第17章 一元二次方程 章节模拟试卷2024-2025学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学八年级下册《第17章 一元二次方程》章节模拟试卷 （满分150分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1.下列方程中一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的一个根是，则的值为    ． A. B. C. 或 D. 3.若关于的方程不存在实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知关于的一元二次方程，有下列命题：，则；若一元二次方程的两根为和，则；若一元二次方程有两个不相等的实数根，则一元二次方程必有两个不相等的实数根，其中真命题的个数是(    ) A. B. C. D. 5.用配方法解方程时，配方后所得的方程为(    ) A. B. C. D. 6.等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 7.已知，那么的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不确定 8.市场上鸡蛋的价格经过连续两次降价后，售价由元千克下调到元千克设平均每次降价的百分率为，则下列所列方程中正确的是(    ) A. B. C. D. 9.我省年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，年增速位居全国第一若年的快递业务量达到亿件，设年与年这两年的平均增长率为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花如图，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共20分） 11.对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为             ． 12.已知关于的一元二次方程的一个根比另一个根大，则的值为           ． 13.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都要赛一场，计划安排场比赛，应邀请____ __支球队参加比赛． 14.下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程，． 解：第一步： 第二步： 第三步： 第四步：， 以下四条语句与上面四步对应：“移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；求解：用直接开方法解一元二次方程；配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；二次项系数化，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是______． 三、计算题： 15.（8分）用适当的方法解下列方程： ； ． 四、解答题： 16.（10分）设方程的两个根为，，不解方程求下列各式的值： ． 17.（10分）关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根； 若方程有一个根小于，求的取值范围． 18.（10分）观察下列图形中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题： 写出第个等式：______； 写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示； 若第组图形中左右两边各有个小黑点，求． 19.（12分）全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地据了解，今年月份该基地接待参观人数万人，月份接待参观人数增加到万人． 求这两个月参观人数的月平均增长率； 按照这个增长率，预计月份的参观人数是多少？ 20.（12分）某超市经销一种商品，每千克成本为元，经试销发现，该种商品的每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价元千克 销售量千克 求千克与元千克之间的函数表达式； 为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ 当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21.（14分）如图是一块矩形菜地，单位：，单位：，面积为单位：，现将边增加． 如图，若，边减少，得到的矩形面积不变，求的值； 如图，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为单位：，求的值． 22.（14分）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为： ，习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根都不为，且其中一个根等于另外一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根都不为，且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． 请你判断：方程是           填“倍根方程”或“方根方程”； 若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； 根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 【解答】 A、是分式方程，故A错误； B、时是一元一次方程，故B错误； C、是一元二次方程，故C正确； D、是二元二次方程，故D错误； 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的概念， 把代入得，再解关于的方程，然后根据一元二次方程的概念确定的值． 【解答】 解：把代入得 解得 ， ． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 根据根的情况得出判别式，代入求出不等式的解，即可得到答案． 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 【解答】 解：关于的方程不存在实数根， ， 解得：． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：若，方程有一根为，又，则，正确； 由两根关系可知，，整理得：，正确； 若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确． 正确命题有三个，故选D． ，即系数和为，说明原方程有一根是，，进而判断出； 已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论； 判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了． 本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程配方法：先把一元二次方程的二次项的系数化为和常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半的平方，这样方程左边配成了完全平方式． 在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，由此计算即可． 【解答】 解：， ， ． 故选D． 6.【答案】  【解析】解：分两种情况： 当其他两条边中有一个为时，将代入原方程， 得， 解得． 将代入原方程， 得， 解得或． ，，不能够组成三角形，不符合题意舍去； 当为底时，则其他两条边相等，即， 此时， 解得． 将代入原方程， 得， 解得． ，，能够组成三角形，符合题意． 故的值为． 故选：． 由于等腰三角形的一边长为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：当为腰时，其他两条边中必有一个为，把代入原方程可求出的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；当为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由可求出的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解． 7.【答案】  【解析】解：设， 原方程可化为：， 解得：，， ， ． 故选：． 设，原方程可化为，解方程即可得到结论． 本题考查了换元法解一元二次方程，正确求出方程的解是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，参照本题，如果设平均每次降价的百分率为，根据售价由元千克下调到元千克，即可得出方程． 【解答】 解：设平均每次降价的百分率为， 则第一次每千克的价格为：元， 第二次每千克的价格为元； 可列方程：． 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，审清题意找到等量关系是关键，设年的业务量为亿件，则年的业务量为亿件，年的业务量为亿件，即可得到方程． 【解答】解：年的业务量为亿件，则年的业务量为亿件，年的业务量为亿件． 故选C． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键． 可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出． 【解答】 解：设原正方形的边长为， 依题意有． 故选C． 11.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法因式分解法．本题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键．依据新定义得到关于的方程，解方程可得结论． 【解答】 解：由题意得： ． 整理得： ． 即． 解得：，． 故答案为：或． 12.【答案】  【解析】解：设方程的两根分别为，， 根据题意得，， 把代入得， 整理得， 解得或舍去， 所以的值为． 故答案为． 本题考查一元二次方程的根与系数的关系． 设方程的两根分别为，，利用根与系数的关系得到，，进而得到，然后解关于的方程得到满足条件的的值． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 设邀请支球队参加比赛，那么第一支球队和其他球队打场球，第二支球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排场比赛即可列出方程求解． 【解答】 解：设邀请支球队参加比赛， 依题意得， ， 或不合题意，舍去． 即应邀请支球队参加比赛． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 把二次项系数化为以后，把常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解． 【解答】 解：， 把二次项系数化得：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，， 故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是， 故答案为：． 15.【答案】解：， 或， 所以，； ， 或， 所以，．  【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； 利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 16.【答案】解：由根与系数的关系得，， ； ．  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，解答本题的关键是掌握利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值的思路与方法． 首先利用通分将化成，然后将、的值代入，计算即可； 首先去括号将化成，然后将、的值代入，计算即可． 17.【答案】证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根； 解：， 即， 即， ，． 方程有一根小于， ， 解得：， 的取值范围为．  【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程解答本题的关键是正确求出该方程的两个根． 根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； 利用因式分解法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 18.【答案】； ； 由题知， 即； 解得或舍去， 故此时的值为．  【解析】解：由题知第个等式为：， 故答案为：； 由题知第个等式为：， 故答案为：； 根据上面的等式规律继续写出第五个等式即可； 根据等式规律总结出第个等式； 由的规律解方程即可． 本题主要考查数字的变化规律，归纳出等式两边的数字变化规律是解题的关键． 19.【答案】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． 万人． 答：预计月份的参观人数为万人．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据月份该基地接待参观人数月份该基地接待参观人数增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 利用月份该基地接待参观人数月份该基地接待参观人数增长率，即可求出结论． 20.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得： ，解得：． 与之间的函数表达式为． 由题意得：， 整理得：， 解得，． 答：为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为元千克或元千克． 设当天的销售利润为元，则： ， ， 当时，． 答：当销售单价定为元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元．  【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； 依题意可列出关于销售单价的方程，然后解一元二次方程即可； 利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 21.【答案】【小题】 ； 【小题】 ．   【解析】 略  略 22.【答案】【小题】 “倍根方程” 【小题】 解：设方程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， 【小题】 解：设一元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或舍去， ， 或，， ， 解得或舍去， ， 这个方程的根是、或、．   【解析】 解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”；  设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值；  设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是、或、． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$