精品解析：湖南省常德市第七中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

湖南省常德市武陵区常德市第七中学2024-2025学年 高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 已知复数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分). 节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 晷影 长/寸 135.0 125. 115.1 105.2 95.3 85.4 755 节气 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影 长/寸 65.5 55.6 457 35.8 25.9 16.0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（ ） A. 105.6寸 B. 48寸 C. 57.6寸 D. 67.2寸 4. 某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ） A 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1200种 5. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 36 B. 40 C. 45 D. 52 7. 四边形中，，，则四边形面积为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若一组数据的方差为2，则的方差为3 B. 给定五个数据，则这组数据的分位数是4 C. 若事件与事件是相互独立事件，则有 D. 若事件与事件是对立事件，则有 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角等于 D. 异面直线与所成的角等于 11. 若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ） A B. C. D. 三、填空题 12. 设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是__________． 13. 抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足，点O为原点，则的面积为___________. 14. 已知等比数列满足，，则该数列的前5项和为______． 四、解答题 15. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，求的面积. 16. 如图，在四面体中，是边长为3正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值. 17. 数列满足：，等比数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，试证明. 18. 已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且． （1）求的标准方程． （2）若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明： （ⅰ）的斜率之积为定值； （ⅱ）存在定点，使得关于点对称． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市武陵区常德市第七中学2024-2025学年 高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 已知复数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意求出的关系式，由圆的性质可求出的最小值. 【详解】解：设，则， 由，表示为以为圆心，为半径的圆， 圆心到原点的距离为，所以圆上点到原点距离最小为， 因为，所以最小值为， 故选:A. 【点睛】本题考查了复数模的求解，考查了转化的思想.本题的关键是将模的最值转化为圆上点到原定距离的最值问题. 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算． 【详解】由题设可得，所以或，则， 故选：C． 3. 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分). 节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 晷影 长/寸 135.0 125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5 节气 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影 长/寸 65.5 55.6 45.7 35.8 25.9 16.0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（ ） A. 105.6寸 B. 48寸 C. 57.6寸 D. 67.2寸 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量计算，直接求解即可. 【详解】设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130.0，a13＝14.8，d＝＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6. 故选：C 4. 某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ） A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1200种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用间接法，即可求解. 【详解】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种）， 其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班方法共有（种）； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班方法共有(种). 因此满足题意的方法共有(种). 故选：C. 5. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程. 【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减 得：，即. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. 36 B. 40 C. 45 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，分别计算和，相加得到答案. 【详解】 故答案选A 【点睛】本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力. 7. 四边形中，，，则四边形面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形为菱形，，再根据模长运算可得，结合菱形的性质求四边形的面积. 【详解】若，则四边形为平行四边形，且， 可知表示分别与同向的单位向量， 若，则对角线为的角平分线， 故四边形为菱形，则， 故，则， ∵，即， 解得，故， 且，则， 即等边三角形，则，且， ∴四边形面积. 故选：A. 8. 已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再求导函数判断函数单调性，最后应用单调性解不等式即可. 【详解】令函数，因为，所以在R上单调递增． 因为，所以不等式等价于， 所以． 故选：B. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若一组数据的方差为2，则的方差为3 B. 给定五个数据，则这组数据的分位数是4 C. 若事件与事件是相互独立事件，则有 D. 若事件与事件是对立事件，则有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方差公式可求解选项A，利用百分位数的定义可求解选项B，根据独立事件的概率乘法公式求解选项C，根据事件的对立关系可求解选项D. 【详解】对A，若一组数据的方差为2， 则的方差为，A错误； 对B，给定五个数据，由小到大排列为， ，则这组数据的分位数是第4个数为4，B正确； 对C，若事件与事件是相互独立事件，则有，C正确； 对D，若事件与事件是对立事件，则, 则有,D正确， 故选:BCD. 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角等于 D. 异面直线与所成的角等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【详解】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于B，直接证明平面不好证，可通过证明的平行线垂直平面来得证，因为，故求证平面即可得证平面. 11. 若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论． 【详解】对A，， ，时，，取得最大值， 直线是函数图象的切线，且过点，所以函数是“切线重合函数”； 对B，，，时，，，， 此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”； 对C，，， 时，，， 过点的切线方程是，即， 因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”； 对D，，，令， 则，所以即是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等， 也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”． 故选：ABC． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的． 三、填空题 12. 设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数极值的概念可得：有小于零的根，即：有小于零的根，问题得解． 【详解】函数有小于零的极值点等价于： 有小于零的根，即：有小于零的实数根， 当时，，所以， 整理得： 【点睛】本题主要考查了导数与函数极值的关系，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题． 13. 抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足，点O为原点，则的面积为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得出,由得出，再由，建立关系，联立解出A点坐标即可求三角形面积. 【详解】如图， 由题意可知，， 由得， 又根据可得，， 即，即，解得，， ∴A点的坐标为或， ∴. 故答案为：2 14. 已知等比数列满足，，则该数列的前5项和为______． 【答案】##15.5 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求得公比，，再利用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 所以，即， 整理，得，解得， 所以，则， 故数列的前5项和为， 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，求的面积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可； （2）取AD的中点M，连接PM，CM．证明CM⊥AD．再由已知证明PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，可得PM⊥CM，设，则，，，，，取CD的中点N，连接PN，得PN⊥CD，且PN＝，由四棱锥的体积为，求得x＝2．进而得到的面积. 【详解】（1）在平面内，因为，所以. 又平面，平面，故平面. （2）取的中点，连接，，由，及，， 得四边形为正方形，则，因为侧面是等边三角形且垂直于底面， 平面平面，所以，因为平面，所以平面. 因为平面，所以.设，则，，，，. 因为四棱锥的体积为，所以，所以， 取的中点，连接，则，所以. 因此的面积. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积和三角形面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题． 16. 如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）由面面垂直性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以. 因为，，即，所以， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取AC中点，连接DO，OE 因为为正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为O，E分别为AC，AB中点，则. 又因为，所以. 以为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 故，，. 设平面的法向量为，直线BD与平面所成角为， 则，即，取. 则， 所以BD与平面所成角的正弦值为. 17. 数列满足：，等比数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，试证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合，求得通项公式，再由，可得，求得，求得，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）求得，结合乘公比错位相减法，结合指数函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列满足，当时，， 所以 ， 当时，满足上式，所以数列的通项公式为， 又由，可得， 可得， 当时，，所以，解得， 此时适合，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由，，可得， 则， 可得， 两式相减，可得 所以， 因为，所以. 18. 已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且． （1）求的标准方程． （2）若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明： （ⅰ）的斜率之积为定值； （ⅱ）存在定点，使得关于点对称． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用渐近线方程可得，再由焦距为以及即可求得，，可得的标准方程； （2）（i）设切线方程为，利用直线和圆相切可得，再由韦达定理整理可得的斜率之积为定值，且定值为2； （ii）联立直线与双曲线方程，可得，同理可求出，化简得，所以，因此关于点对称. 【小问1详解】 因为的渐近线方程为，所以， 则，所以， 因为，所以，得. 因为，所以，可得， 所以， 故的标准方程为. 【小问2详解】 证明：（i）设，如下图所示： 设过点的切线的斜率为，则切线方程为， 即，所以， 即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即. 又因为，所以 所以的斜率之积为定值，且定值为. （ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，得. 因为， 所以， 则，同理可得， 所以. 因为，所以，所以， 得. 因为都在上，所以或（舍去）， 所以存在定点，使得关于点对称. 【点睛】方法点睛：处理圆锥曲线中定点、定值时，经常联立直线和曲线方程利用韦达定理对表达式进行整理化简，便可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $