26.1.2 反比例函数的图象和性质-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（人教版）

26.1.2 反比例函数的图象和性质 ©第1课时 反比例函数的图象和性质 ①基础在线》 知识要，点分类练 范围是 知识点1反比例函数图象的画法 1.请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 y=4和y=一4的图象 6.(中考·成都)若点A(-3,y1),B(一1，y2)都 在反比例函数y=的图象上，则” (填“>”或“<”) 易错点1 忽视反比例函数增减性的前提条件 4-3+2-101234x 7.若点A(a,m)和点B(b,n)在反比例函数y 子的图象上，且a<6,则 A.m>n B.m<n 知识点2反比例函数的图象和性质 C.m=n D.m,n的大小无法确定 2.[教材P6练习T1(1)变式]下列图象中是反比 易错点2 求函数值的取值范围时，考虑不全面而 例函数y=一 5的图象的是 致错 8.已知反比例函数y=一 ,则当x>-1时， 卡个平 y的取值范围为 ②能力在线 且方法规律综合练 3.(中考·株洲)下列哪个点在反比例函数y=4 9.(中考·宜昌)某反比例函数图象上四个点的 的图象上？ ( 坐标分别为(-3，y1),(一2,3)，(1，y2),(2, A.P1(1,-4) B.P(4,-1) y),则yy,y的大小关系为 ) A.y<y<y B.ys<y<y C.P3(2,4) D.P(22,2) C.y<y<y D.y<y<y 4.(中考·永州)已知点M(2,a)在反比例函数 y=的图象上，其中a,k为常数，且k>0,则 10.(中考·武汉)关于反比例函数y=3 ,下列结 论正确的是 () 点M一定在 ( A.图象位于第二、第四象限 A.第一象限 B.第二象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.第三象限 D.第四象限 5.(教材P7例4变式)如图是反比例函数y= C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大 而减小 飞一3图象的一支，根据图象可知常数k的取值 D.图象经过点(a,a十2)，则a=1 3探究在线九年级数学（下） 11.(教材P9习题T8变式)在同一平面直角坐标 系中，函数y=x十1(k≠0)和y=(k≠0)的 图象大致是 名 12.(中考·河北)如图，已知点A(3,3),B(3,1), 反比例函数y=图象的一支与线段AB有 3 拓展在线 。培优拔尖提井练 交点，写出一个符合条件的k的整数值： 15.已知反比例函数y=1-2m(m为常数)的图 2 象在第一、第三象限 3 (1)求m的取值范围： (2)如图，若该反比例函数的图象经过 o十23 口ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为 10 (0,3),(-2,0) 第12题图 第13题图 ①求该反比例函数的解析式： 13.(中考·荆州)如图，点A(2,2)在双曲线y= ②已知P是该反比例函数图象上的一点 若OD=OP,则点P的坐标为 (x>0)上，将直线OA向上平移若干个单位 长度交y轴于点B,交双曲线于点C.若BC 若以D,O,P为顶点的三角形是等腰三角形， =2,则点C的坐标是 则满足条件的点P有个. 14.(中考·株洲)如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A, C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，点B在 第三象限内，点A(t,0),点P(1,2)在函数 y=(k>0,x>0)的图象上. (1)求k的值； (2)连接BP,CP,记△BCP的面积为S,设T =2S-2,求T的最大值. y=(k>0x>0) 第二十六章4 ©第2课时反比例函数性质的综合应用 44444 知识点3反比例函数与一次函数的综合 基础在线》 知识要点分类练 5.如图，已知直线y=k1x(k≠0)与反比例函数 知识点1用待定系数法求反比例函数的解 y=(k≠0)的图象交于M,N两点.若点M 析式 的坐标是(1,2)，则点N的坐标是 () 1.(中考·云南)若点A(1,3)是反比例函数y= A.(-1,-2) B.(-1,2) (k≠0)图象上一点，则常数k的值为( C.(1,-2) D.(-2,-1) A.3 B.-3 c D-是 6.在同一平面直角坐标系中，正比例函数y= 1x的图象与反比例函数y=的图象没有公 知识点2反比例函数中k的几何意义 2.反比例函数y=-3(x<0)的图象如图所示， 共点，则kk2 0. 7.