精品解析：云南省大理白族自治州2025届高三第二次复习统一检测数学试题

大理州2025届高中毕业生第二次复习统一检测 数学 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 考生注意： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名，准考证号，考场号，座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集的概念求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 由，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知向量和的夹角为，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式和运算律求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A 4. 若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的特征先计算底面圆半径，面积，周长，结合圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知该圆锥母线2，高为；底面圆半径为1，则其周长为，面积为， 所以该圆锥的侧面积为，表面积为. 故选：B 5. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ） A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态密度曲线的对称性，数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同， 所以， 故选：C 6. 已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可. 【详解】，且公差，所以，， 所以，则，， 所以等差数列中，前10项为负数，后面都为正数， 所以前项和取得最小值时的值为10， 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线和圆上的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的圆心到直线的距离为， 所以， 记点到直线的距离为，则的面积， 所以， 又圆心到直线的距离为，所以， 又，所以， 故选：B 8. 已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可. 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 10. 某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：）（ ） A. 当对折6次时，的最小值为 B. 当对折6次时，的最小值为 C. 一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折5次 D. 一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折7次 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题目所给公式，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】令，由题意可得，即，解得， 所以当对折6次时，的最小值为，故B正确，A错误； 当，时， ， 所以该矩形纸最多能对折5次，故C正确，D错误， 故选：BC 11. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，焦点为，.下列判断正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的几何性质、渐近线方程和离心率公式判断AB，利用双曲线的定义判断C，利用三角形等面积法判断D. 【详解】对于A，由可得，其渐近线的方程为，则， 所以的方程为，故A正确； 对于B，易知，，即，所以离心率为，故B正确； 对于C，如图所示： 根据双曲线定义可得，所以， 又，，因此， 当三点共线时，满足题意，此时的最小值为，故C错误； 对于D，若点为的上支上一点，则，如图所示： 由可得，， 又，因此的周长为， 易知的面积为， 设的内切圆圆心为，半径为， 易知，即， 解得，故D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的加法法则和模长公式计算即可. 【详解】由题意， 则， 故答案为：5 13. 小王参加抽奖游戏，现有3个箱子，里面装着大小、形状完全一样的卡片，3个箱子里分别有8张、10张、12张，若每箱中有2张中奖卡片，则随机选择一个箱子抽取，中奖的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式和全概率公式求解即可. 【详解】记事件{在第个箱子中抽奖，}，事件{中奖}， 则由题意可得，，， 由全概率公式可得， 故答案为： 14. 若是的极值点，则______；在上的最小值是______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用极值点的定义和导数的几何意义求解即可. 【详解】由可得， 因为是的极值点， 所以，解得， 此时，， 令得，令得或， 所以在单调递减，在和单调递增； 因为，所以在单调递增，在单调递减， 又因为，，， 所以在的最小值为， 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 100 25 125 中老年 50 25 75 合计 150 50 200 0 1 2 ，有关 （2）的分布列如下：，.【解析】 【分析】（1）由题意补全列联表，然后利用独立性检验的原理求解卡方判断即可； （2）利用超几何分布计算概率，得到离散型随机变量的分布列，求解数学期望即可. 【小问1详解】 中老年共有75人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为50人，愿意购买燃油车的中老年人数为25人，青年共有125人， 愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为100人，愿意购买燃油车为25人. 故列联表如下： 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 100 25 125 中老年 50 25 75 合计 150 50 200 零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关； 【小问2详解】 愿意购买新能源车的共有150人，青年人与中老年人的比例为， 所以分层随机抽样抽取的6人中4人是青年人，2人是中老年人， 则的可能取值为0，1，2， 则，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 则， 所以这5人中青年人数的期望为. 16. 在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为. （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦的二倍角公式和诱导公式化简可得，再利用正弦定理边化角即可求解； （2）设，，，先利用平面向量的加法法则和数量积的运算律可得，再根据基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由可得， 因为在中，所以， 由正弦定理可得， 因为，，所以， 所以，即， 又，所以，. 【小问2详解】 设，，，根据题意，， 又，所以，化简得， 则， 所以，当且仅当时等号成立. 面积的最大值为. 17. 如图，四棱锥中，，，，平面. （1）若平面，证明：平面. （2）若，，二面角的正切值为，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 平面，面，， 又平面，平面，平面平面，， 又，， 又，平面 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，由平面，得到，可得，，即可得到平面； （2）以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，利用坐标运算分别求出平面和平面的一个法向量，由二面角的正切值，求得二面角的余弦值，再利用坐标运算即可求得，进而求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面，，底面，，. 又，，，则， 以点为原点，以，所在的直线为，轴， 过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，，，， ，，，. 设平面的一个法向量为， 所以即令，则，，则； 设平面的一个法向量为， 即令，则，，则. 二面角的正切值为，二面角为锐角， 二面角的余弦值为 ，解得，所以. . 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：，. 【答案】（1） （2） （3） 由（2）得当时，恒成立，即， 将中的替换为，显然， 则， 故， 即. 故. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）对定义域内，都有恒成立，即，令，利用导数求的最大值即可； （3）利用（2）中结论可得恒成立，将中的替换为，再利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可. 【小问1详解】 若，则，，， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 若对定义域内，都有恒成立， 即恒成立，只需即可， 设，，则， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 故的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． （1）求t的值； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）1； （2），； （3）16. 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上，坐标代入求参数值； （2）根据已知得、，联立抛物线得，根据等差数列的定义有，最后应用裂项相消法及数列的单调性求范围； （3）由（2）及已知得为，应用点线距离公式、两点距离公式以及三角形面积公式求的面积. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，则，解得； 【小问2详解】 由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去得，解得或， 因为，故，即， 故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以，所以， 又是关于的递增函数，故，的取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理州2025届高中毕业生第二次复习统一检测 数学 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 考生注意： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名，准考证号，考场号，座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量和的夹角为，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 13 4. 若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ） A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 6. 已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：）（ ） A. 当对折6次时，的最小值为 B. 当对折6次时，的最小值为 C. 一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折5次 D. 一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折7次 11. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，焦点为，.下列判断正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 小王参加抽奖游戏，现有3个箱子，里面装着大小、形状完全一样的卡片，3个箱子里分别有8张、10张、12张，若每箱中有2张中奖卡片，则随机选择一个箱子抽取，中奖的概率是______. 14. 若是的极值点，则______；在上的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为. （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 17. 如图，四棱锥中，，，，平面. （1）若平面，证明：平面. （2）若，，二面角的正切值为，求三棱锥的体积. 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：，. 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． （1）求t的值； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $