2.3 垂径定理-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（湘教版）

©*2.3 垂径定理 ①基础在线 知识要点分类练 AF的大小，并证明你的结论. 知识点1垂径定理 1.如图，CD是⊙O是直径，AB是弦且不是直径， CD⊥AB,则下列结论不一定正确的是() A.AE-BE B.OE=DE C.AO=CO D.AD=BD 知识点2垂径定理的实际应用 6.如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工 具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了 筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以 轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且 第1题图 第2题图 圆的半径OA长为6m,∠OAB=42°，则筒车 2.(中考·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为 盛水桶被水面截得的线段AB的长为() 8,圆心O到AB的距离OE-4,则⊙O的半径 长为 ) A.4 B.42 c.5 D.52 A.6sin42 B.12cos42 3.(湘西期末)如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥ C.6cos42 D.12sin42 OA,D是优弧BC上的一点，如果∠AOB= 7.(长沙期中)明德麓谷学校计划在济和园制作 58°，那么∠ADC的度数为 ( 一扇人园门，其形状是由矩形和弓形组成，如 A.32 B.29 图所示，已知弓形的跨度AB=2m,弓形的高 C.58 D.26 EF=0.5m,现请你帮工程师求出AB所在圆 O的半径r. E D B 第3题图 第4题图 4.(长沙期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ AB于点E,若AB=10,CD=6,则BE= 5.如图，AB,CD是⊙O的两条弦，AB=CD,OE ⊥CD,OF⊥AB,垂足分别为E,F.比较CE和 第2章40 ②能力在线》 方法规律综合练 12.(衡阳期未)如图，AB是⊙O的直径，C,M是 ⊙O上的点，且OM∥BC,AC分别与OM, 8.(中考·广州)如图，在⊙O中， BM相交于点E,F. 弦AB的长为4√5，点C在⊙O (1)求证：M为AC的中点； 上，OC⊥AB,∠ABC=30° (2)若ME=2,AC=8,求⊙O的半径， ⊙O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点 P与⊙O的位置关系是 A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定 9.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度 尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学 想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯 底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A,B, C,D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 目拓展在线》培优我尖提升练 3.5cm,AB=4cm,CD=3cm.请你帮忙计算 纸杯杯底的直径为 ) 13.(娄底三模)如图①，E为x轴正半轴上一点， ⊙E交x轴于A,B两点，P为劣弧BC上一 个动点，且A(-1,0),E(1,0). (1)BC的度数为 B.5 cm (2)如图②，连接PC,取PC的中点G,则OG A.4.8 cm C.5.2 cm D.6 cm 的最大值为； (3)如图③，连接AC,AP,CP,CB.若CQ平 10.(长沙期末)如图，在平面直角坐标系中，以原 分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长 点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0,一3)， 那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为 图① 图② 图③ 0 第10题图 第11题图 11.如图，⊙A的直径为10，⊙B的直径为13， ⊙A的圆心恰好在⊙B的圆周上，连接两圆 交点所得弦CD的长为 41探究在线九年级数学（下）·灯 阶段测评3(2.1~2.3) (时间：40分钟满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） 5.(中考·凉山)数学活动课上，同学们要测一个 1.下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() 如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决 方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接 AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D, 交AB于点C,测出AB=40cm,CD=10cm, B 则圆形工件的半径为 ( A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 2.下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图 形的是 第5题图 第6题图 6.(郴州期中)如图，等腰直角三角形ABC的三 B 个顶点都在⊙O上，直径AB=2√2，D是圆上 一动点，连接AD,CD,BD,且CD交AB于 点G.