(中考·常德)如图所示，一次函数y=一x十m 则矩形OAPB的面积是 ( 与反比例函数为=相交于点A和点B(3,-1D. A.3 B.-3 c. D.- (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当y1>y2时，求x的取值范围. 第2题图 第3题图 3.如图所示，A是反比例函数y=图象上一点， 过点A作AB⊥x轴，垂足为B,若△AOB的 面积为2，则k的值是 4如图，P,Q,R是双曲线y=冬上任意三点， PA⊥y轴于点A,QB⊥x轴于点B,RC⊥x轴 于点C,S,S,Sa分别表示△OAP,△OBQ, △OCR的面积，则S,S2,S的大小关系是 易错点由“矩形”面积求k的值时，忽略了k 的符号而出错 8.如图，P是反比例函数y= (x<0)图象上的一点，PA⊥y 轴，垂足为A,PB⊥x轴，垂足 B 为B.若矩形PBOA的面积是6，则k的值是 第4题图 第5题图 5探究在线九年级数学（下） 2 能力在线》方法规律嫁合株， (2)当OD=1时，求线段BC的长. 9.(济南月考)如图，四边形ABCD为正方形.点 A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(0，一3)，反 比例函数)y=(k≠0)的图象经过点C. x (1)点D的坐标为 (2)反比例函数的解析式为 ③拓展在线 沙培优拔尖提升练 第9题图 第10题图 10.(中考·绥化)在平面直角坐标系中，点A在 13.(中考·杭州)在平面直角坐标系中，已知k,k2 y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B,C的 ≠0，设函数为=B与函数为=k,(x-2)十5 横坐标都是3，BC=2,点D在AC上，且其横 的图象交于点A和点B.已知点A的横坐标 坐标为1，若反比例函数y=(x>0)的图象 是2，点B的纵坐标是一4. (1)求k1,k2的值： 经过点B,D,则k的值是 ( (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的 A.1 B.2 C.3 D. 3 2 垂线，在第二象限交于点C:过点A作x轴的 11.(中考·广西)如图，过y 垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于 -的图象上一点A,分 点D.求证：直线CD经过原点 别作x轴、y轴的平行线 交y=一1的图象于B,D 两点，以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐 标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S,S2, SS,若S+S+S=号则k的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 12.(中考·兰州)如图，反比例函数y=与一次 x 函数y=一2x十m的图象交于点A(一1,4)， BCLy轴于点D,分别交反比例函数与一次 函数的图象于点B,C 1)求反比例函数y=与一次函数y=一2x 十m的解析式： 第二十六章6 微专题1反比函数与一闪、二闪函数的综合应用 应用①反比例函数与一次函数的图象 1.(中考·宁波)如图，一次函数y1=k1x十b( >0)的图象与反比例函数为=(，>0)的图 象相交于A,B两点，点A的横坐标为1，点B 的横坐标为一2，当y1<y2时，x的取值范围是 类型2求点的坐标 ( 4(中考·怀化)如图，反比例函数y=兰(>0) A.x<-2或x>1 的图象与过点（一1,0）的直线AB相交于A,B B.x<-2或0<x<1 两点.已知点A的坐标为(1,3)，点C为x轴 C.-2<x<0或x>1 上任意一点.如果S△c=9,那么点C的坐标 D.-2<x<0或0<x<1 为 应用②反比例函数与一次函数的图象与 A.(-3,0) 性质 B.(5,0) 2.已知反比例函数y=,当x<0时，y随x的 C.(-3,0)或(5,0) 增大而减小，那么一次函数y=一kx十k的图 D.(3,0)或(-5,0) 象经过第 类型3有关最值的计算 A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 5.如图，一次函数y=mx十5的图象与反比例函 C.一、三、四象限 D.二、三、四象限 数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A(1, 应用③反比例函数与一次函数的有关计算 n)和B(4,1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足 类型1求函数解析式和面积 为M. 3.