o(□,\s\up1(3))________象限正，eq \o(□,\s\up1(4))________象限负． 正切：eq \o(□,\s\up1(5))________象限正，eq \o(□,\s\up1(6))________象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【解析】　当sin α>0时，取α＝eq \f(π,6)，满足sin α>0，但此时角α的终边在第一象限，即充分性不成立； 当角α的终边在第二象限时，则终边上的任一点纵坐标都大于0，故sin α＝eq \f(y,r)>0，即必要性成立； 所以“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的必要不充分条件．故选B. [跟踪训练1] (1)当x为第四象限角时，eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cos x|,cos x)＋eq \f(|tan x|,tan x)＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：由x为第四象限角，则sin x<0，cos x>0，tan x<0，所以eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(|cos x|,cos x)＋eq \f(|tan x|,tan x)＝eq \f(sin x,－sin x)＋eq \f(cos x,cos x)＋eq \f(－tan x,tan x)＝－1.故选B. eq \a\vs4\al(二　公式一) 终边相同的角的同一三角函数的值eq \o(□,\s\up1(1))________，如下(其中k∈Z )． sin(α＋k·2π)＝eq \o(□,\s\up1(2))________， cos(α＋k·2π))＝eq \o(□,\s\up1(3))________， tan(α＋k·2π))＝eq \o(□,\s\up1(4))________. 　求下列各式的值： (1)cos eq \f(25π,3)＋tan (－eq \f(15π,4))； 【解】　cos eq \f(25π,3)＋tan(－eq \f(15π,4))＝cos(8π＋eq \f(π,3))＋tan(－4π＋eq \f(π,4))＝cos eq \f(π,3)＋tan eq \f(π,4)＝eq \f(3,2). [跟踪训练2] (1)sin eq \f(17π,4)的值为(　　) A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2) 解析：sineq \f(17π,4)＝ sin(4π＋eq \f(π,4))＝sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).故选D. (2)求值：eq \r(3)cos 420°＋tan (－330°)－sin 780°＝________． eq \f(\r(3),3) 解析：eq \r(3)cos 420°＋tan (－330°)－sin 780°＝eq \r(3)cos (360°＋60°)＋tan (－360°＋30°)－sin (360°×2＋60°)＝eq \r(3)cos 60°＋tan 30°－sin 60°＝eq \r(3)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),3)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3). 三　三角函数值的符号与公式一的综合应用 　确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号． (1)885°； 【解】　因为885°＝2×360°＋165°，则885°和165°终边相同，又165°为第二象限角，则885°也是第二象限角， 所以sin 885°>0，cos 885°<0，tan 885°<0. 【解】　因为－395°＝－2×360°＋325°，则－395°和325°终边相同，又325°为第四象限角，则－395°也是第四象限角，所以sin (－395°)<0，cos (－395°)>0，tan (－395°)<0. (3)eq \f(19π,6)； 【解】　因为eq \f(19π,6)＝2π＋eq \f(7π,6)，则eq \f(19π,6)和eq \f(7π,6)终边相同， 又eq \f(7π,6)为第三象限角，则eq \f(19π,6)也是第三象限角， 所以sin eq \f(19π,6)<0，cos eq \f(19π,6)<0，tan eq \f(19π,6)>0. (4)－eq \f(59π,17). 【解】　因为－eq \f(59π,17)＝－4π＋eq \f(9π,17)，则－eq \f(59π,17)和eq \f(9π,17)终边相同，又eq \f(9π,17)为第二象限角，所以－eq \f(59π,17)为第二象限角，所以sin (－eq \f(59π,17))>0，cos (－eq \f(59π,17))<0，tan (－eq \f(59π,17))<0. [跟踪训练3] (1)若α＝eq \f(40π,7)，则(　　) A．sin α>0且cos α>0 B．sin α>0且cos α<0 C．sin α<0且cos α>0 D．sin α<0且cos α<0 解析：由α＝eq \f(40π,7)＝4π＋eq \f(12π,7)，即α为第四象限角， 所以sin α<0且cos α>0.故选C. 1．(教材P182T5改编)sin 1 500°＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：sin 1 500°＝sin (4×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).故选B. 3．sin eq \f(13π,6)＋cos eq \f(13π,3)－tan (－eq \f(23π,4))＝________． 解析：sin eq \f(13π,6)＋cos eq \f(13π,3)－tan (－eq \f(23π,4)) ＝sin (2π＋eq \f(π,6))＋cos (4π＋eq \f(π,3))－tan (－6π＋eq \f(π,4))＝sin eq \f(π,6)＋cos eq \f(π,3)－tan eq \f(π,4) ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0. 4．(教材P182T3改编)确定下列正弦、余弦、正切值的符号． (1)sin eq \f(7π,12)； 解：因为eq \f(7π,12)是第二象限角， 所以sineq \f(7π,12)>0. (2)cos (－465°); 解：因为－465°＝－2×360°＋255°，即－465°是第三象限角，所以cos (－465°)<0. (3)tan eq \f(11π,3). 解：因为eq \f(11π,3)＝2π＋eq \f(5π,3)，即eq \f(11π,3)是第四象限角，所以tan eq \f(11π,3)<0. $$