专题01 平方根重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题01 平方根重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 估计算术平方根的取值范围 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 算术平方根的实际应用 题型八 求一个数的平方根 题型九 求代数式的平方根 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 题型十一 利用平方根解方程 题型十二 平方根的应用 题型十三 平方根的新定义运算 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】本题运用了平方根和算术平方根的性质，利用平方根和算术平方根的性质可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③0.1是0.01的算术平方根，故③错误； ④的平方根是，故④错误； ⑤81的算术平方根是9，故⑤错误． 故选：A． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）若a的平方根等于它本身，x，y互为倒数，p，q两数不相等，且数轴上表示p，q两个数的点到原点的距离相等，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】利用平方根，倒数，相反数的定义求出a，xy，p+q的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】∵a的平方根等于它本身， ∴a=0； ∵x，y互为倒数； ∴xy=1； ∵p，q两数不相等，且数轴上表示p，q两个数的点到原点的距离相等； ∴p+q=0， ∴（a-1）2021﹣（﹣xy）2020+（p+q） =（-1）2021﹣（﹣1）2020+0 =-1﹣1+0 =-2． 故答案为-2． 【点睛】本题考查了代数式求值，数轴，以及平方根，倒数，相反数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的意义分别进行判断即可． 【详解】解：①0的算术平方根是0，故原说法错误； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，说法正确； ③ 的平方根记为，原说法错误； ④ 表示的平方根，说法正确． 综上可知正确的是②④，共2个， 故选：B 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算的值为（    ） A．0 B．64 C．86 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键，先利用平方差公式计算，再根据算术平方根定义计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选D． 1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可判断，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：A、8是64的算术平方根，故A不符合题意； B、9是81的算术平方根，故B不符合题意； C、的算术平方根是，正确，故C符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： 因为，所以的算术平方根为， 所以的算术平方根为． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B．0 C．6 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式，平方以及绝对值的非负性，熟练掌握非负性是解题的关键．根据二次根式，平方以及绝对值的非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 要使， 故， 解得， ． 故选：A． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，绝对值的意义，根据算术平方根的定义得到，则，进而化简得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ； 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：．求： (1)，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键． （）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可； （）将，，的值代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出a，b和c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以． 【经典例题四 估计算术平方根的取值范围】 【例4】（2022·重庆·一模）估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】估算的大小即可． 【详解】解：由于，而，即67， 所以的值在6和7之间， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，掌握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 1．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则的值为（　　） A．1011 B．2021 C．2022 D．1012 【答案】B 【分析】根据[x]表示不大于x的最大整数可得到，，，…，，然后计算即可． 【详解】解：∵，，，…，， ∴ ＝ ＝2021 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的运算，理解[x]表示不大于x的最大整数及找到规律是解题的关键与难点． 2．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，若是整数，则＝ ． 【答案】-1，2，-2. 【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据是整数即可求出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴m是整数， ∵， ∴m2≤4， ∴-2≤m≤2， ∴m=-2，-1，0，1，2 当m=±2或-1时，是整数， 故答案为：-1，2，-2 【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长为，宽为； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 1．（24-25七年级·浙江杭州·期末）如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 【答案】（1）2和3之间，见解析；（2）或 【分析】（1）根据方格可得正方形ABCD的面积为8，然后由正方形面积计算公式可求解边长，然后利用算术平方根可求解； （2）由（1）及题意可分当点B在原点的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由方格可得： 正方形ABCD的面积为：， ∴， ∵， ∴介于2和3之间； （2）由（1）得：，由点A与原点重合，则有： 当点B在原点的左侧时，则点B表示的数为， 当点B在原点的右侧时，点B表示的数为； 综上所述：点B在数轴上所表示的数为或． 【点睛】本题主要考查算术平方根及数轴，熟练掌握算术平方根及数轴是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)图见详解； (3)1； 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的三角形面积和也为8，每个三角形面积为2，即可得到边长为2即可得到答案； （3）根据得到与的小数部分代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据规律，解答即可． 本题考查了算术平方根的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 1．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 【经典例题七 算术平方根的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 【答案】(1)30 (2)能 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长是； 故答案为：30； （2）解：能 设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景． (1)正方形卡纸的边长是______ ； (2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由； (3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______ ．