5.2.1 第1课时 三角函数的定义 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5．2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 第1课时　三角函数的定义 学习目标 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．　2.会利用任意角的三角函数的定义求值． ‹#› 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 提示：不变． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 思考2　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆⊙O的交点是P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 y　 sin α x cos α tan α ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 单位圆法求三角函数的步骤 (1)先求出角的终边与单位圆交点的坐标； (2)再利用任意角的三角函数的定义求解．　 解题技巧 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(变式)将本例中的“已知角α的终边经过点P(4，－3)”变为“设函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P，且点P在角α的终边上”，求cos α＋sin α＋1的值． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 2．(变式)将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin θ，cos θ，tan θ的值． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 解题技巧 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tan α= _． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (2)若角α的终边在直线3x＋y＝0上，则cos α＝_________________． ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，这两类角的终边与单位圆的交点关于原点对称，求解时应注意分类处理．　 解题技巧 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 1 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 4．已知角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，求sin α，cos α，tan α的值． ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 课堂小结 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示． 定义sin α＝eq \f(对边,斜边)，cos α＝eq \f(邻边,斜边)，tan α＝eq \f(对边,邻边). 思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝eq \f(y,x)；能． eq \a\vs4\al(一　任意角的三角函数的定义) 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 把点P的纵坐标eq \o(□,\s\up1(1))______叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝eq \o(□,\s\up1(2))________ 余弦 把点P的横坐标eq \o(□,\s\up1(3))____叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝eq \o(□,\s\up1(4))________ 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \o(□,\s\up1(5))______叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝eq \o(□,\s\up1(6))______(x≠0)．其比值为函数值的函数，称为正切函数 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 eq \f(y,x) 【解】　如图，圆O为单位圆， 在Rt△OMP中， ∠MOP＝eq \f(π,4)⇒|OM|＝|MP|＝eq \f(\r(2),2)， ⇒P(－eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2))，所以sin eq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)， cos eq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，tan eq \f(5π,4)＝1. 　(对接教材例1)求eq \f(5π,4)的正弦、余弦和正切值． [跟踪训练1] (1)设角α的终边与单位圆的交点坐标为(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))，则cos α＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1 解析：因为角α的终边与单位圆的交点坐标为(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))，所以cos α＝eq \f(\r(3),2).故选C. (2)角eq \f(π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是________． (eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)) 解析：因为sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，所以角eq \f(π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))． eq \a\vs4\al(二　坐标法求三角函数值) 设直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离为r(r＞0)，r＝eq \r(x2＋y2)，则任意角α的三角函数的定义如下表： 三角函数 定义 表示式 定义域 sin α eq \f(y,r) sin α＝eq \f(y,r) R cos α eq \f(x,r) cos α＝eq \f(x,r) R tan α eq \f(y,x) tan α＝eq \f(y,x) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z)) 　已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α＋1的值为(　　) A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(6,5) D．－eq \f(6,5) 【解析】　根据题意，r＝|OP|＝eq \r(42＋（－3）2)＝5，所以sin α＝－eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)，所以cos α＋sin α＋1＝eq \f(4,5)＋(－eq \f(3,5))＋1＝eq \f(6,5).故选C. 解：对于函数f(x)＝ax＋1＋1，令x＋1＝0，所以x＝－1，f(－1)＝2，故f(x)＝ax＋1＋1的图象过定点P(－1，2)，r＝|OP|＝eq \r(（－1）2＋22)＝eq \r(5)，所以cos α＝－eq \f(1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)，sin α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，所以cos α＋sin α＋1＝－eq \f(\r(5),5)＋eq \f(2\r(5),5)＋1＝eq \f(\r(5)＋5,5). 解：当a>0时，sin θ＝eq \f(－3a,\r(（4a）2＋（－3a）2))＝－eq \f(3,5)，cos θ＝eq \f(4a,\r(（4a）2＋（－3a）2))＝eq \f(4,5)， tan θ＝eq \f(－3a,4a)＝－eq \f(3,4)； 当a<0时，sin θ＝eq \f(－3a,\r(（4a）2＋（－3a）2))＝eq \f(3,5)，cos θ＝eq \f(4a,\r(（4a）2＋（－3a）2))＝ －eq \f(4,5)， tan θ＝eq \f(－3a,4a)＝－eq \f(3,4). 综上所述，tan θ＝－eq \f(3,4)； 当a>0时，sin θ＝－eq \f(3,5)，cos θ＝eq \f(4,5)；当a<0时，sin θ＝eq \f(3,5)，cos θ＝－eq \f(4,5). 坐标法求三角函数值的步骤 (1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)； (2)根据sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)，求出三角函数值．　 [跟踪训练2] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(2eq \r(3)，－2)，则cos θ＝(　　) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：因为角θ的终边过点P(2eq \r(3)，－2)，所以P到原点的距离r＝ eq \r(（2\r(3)）2＋（－2）2)＝4，由三角函数的定义知cos θ＝eq \f(x,r)＝eq \f(\r(3),2).故选A. eq \f(1,3) 解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)， 点A在角α的终边OP上，由三角函数的定义可得tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(1,3). eq \a\vs4\al(三　三角函数概念的综合应用) 　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(3\r(10),10)，则y＝(　　) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 【解析】　因为sin θ＝－eq \f(3\r(10),10)<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得eq \f(y,\r(y2＋1))＝－eq \f(3\r(10),10)，解得y＝－3(正值已舍去)．故选A. eq \f(\r(10),10)或－eq \f(\r(10),10) 【解析】　因为角α的终边在直线3x＋y＝0上，所以角α的终边在第二象限或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，在角α的终边上取一点P(－1，3)， 则点P到原点的距离r＝eq \r(（－1）2＋32)＝eq \r(10)，所以cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－1,\r(10))＝－eq \f(\r(10),10). 当角α的终边在第四象限时，在角α的终边上取一点P′(1，－3)， 则点P′到原点的距离r′＝eq \r(12＋（－3）2)＝eq \r(10)，所以cos α＝eq \f(1,\r(10))＝eq \f(\r(10),10). 综上，cos α＝eq \f(\r(10),10)或cos α＝－eq \f(\r(10),10). [跟踪训练3] (1)已知角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝－eq \f(3,4)，则cos α的值是(　　) A.eq \f(3,5) B．－eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 解析：因为角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝eq \f(m,－4)＝－eq \f(3,4)，解得m＝3，即点P(－4，3)，由三角函数的定义可得cos α＝eq \f(－4,\r(（－4）2＋32))＝－eq \f(4,5).故选B. (2)请写出终边落在射线y＝eq \r(3)x(x≥0)上的一个角______________________． (用弧度制表示) eq \f(π,3)(答案不唯一) 解析：设θ的终边落在射线y＝eq \r(3)x(x≥0)上，则θ为第一象限角，取y＝eq \r(3)x(x≥0)上的一个点A(1，eq \r(3))，根据三角函数的定义可得，tan θ＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，所以可取θ＝eq \f(π,3). 1．(教材P179T1改编)sin eq \f(7π,4)＝(　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(1,2) 解析：在平面直角坐标系中作∠AOB＝eq \f(7π,4)，在终边OB上取点P，使OP的长为1. 由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角为∠POA＝eq \f(π,4)， 因此可得点P的坐标为(eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2))， 所以sin eq \f(7π,4)＝－eq \f(\r(2),2).故选C. 2．(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P(eq \f(3,5)，eq \f(m,5))，则sin α的值可能是(　　) A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C．－eq \f(4,5) D．－eq \f(3,5) 解析：由题意可得sin α＝eq \f(\f(m,5),\r(（\f(3,5)）2＋（\f(m,5)）2))＝eq \f(m,5)，解得m＝±4. 当m＝4时，sin α＝eq \f(4,5)； 当m＝－4时，sin α＝－eq \f(4,5). 故A，C正确，B，D错误．故选AC. 3．(教材P180T4改编)已知平面直角坐标系Oxy，点P在半径为2的圆O上，现点P从圆O与y轴非负半轴的交点A出发按顺时针方向运动了eq \f(1,6)圆周，则此时点P的纵坐标为________． 解析：由题意，点P顺时针旋转了60°，故∠xOP＝30°，sin∠xOP＝eq \f(1,2)， 所以yP＝2sin∠xOP＝1. 解：因为角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，所以令x＝5a，y＝12a(a<0)， 所以P到原点的距离r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(（5a）2＋（12a）2)＝13|a|， 因为a<0，所以r＝－13a， 所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(12a,－13a)＝－eq \f(12,13)，cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(5a,－13a)＝－eq \f(5,13)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(12a,5a)＝eq \f(12,5). 1．已学习：三角函数的概念、三角函数值的求法． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：角α的正切函数有意义需满足{α|α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}．　 $$