8.2 立方根-2024-2025学年七年级下册数学（人教版2024）

立方根 8.2 立方根 ( 教材P48-50 ) 第八章 实数 目标分析 学习目标： 1.通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示数的立方根。 2.会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根. 学习重点：会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根. 学习难点：解决含立方根的实际问题. 情景引入 问题1：如下图，要制作立方体形状的包装箱，思考下列问题. (1)若包装箱的棱长是2 cm，求立方体包装箱的体积？ (2)若包装箱的体积为27 cm3，这种包装箱的棱长是多少？ 2 27 (1) (2) 课堂导问 什么是立方根,怎样求一个数的立方根？ 27 提示：给学生2分钟，把自己的想法写在课棠作业本上。课后进行对比，从而得到学生变化，体现教学评一致性。 探究新知 问题1：计算下列各数，你认为什么是平方根？ x3 x 1 -2 -8 1 0 0 -8 1 0 1 -2 0 x3 x 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根或三次方根. 知识归纳 (教材P48) 求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 立方与开立方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根 问题2 根据立方根的意义填空： 因为23 =8，所以8的立方根是（　）； 因为( )3 =0.125,所以0.125的立方是( )； 因为( )3 ＝0，所以0的立方根是（　）； 因为 ( )3 ＝－8，所以－8的立方根是( )； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( ). 0 2 -2 -2 0.5 0.5 0 立方根的性质 性质1：正数的立方根是正数； 性质2：负数的立方根是负数， 性质3：0的立方根是0. 知识归纳 (教材P48) 立方根的性质 一个数 a 的立方根可以表示为 . 若 x3=a,则 x= 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 任何数 非负数 典例讲解 例1 求下列各数的立方根： (1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； (4) ； 解：(1) (－2)3 的立方根是－2，即 = －2； (2) 因为 73 = 343，所以 343 的立方根是7. 即 = 7； (3) 因为 (－4)3 = －64，所以 －64 的立方根是－4， 即 = －4； (4)因为 = . 所以 的立方根是 ，即 = . 例2 计算下列各式，总结一下有什么规律 ： (1) =____， =____， (2) =___， =___， (3) =___， =____， 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 归纳总结 (教材P49) 例3.计算(1) (2) (3)． (4) 解(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 例4 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根． 解：∵x－2的平方根是±2， ∴x－2＝4. ∴x＝6. ∵2x＋y＋7的立方根是3， ∴2x＋y＋7＝27. 把x＝6代入解得：y＝8， ∴x2＋y2＝62＋82＝100. ∴x2＋y2的算术平方根为10. 课堂小结 立方根 定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根 表示 性质 立方 逆运算 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0； 若x3=a,则x= 类比 平方根 开立方 = 新运算 1.判断下列说法是否正确, 并说明理由. (1) 的立方根是 ( ) (2)25的平方根是5 ( ) (3)－64没有立方根 ( ) (4)－4的平方根是±2 ( ) (5)的立方根是2 ( ) (6) 0的平方根和立方根都是0 ( ) 课堂练习 √ x x x x x 2.的立方根用符号表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 3.有理数-8的立方根是（ ） A.-2 B.2 C.±2 D.±4 4.下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A.与 B. 与 C.与 D. 与 C A A 5.计算 (1)__________; (2)____________; (3)___________; (4)___________; (5)的立方根是__________ (6)的平方根是_____________ (7)若则的值为______ 6. 求下列各式中的x. (1)－3x3＝0.081； (2)(x－2)3＝729. (3) (1)x＝－0.3. (2)x＝11. (3)原方程变形为： ∴ 解得： 7.已知的平方根是±3，的立方根是2，求的算术平方根 解:∵的平方根是±3 ∴即 ∵的立方根是2 ∴ ∴ ∴ 8.已知和互为相反数，求 的值. 解：根据题意，得 ∴ ∴ ∴ $$