宽是______ ． 【答案】(1)20 (2)不能，理由见解析 (3)20；15（答案不唯一） 【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案； （3）根据裁剪要求求解即可． 此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键． 【详解】（1）解：正方形卡纸的边长是， 故答案为：20； （2）解：不能，理由如下： 长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为． ， ， ， ， 又：， ， 长方形纸片的长为， 又， 即：， 小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． （3）解：由（1）得出正方形的边长是 ∵裁出一张面积为的长方形，且， ∴长方形的长是，宽是符合要求， 故答案为：20，15（答案不唯一）． 2．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是，最大算术平方根是 (2)或 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）当时， ∵，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴， 解得：； 当时， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，不合题意舍去； 当时， 依题意，得：， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】（1）2；；；（2）1；13；；（3）小思说得对，小明说得不对，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【经典例题八 求一个数的平方根】 【例8】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，乘方，代数式求值，掌握绝对值，乘方的计算，确定x， y的值是解题的关键．根据题意可得，由确定x， y的值，代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ； 综上所述，的值等于或． 故选：C． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．根据平方根的定义求出、的值，即可求解． 【详解】解：，， ，， ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的意义得出，根据算术平方根的意义得出，，继而得出，的值，再代入进行计算，即可得解．掌握平方根与算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)49； (2)； (3)； (4)0.0064． 【答案】(1)±7 (2) (3)±16 (4)±0.08 【详解】因为，所以49的平方根是±7． （2）因为，所以的平方根是． （3）因为，所以的平方根是±16． （4）因为，所以0.0064的平方根是±0.08 【经典例题九 求代数式的平方根】 【例9】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知且，则 . 【答案】±3 【分析】由可得xy=1，代入可得x2+y2=7，利用完全平方公式可得(x+y)2=9，根据平方根的定义即可得答案. 【详解】∵， ∴xy==1， ∵， ∴x2+y2=7， ∴x2+y2+2xy=7+2=9，即(x+y)2=9， ∴x+y=±3. 故答案为±3 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.熟练掌握完全平方公式是解题关键. 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入计算出结果即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵y的算术平方根为14， ∴， ∵z的绝对值为， ∴， ∴， ∵m，n互为倒数， ∴， ∴原式， ∴． ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求a＋b－c的平方根． 【答案】±2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴ a＋b−c＝2＋1−（−1）＝4， 则a＋b−c的平方根是：±2． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3．（24-25七年级·全国·单元测试）已知，求与.（用a、c、x表示） 【答案】. 【分析】利用开平方求出，即可解答 【详解】因为， ， 所以， 即，. 【点睛】此题考查平方根，掌握运算法则是解题关键 【经典例题十 已知一个数的平方根，求这个数】 【例10】（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（　　  ） A．5 B．﹣5 C．±5 D．25 【答案】D 【分析】由于一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此即可得到关于x的方程，解方程即可解决问题. 【详解】∵正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6 ∴2x+3+x﹣6=0，解得x=1 ∴这个数的正平方根为2x+3=5 ∴这个数是25 故选D    . 【点睛】本题主要考查平方根的定义及其应用，比较简单. 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和m﹣5，则这个正数是(   )． A．2 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】直接利用平方根的定义得出2m-1+m-5=0，进而求出m的值，即可得出答案． 【详解】∵一个正数的两个平方根分别是2m-1和m-5， ∴2m-1+m-5=0， 解得：m=2， 则2m-1=3， 故这个正数是：32=9． 故选B． 【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对平方根和相反数的应用，熟练运用平方根和相反数的应用是解题的关键； 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出这两个根互为相反数，相加为零即可求得的值，进而求解； 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 则， 这个正数是， 故答案为： 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求a的值及这个正数； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)，这个正数为； (2) 【分析】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可，再根据平方根的定义即可求解这个正数； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； ∵， ∴这个正数为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴． 【经典例题十一 利用平方根解方程】 【例11】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用． （1）先变形为，再求平方根即可求解； （2）先变形为，再求平方根得，然后解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即； （2）解：， ， ， 即， ∴或． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用． （1）直接求361的平方根即可； （2）先变形为，再求平方根即可； （3）先变形为，再求平方根即可； （4）先变形为，然后把看成一个整体，求平方根得，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， ， 即； （3）解：， ， ， 即； （4）解：， ， ， 当时，； 当时，． 综上所述，或． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含的代数式表示第个等式：_____________（为正整数）； (3)直接写出当时，的值为______； (4)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，代数式求值，根据平方根的定义解方程 （1）根据等式的规律即可求解； （2）根据，，，，……可推导一般性规律为：表示第n个等式，然后作答即可； （3）根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （4）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ， …… ∴可推导一般性规律为：表示第n个等式（n为正整数）， 故答案为：，； （3）解：∵，当时 ∴ ∴ ∴ 解得：（n为正整数，负值舍去）， 故答案为：． （4）解：由题意知， ； ∴的值为． