8.1 平方根(第1课时 平方根)-2024-2025学年七年级下册数学（人教版2024）

平方根 8.1 平方根 ( 教材P40-42 ) | 第1课时 | 第八章 实数 目标分析 学习目标： 1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根. 2. 体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯. 3. 会利用平方和开平方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆 学习重点：平方根的概念及平方根的求法. 学习难点：求非负数的平方根. 整章导学 问题：当“天问一号”火星探测器的速度大于第二字宙速度(单位:)时,它就会克服地球引力，永远离开地球.的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，(单位:)，是地球半径，(单位:m).怎样求呢? ( ? )2 = 已知 平方根 课堂导问 什么是平方根,怎样求一个数的平方根？ ( ? )2 = 已知 提示：给学生2分钟，把自己的想法写在课棠作业本上。课后进行对比，从而得到学生变化，体现教学评一致性。 探究新知 问题1：回顾七上数学，思考下列问题。 1.初中学习数学运算与小学什么最大的不同？ 2.我们学习了那些运算，他们有什么关系？你想到了什么问题？ 有理的 运算 负数 加法 减法 逆运算 乘法 除法 逆运算 平方 逆运算 x x2 0.16 1 0 探究新知 问题2：计算下列各数，你认为什么是平方根？ x2 x +1 －1 +0.4 －0.4 0.16 1 － + 0 0 +1 －1 +0.4 －0.4 － + 0 平方 开平方 如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. 知识归纳 (教材P40) 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 典例讲解 例1 分别求下列各数的平方根，想想平方根有什么特点： (教材P40) 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64， 所以 64 的平方根是 ±8； (1) 64； (2) 因为 = ， (2) (3) 0.01. 所以 的平方根是 (3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1. (4)-64. (4) 因为 任意数的平方是非负数，所以 -64 没有平方根. 如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. 知识归纳 (教材P41) 性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数； 性质2：0 的平方根是 0； 性质3：负数没有平方根. 知识归纳 (教材P41) 性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数； 性质2：0 的平方根是 0； 性质3：负数没有平方根. 正数 a 的正的平方根记为“ ”， 正数 a 的负的平方根记为“－ ”， 0 的平方根记为 平方根 典例讲解 例2 下列各数有平方根吗? 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (教材P40) (1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2. 解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根， ± = ±0.6； (2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根； (3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根， ± = ± = ±4. 例3 求下列式子中 x 的值. (1) x2 = 49 (2) 4x² = 12 (3) 4(x-1)² = 12 解：(1) x = ± x1= 7, x2= 7 . (2) x² = ， x = ± x1= , x2= . (3) (x-1)² = ， x-1 = ± x= ±+1 x1= +1, x2= +1 . 知识小结 平方根 定义 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a的一个平方根，也叫做二次方根 表示 性质 平方 逆运算 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根； 若x2=a,则x= (a) 特殊 算术平方根 开平方 课堂练习 1.判断下列说法是否正确。 ①是的平方根. ( ) ②是的平方根. ( ) ③是的平方根. ( ) ④的平方根是. ( ) ⑤是的一个平方根. ( ) ⑥－的平方根是; ( ) ⑦一个数的一个平方根是，另一个平方根一定是 ( ) × √ √ √ × × √ 2.16的平方根是(　C　) A. 4 B. －4 C. ±4 D. ±8 C 3. 下列说法正确的是(　D　) A. 任何非负数都有两个平方根 B. 一个正数的平方根仍然是正数 C. 只有正数才有平方根 D. 负数没有平方根 D 4.分别求下列各数的平方根： (1) (2) 1.44 (3) 121 (4)1 (2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44， 所以 1.44 的平方根是 ±1.2. 解：(1) 因为 = ， 所以 的平方根是 . (3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是11. (4) 因为1 ＝ ，(± )2＝ ， 所以1 的平方根为± . 5. 求下列各式中x的值： (1)81x2－49＝0；　 解：(1)整理81x2－49＝0，得x2＝ ， ∴开平方得x＝± ＝± . 解：整理81x2－49＝0， x2＝ ， x＝± x1=; x2=. (2)49(x2＋1)＝50. 解：(2)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ， ∴开平方得x＝± ＝± . 解：整理49(x2＋1)＝50， x2＝ ， x＝± ＝± . x1= ; x2= 6. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数. 解：由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a －4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a ＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0， 即3a－3＝0，解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. $$