下列结论： ①DC平分∠ADB: 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC ②∠DAC=∠AGC: =8.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A ③当DB=2时，四边形ADBC的周长最大. 内且点B在⊙A外时，r的值可能是 ( 其中正确的个数为 ( A.6 B.8 C.10 D.12 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.如图，由点P引出的PA,PB,PC,PD为⊙O 的四条弦，其中最长的是 D 第3题图 第4题图 4.(中考·广元)如图，已知四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，E为AD延长线上一点， 第7题图 第8题图 ∠AOC=128°，则∠CDE等于 ( 8.(长沙阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，AD= A.64° B.60° C.54° D.52° CD,∠COB=38°，则∠AOD的度数是 第2章42 9.如图，BD=OD,∠B=38°，则∠AOD的度数|14.(14分)（长沙阶段练习）如图，OA,OB,OC都 为 是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC: (2)若AB=6,BC=√10，求⊙O的半径 第9题图 第10题图 10.(中考·陕西)如图，BC是⊙O的弦，连接 OB,OC,A是优弧BC上一点，则∠A与 ∠OBC的和的度数是 11.(长沙模拟)如图，点A,B,C是⊙O上的三 点，点O在△ABC内，OD⊥AB,垂足为E, 交⊙O于点D,连接OA.若∠ACB=60°，AB =4√3，则OE的长为 D 15.(14分)如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O 第11题图 第12题图 的一条弦，∠BCD的平分线交⊙O于点E, 12.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B, AD,BE的延长线交于点F D在格点上，以AB为直径的圆过C,D两 (1)若∠BAD=70°，求∠ABE的度数； 点，则sin∠BCD= (2)求证：AB=AF 三、解答题（共40分） 13.(12分)如图，OA,OB,OC是⊙0的半径，AC =BC,M,N分别是OA,OB的中点，CM与 CN相等吗？为什么？ 43探究在线九年级数学（下）·灯△与达A二效时,D与点是对应点。 --1+--++ 0080 理:连接AD. - 3t ABC-ACAB-AC 二是 1.(10式)与价(耳)的涵数这式为Q-[4一 即入ABC是等三角形 n-anAc- “因晚角的该数等于它听对炙上的因心角发数的一来。 -]-0-00 3一点是(,); AC--0. 0--+1-40 0-1-x-r BC是对一M P-D-AC-A --40+800 200c. 为一铅时Q有题大首,最大题为800. D0B-0 DM-点M的生际是) 络度数所得基的一来. 2.到角的度数答于它所的较大抓的比效减去投小 记价0封:文利到是00觉。 00-110-x-00 柘落在拨 1-t0-y-3n-10cì. 上所述,点的标是(2,1成-) 第2课时用角定理的推论之及国内四达形的性 1a.P. 每元选误离品40件段好。 基础在贱 阶段11.-1.1 1.(1-mA+nC-CD-an 2.? 圆心角,图周 1.A 2C3.A LA 2B 3C 4A 5D 6C 7.21 2..1 A-y- 4.0D-1r0- 8.---69.1Hn 长1七0-? 在 o.. 得19七0y-1七 10. w--10+10n+16s00 11.号 n 1.B 2.r 3.D 4.A 54 7A是0的Ac-0 2.程5-fC·AB-y·,-【-2-) 辈力在拨 2A---0 11.设三次涌数达式为y“十十.题,程 -+高. 5.A 7.A 8D 3ADBAD-,DC+BAD-1 1.10 6.七 7D -+- (_-1 8-0.题-+-70. +--一 --. 得2-. 止A0BD0C-A0C 二EAD-DC 1--2 -. -- /000C3 -BDDBC-DC 则---3. 5.,一时,的矩形在直相为 乙0-p0C-乙A0C1 ZDBC-乙D. 14.远,对干程-n+-1- --0-0+0 (2A--CAAl-h-CA ADDAC现AD平A -411---- -一2C5有量大指 △AC是三角形 1.D 2.是一十-1-0有实. .140. 指在线 在线 .二次涌数y一”一十一1的断与点在交 2.1-2封,5取量大,北时&一0. 10.D (2(4代Ay一一-】中,一 l0C 1A1C13.9 2.指度的整花用阳积存在确天等,且大为0. 2.2.2 -1.得-1 .117C是0直B- 此时,的直为m。 第1课时 周角定理度其论] ---πr-A-. 15.(,与+的涌数这式为,一+ 心提升 基础在性 把,-17--2-代人1 1 -08-0--nC-1 16:1.B A .B1 第2章 四 9.B -1-BaC-乙ACB-0 (CC 10+0 7.1 的对称性 2与一的数表为一一-一斑 .ADDADC 基础在 10.i150 “是基是0的内接图图 (2设日暗为死,根拟意, 1.CnD 望力在也 D-1--1r -一10一-+ 4.11.亡0是ArAD 11.A 171r 13.35 1.90 -DC的中点..A-C 2.时有量第,最大为410 字一如有文止,选有A 15.1是. 2.用拾定为元时,所次日智利阐最大,最 ._pCA--D- 1B 6D 1.D 7AD. 大是40记. 8.(50点A在-0内. .乙ADB-CnDAD 陌在线 3设日暗刺为死,根翻迎意,& 1点0上. (是cD0.(2设0C与2D文 1H-A-A 10-10-×-+ 1gA0. 文FAF与记是F死对的因坦。 100+20-00-。 1.D DDF-CBDF- -AF-CFBCFlBCE A7 F-HCE. 7用日勃得赴得的陌大利房为30记. 1-201-对-10+2-00 10.如图元. -C-cD.. CF平ACDACDCE 1 0mcD01o .-D-D7 境,-+11-D. 7A是直5乙A-”。 超-n远. -.-cD-n A-A” 2CD网形CD是平行晚边形. _-8时-. D-a.CD A 11.D 又-CDBCDE是 每的为以-10---11~0含 (t.8-乙%-故 陵力在既 拓沸在喝 3.MA-M-M0+0E-2AF-A .的? FA-FE.FM1AD. 12A11.D 14.D1.号. 学掉合习一1二次数 16.(1)加图.A0. -80-7AC-1. 140A-0AF-0-3 基门考点 1.图3A2D △ABC中A--BC-. 1.D 2.B 3.0 4C 1.1 PD.(是△ADC的两高.M% 2.-B~O-0-2 .BD-18-17” 8.-20--3-1(第4~] 的中点. 乙A0C-1~7. -AC-A---下- 7.(T将.0点1++ MF-3-1D-M--8C ■AC长为5 .-乙D-AD-” 一点CD.E在点M为心的候-个上 2.3 择定 (2)睡外多的性死,摇外身的度数等子它所夹族较大派的 17.(1证△0元02中。 y+-1. 基础在甜 20-00-0-C. 庭首减去校小无的度数所得差的一年 1.1 2B2.B4.1 16 一经·九年学(下)X .C-AF如 为-时-15 20)Cn0rIAB. 3.AP是 A-DI s--】-x(-n- (证,、AD0C. C-pF- 在&BDF中.DEB9. 2.AD查分DC. A-ACIADIBC “-cDC-A $p--π-1 的) 在R中-0+-Or. 6.B 点BC②0上0- 10-1+-0-0第- ()三P与线,一?变时的取到为一。 7.的跨段A一.F为形的高. △AD心0. 口择是. 户与直线,整离时一的取指为一1或. 201A干点F. A>%o的线 AF^AFA0为 1.1AaAD-PCD- 2.5.7面的切线 -A-Im 由题意,得BCE-乙B-35" 第1课时 切&的拉定 OCBOD乙AC 一A在到0的本为号的高字一m 匹在选 .BA-15. ac-nnop- 00F-0 1.D C.元A-A14 -A0的直 -. 在F,与晚理耳AA+. -A-C-1ADB-C- .B-20。 -1+(-5,初-三 C平DD 乙ABF--乙BA- 2O-o0nC-Z0CB. 1DCD0C 12CCC A2在题0是为” 得0-% -ppicDociC. ·-D.A 在R0D4-gr+0 文00为0的. 展力在线 An为An--AEF 0的半径为10. -0-10 &.C81 10.8 1.120 文A-AE△ABF△AFEASA)AB-A (为0的视. 6.1)证明A为0益是,C为A的中点 2.4 过不共线三点作因 第?课时 却我的性 1的A-” AC-BC乙A08 基在 基础在 20A.0IACAM-CM 20-0. .C 10' 2.M为A0中A. 止0B-0 2.作医略,在提上这条,批泥挂理,条直分的在 -AC-:0M1ACA-C-1 2.70MA-乙0-r0C1AH 1AB是0直径。二AD一 2.3.0 415D11 线一定这因点,所以作出两效的逐直平分次照可,两务 设0径为r3-2-- cA.0C1C 直平分线的交点那为国心. AB乙An-CD .-+是 ③0跨是. 直线B与⑧0相到于点乙AC- 0停% 3.B1C1.5 2(7是o0的线 力在路 托选 乙D-A-一-- 1-0-00-11-] 1.(112(23 4.1 1.B 证乙A-乙A一。 0-0D- -1-(. ③nAcD. 8.11如晚②0%所求 0-0- AAC-At:AcD-ZCPA (2如,连接(3A交B干AD.连接OC 3D1AC.A-C7 .$o-xoxcD oPP --AC 册在 7.(31.1)或(3.1晚2,0(27) 3.A D.10 10.45 11.10 .AC D-+0 -01BC-C--C-1 1.1i,选0D 7.乙AO-乙A0-A0-AC 力在线 BADCADAC-- cAo-x120oA0. 8.A.C 7言线!与0概铅于点路. -A115oDA. -001I. 设0C-0M-R.副0D-R- AAC-7.A0-%. 10.(1.图,选(0 在B0CD中.0-oC:得 -AC%0的直是. 阶段测评3121~3 -R一】1r,得- 7.ADC-. B-A 1.C2C 3.n 4A5.C 5p -0一一达1是直三后 -0-..0-D0 7.PC 87' 828 10.80 1.1& 聂在线 ”%8C数中点: 设②0的年径%r0C-0B+B-r+100- DW0.AD CA 1.07.4)试(.501A --D 13.-xC理由. 0p-00-0c ocD中or+Cr-0 2.直择与回的位置关 证。0A00是0的A-n ?B-wo/- +3-+-. 2..1直连院的位置美 1A00-p0C -0+D-roD1b -②0的提为4 基础在线 M.V分到是00中点0A-0.-M-0 是0的. ”在院 1.A [0MO. 1.A%0300A (2母0是%. 3.的半号.5i. 在达O△OCN乙M-(O. 在△A0中A一A0+AO-1乙A- 10D-o0+D-0. 1oC-0. -乙A0-13-Aa-1 即+-(-,解得-是 11高线与画相交,有商个号共品 言线v与相错字②0的路. 23言线与孤相,右一是点 13.41)A-Ao乙A-乙n0 0面- -Cin- 33直线与画相离,无公其点. 在乙-r-An- 又ABMC-CMo 乙ACl-:AC。 4.1)1 2.7A0-乙□ 在 力在线 11(17证:-DE是nCAC的中点. (过0径0DA8子 nr-noacE-10 4.相离 切 7.ABC -BDCD.AFaC 接. 师在线 又?Agr-cD.n-F. (口图 .A-np0-乙A0 3”与线一时. △A “直线V与0相于点C. 1---. *A-CD.F-r0C OMOCM-OOB- A0-n0 .00M-D0 -减--1 -A-8DA8. 一探究在:九年编数学(下)(X一 17