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值． (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解题的关键． （1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （4）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或 （3）解： 或 （4）解： 或 ＝0或x＝－4 【经典例题十二 平方根的应用】 【例12】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长： (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？ 【答案】(1)大正方形的边长为8cm (2)沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48 【分析】（1）根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为acm，则， ∵， ∴． 答：大正方形的边长为8cm． （2）解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则， 解得， ∵， ∴， ，， ∵大正方形的边长为8cm，符合． 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48． 【点睛】本题考查了平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 【答案】（1），；（2），，，，，；规律：，，，（其中是正整数）；（3）． 【分析】（1）仿照题干信息，直接求，的平方根即可； （2）从开始，逐次往后推导，即可得出，，，，，，…的值，从而根据每一个的结论总结规律即可； （3）在（2）的基础之上，结合周期性规律求解即可． 【详解】（1）∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的平方根是． （2）， ， ， ， ， ，…， 规律是：每四个相邻次方为一个循环， 用式子表示为：，，，（其中是正整数）． （3）由（2）可知，中，相邻四个数的和为0， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查平方根的拓展应用，掌握平方根的基本定义，以及；理解题干中给出的定义是解题关键． 2．（23-24九年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】(1)651 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【详解】（1）解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． （2）能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 【经典例题十三 平方根的新定义运算】 【例13】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 【答案】 是 【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【详解】解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题是对定义新运算的考查，正确根据题意计算各选项是解决本题的关键．根据依次判断各选项即可． 【详解】解∶ ，故①正确； ，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，即， 解得，故④正确， 故答案为：①④． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数，b，定义min{，b}的含义为：当＜b时，min{，b}＝，当>b时，min{，b}＝.例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ，}＝ ，min{ ，b}＝b，且和b为两个连续正整数，则+b的平方根为 . 【答案】 【分析】根据新定义得出a，b的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵min{，a}=，min{，b}=b， ∴＜a，b＜， 又∵a和b为两个连续正整数， ∴a=5，b=4， 则a+b=9的平方根为：±3． 故答案为±3． 【点睛】此题主要考查了平方根和实数运算，正确得出a，b的值是解题关键． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，数轴，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）根据数轴上的点平移的变化规律即可解答； （3）分两种情况讨论：点C是的美好点或点D是的美好点．根据“美好点”的定义列出方程，求解后结合进行取舍，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，； 故答案为：， （2）解：∵点B表示的数是，向右平移个单位得到点C， ∴点C表示的数是，即， ∵点C向右平移个单位得到点D， ∴点D表示的数是，即． 故答案为：， （3）解：若点C是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，不合题意，舍去； 若点D是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，符合题意． 综上所述，． 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若，则x等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了算术平方根的性质．直接利用算术平方根的性质得出x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如果单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据同类项即含有字母相同且相同字母的指数相同，确定m，n的值，再计算算术平方根解答即可． 本题考查了同类项，解方程，算术平方根，熟练掌握定义解答是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是关键．根据算术平方根性质解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∵是整数， ∴， 对应n的值也有16，7，12，15，0． 故选：D． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，乘方，代数式求值，掌握绝对值，乘方的计算，确定x， y的值是解题的关键．根据题意可得，由确定x， y的值，代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ； 综上所述，的值等于或． 故选：C． 5．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】4或6/6或4 【分析】本题考查了算术平方根的性质，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根的有关性质，根据算术平方根等于它本身的数有0和1计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或6． 7．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）若我们把平方根为整数的数叫做完全平方数，则在0到100的101个数中是完全平方数的数共有 个． 【答案】11 【分析】本题考查了平方根，完全平方数的定义，熟记定义是解题的关键． 根据平方根和完全平方数的定义解答即可． 【详解】解：0的平方根为0，1的平方根为的平方根为的平方根为的平方根为的平方根为的平方根为的平方根为的平方根为的平方根为的平方根为， ∴在0到100的101个数中是完全平方数的数共有11个． 故答案为：11． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是 ． 【答案】2或 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，平方根，设输入的数为x，则，利用平方根解方程即可． 【详解】解：设输入的数为x， 由题意得：， 或， 解得或， 故答案为：2或． 9．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根的定义，正确把握正数的平方根是一对相反数是解题关键．根据一个数的两个平方根互为相反数，列方程解答即可． 【详解】解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 则，， 这个正数为． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：； ， ， （2）解： 或 解得：或． 13．