7.1 复数的概念-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

7.1 复数的概念 考点一 复数的实部、虚部 【例1-1】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【解析】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确.故选：C 【例1-2】（2023·湖北）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题，，则．故选：B 【一隅三反】 1．（24-25山西吕梁）复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】的虚部为，故选：C 2．（2024高二上·贵州）已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】因为复数的实部为，所以复数的实部为2.故选：A. 3（2023河南）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为复数的实部和虚部分别是2和3，所以 所以故选：C. 考点二 复数的分类 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【解析】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·湖南株洲·期中）（多选）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0，而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故，是纯虚数，故B，D正确.故选：BD 2（23-24高一下·江苏泰州·期中）（多选）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【解析】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 3．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【解析】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 考点三 复数相等 【例3-1】（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】又，根据复数的相等，故则故选：B. 【一隅三反】 1．（2024江苏）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】，故，所以.故选：C. 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【解析】因为，，且，则，，解得. 故选：C 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【解析】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得.故选：B. 考点四 复数的几何意义 【例4-1】（2024北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以对应的点的坐标为，故选：D 【例4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【答案】(1)或4．(2)或． 【解析】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 【一隅三反】 1．（2025广东）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 2．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】,所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以，所以点位于第四象限.故选：D 3．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为复数是纯虚数，所以解得. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得. 考点五 复数的模长 【例5-1】（24-25云南玉溪·期末）若，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】由，得，∴.故选：C. 【例5-2】（24-25 辽宁 ）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【解析】因为，所以，解得，则复数的虚部为或2，故A正确.故选：A 【一隅三反】 1．（24-25重庆长寿）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C 2．（2024·新疆喀什）设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 【答案】C 【解析】复数的共轭复数为，则其模，故选：C. 3（2025·广东韶关）在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由复数的几何意义知：，，， ∴．故选:D． 考点六 复数相关的轨迹问题 【例6】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【答案】(1)表示以对应的点为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【解析】（1）， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 所以表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【一隅三反】 1．（2024·广东·模拟预测）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 【答案】3 【解析】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2， 则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 而是圆上的点到点的距离， 所以. 故答案为：3 3．（23-24 北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点，   的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离， 而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 1． 单选题 1．（24-25贵州）复数的虚部是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据复数的定义知，复数的虚部为，故选：B. 2（2024·山东）已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 【答案】B 【解析】由复数的实部和虚部分别为5和，得，所以. 故选：B 3（2024湖南）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 4．（24-25吉林松原·期末）已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 【答案】B 【解析】由复数是纯虚数，得，解得. 故选：B. 5．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得. 故选：D. 6．（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，向量所对应的复数是，对应坐标为， 所以向量对应的坐标为，对应的复数为. 故选：A 7．（23-24广东·期中）已知复数的模为，实部为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，由，得，所以.故选：D. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则为纯虚数； 若复数为纯虚数，则，解得， 所以“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设，则, 又，则， 解得，即，故. 故选：A. 10（2024·河南郑州）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将整理化简可得， 所以复数在复平面内对应的点坐标为， 由点位于第四象限可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 11．（贵州省贵阳市七校2025届高三上学期联合考试（二）上学试题）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 12．（贵州省遵义市2025届高三第二次适应性考试数学试题）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由题意可得，所以.故选：A. 13．（2025·辽宁 ）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 故选：D． 14．（24-25 浙江 ）已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 【答案】B 【解析】对应的点为，在第四象限，故A错误；，故B正确；z的虚部是，故CD错误.故选：B. 2． 多选题 15．（2024陕西西安·阶段练习）对于复数，下列结论错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 【答案】AB 【解析】对于A：当，，当时为实数，A错误； 对于B：若，则，B错误； 对于C：若，则为实数，C正确； 对于D：，D正确. 故选：AB. 16．（24-25 甘肃白银·期末）已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 17．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 【答案】AB 【解析】对于A，若为纯虚数，则，解得，A正确； 对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确； 对于C，在复平面内对应的点为， 所以，即，解得或，C错误； 对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误. 故选：AB. 18．（23-24高一下·甘肃·期末）已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．是纯虚数 【答案】BC 【解析】由，易知的虚部是3，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； ，是实数不是纯虚数，故D错误. 故选：BC. 3． 填空题 19．（23-24高一下·北京·期末）已知复数z满足，，则的虚部为 ． 【答案】/ 【解析】设， 由，， 得，解得， 所以的虚部为. 故答案为：. 20．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【答案】/ 【解析】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 故答案为：. 21（2023·黑龙江牡丹江） ． 【答案】/ 【解析】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 22．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1 复数的概念 考点一 复数的实部、虚部 【例1-1】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【例1-2】（2023·湖北）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【一隅三反】 1．（24-25山西吕梁）复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024高二上·贵州）已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3（2023河南）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值分别是（  ） A． B． C． D． 考点二 复数的分类 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·湖南株洲·期中）（多选）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·江苏泰州·期中）（多选）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 3．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 考点三 复数相等 【例3-1】（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024江苏）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 考点四 复数的几何意义 【例4-1】（2024北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【一隅三反】 1．（2025广东）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 考点五 复数的模长 【例5-1】（24-25云南玉溪·期末）若，则（   ） A． B． C． D．6 【例5-2】（24-25 辽宁 ）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【一隅三反】 1．（24-25重庆长寿）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2024·新疆喀什）设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 3（2025·广东韶关）在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则（    ） A．1 B．5 C． D． 考点六 复数相关的轨迹问题 【例6】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【一隅三反】 1．（2024·广东·模拟预测）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 3．（23-24 北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1． 单选题 1．（24-25贵州）复数的虚部是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（2024·山东）已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 3（2024湖南）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 4．（24-25吉林松原·期末）已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 5．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24广东·期中）已知复数的模为，实部为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 10（2024·河南郑州）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（贵州省贵阳市七校2025届高三上学期联合考试（二）上学试题）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（贵州省遵义市2025届高三第二次适应性考试数学试题）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 13．（2025·辽宁 ）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（24-25 浙江 ）已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 2． 多选题 15．（2024陕西西安·阶段练习）对于复数，下列结论错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 16．（24-25 甘肃白银·期末）已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 17．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 18．（23-24高一下·甘肃·期末）已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．是纯虚数 3． 填空题 19．（23-24高一下·北京·期末）已知复数z满足，，则的虚部为 ． 20．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 21（2023·黑龙江牡丹江） ． 22．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$