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)图见详解； (3)1； 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的三角形面积和也为8，每个三角形面积为2，即可得到边长为2即可得到答案； （3）根据得到与的小数部分代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 【答案】【阅读理解】：4，6；【解决问题】：1或2或3；【扩展探究】①3次；②255 【分析】本题考查新定义运算，涉及开方运算中的算术平方根，读懂题意，掌握新定义的根整数运算是解决问题的关键． 【阅读理解】由根整数的定义，结合及即可得到答案； 【解决问题】由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； 【扩展探究】①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案；②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； 【解决问题】解：， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； 【扩展探究】解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)不是 (2)证明见解析，， (3)a的值为或． 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“和谐组合”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； （2）证明：∵，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （3）解：分三种情况：①当时，得：（舍去）， ②当时，，得：，经检验符合题意， ③当时，．得：，经检验符合题意． 综上所述，a的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 估计算术平方根的取值范围 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 算术平方根的实际应用 题型八 求一个数的平方根 题型九 求代数式的平方根 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 题型十一 利用平方根解方程 题型十二 平方根的应用 题型十三 平方根的新定义运算 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）若a的平方根等于它本身，x，y互为倒数，p，q两数不相等，且数轴上表示p，q两个数的点到原点的距离相等，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算的值为（    ） A．0 B．64 C．86 D．126 1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 2．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B．0 C．6 D．1 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：．求： (1)，，的值； (2)求的值． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 【经典例题四 估计算术平方根的取值范围】 【例4】（2022·重庆·一模）估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 1．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则的值为（　　） A．1011 B．2021 C．2022 D．1012 2．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）已知，若是整数，则＝ ． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 1．（24-25七年级·浙江杭州·期末）如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 3．（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【经典例题七 算术平方根的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景． (1)正方形卡纸的边长是______ ； (2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由； (3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______ ．宽是______ ． 2．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【经典例题八 求一个数的平方根】 【例8】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)49； (2)； (3)； (4)0.0064． 【经典例题九 求代数式的平方根】 【例9】（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知且，则 . 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，求a＋b－c的平方根． 3．（24-25七年级·全国·单元测试）已知，求与.（用a、c、x表示） 【经典例题十 已知一个数的平方根，求这个数】 【例10】（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（　　  ） A．5 B．﹣5 C．±5 D．25 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和m﹣5，则这个正数是(   )． A．2 B．9 C．6 D．3 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求a的值及这个正数； (2)求关于x的方程的解． 【经典例题十一 利用平方根解方程】 【例11】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含的代数式表示第个等式：_____________（为正整数）； (3)直接写出当时，的值为______； (4)求的值． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值． (1)； (2) (3)； (4) 【经典例题十二 平方根的应用】 【例12】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长： (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？ 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 2．（23-24九年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【经典例题十三 平方根的新定义运算】 【例13】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的序号是 ． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数，b，定义min{，b}的含义为：当＜b时，min{，b}＝，当>b时，min{，b}＝.例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ，}＝ ，min{ ，b}＝b，且和b为两个连续正整数，则+b的平方根为 . 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若，则x等于（   ） A．4 B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如果单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D．5 3．（2025七年级下·全国·专题练习）若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．5 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 5．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 7．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）若我们把平方根为整数的数叫做完全平方数，则在0到100的101个数中是完全平方数的数共有 个． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是 ． 9．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 13．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$