（中考·内江)如图，在平面直角坐标系中，一 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 次函数y=m江十n与反比例函数y=冬的图象 (2)求△OAM的面积S; 在第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直 (3)在y轴上求一点P,使PA+PB最小. 线AB与x轴相交于点C,连接OA. (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关 于x的不等式mx十n>的解集； (3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D, 求梯形OCBD的面积. 7探究在线九年级数学（下） 应用④反比例函数与二次函数的综合 类型3反比例函数与二次函数综合求式子值 类型1反比例函数与二次函数的图象 问题 6.(中考·安徽)已知反比例函数= 8.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= y=(k≠0)在第一象限内的 的图象经过点A(1,4),B(m,n). 图象与一次函数y=一x十b的 可1y=-x+b3 (1)求代数式mn的值： 图象如图所示，则函数y=x2一bx十k一1的图 (2)若二次函数y=(x一1)2的图象经过点B, 象可能为 求代数式m3n-2mn十3mn一4n的值； 女 (3)若反比例函数y=的图象与二次函数 y=a(x一1)2的图象只有一个交点，且该交点 在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取 类型2反比例函数与二次函数综合求最值问题 值范围. 7.(中考·苏州)如图，一次函数y=2x的图象与 反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(4,m). 将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到 点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标 大于点D的横坐标，连接BD,BD的中点C 在反比例函数)y一(>0)的图象上. (1)求n,k的值； (2)当m为何值时，AB·OD的值最大？最大 值是多少？ 第二十六章8 微专题2反比例函数中k的几何意义 类型①同一象限内运用k的几何意义 类型2两个象限内运用k的几何意义 +模型展示+ +模型展示++一 P(x.y S延PAOB=|k| S△XP= 2 2 S△Ac=k S△APP,=2k 人人人 1.在平面直角坐标系中，反比例函数y=的部 4.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=4 分图象如图所示，AB⊥y轴于点B,点P在 的图象交于A,C两点，过点A作x轴的垂线 x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 交x轴于点B,连接BC,则△ABC的面积等 于 () A.8 B.6 C.4 D.2 第1题图 第2题图 2.如图，已知点P(6,3),过点P作PM⊥x轴于 点M,PNLy轴于点N,反比例函数y=(z 第4题图 第6题图 >O)的图象交PM于点A,交PN于点B.若 四边形OAPB的面积为12，则k= 5若图中反比例函数的解析式均为y=。 ,则阴 3.(贵州模拟)如图所示，在平面直角坐标系中， 影面积为3的是 ( 反比例函数y=(x>0)的图象与直线y=mz 十n交于A,B两点，且点A(a,4),点B(3,2). (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积. 6.（无锡二模)如图，在等腰三角形ABC中，AB 过原点O,底边BC∥x轴，双曲线y=么过A, B两点，过点C作CD∥y轴，交双曲线于 点D.若S△cD=16,则k的值为 () A.3 B.4 C.5 D.6 9探究在线九年级数学（下） 7.如图，原点O是矩形ABCD的对称中心，顶点 10.如图，A是反比例函数y=5(x>0)图象上 A,C在反比例函数图象上，AB∥x轴.若矩形 的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C,AC ABCD的面积为8，则反比例函数的解析式是 交反比例西数y-(>0)的图象于点B,P 是x轴上的动点，则△PAB的面积为( A.2 B.4 C.6 D.8 11.如图，平行于x轴的直线与函数y=(k>0, 第7题图 第8题图 x>0),y=(2>0,x>0)的图象分别相交 8如图，直线1：y=4:交反比例函数y-的图 于A,B两点，点A在点B的右侧，C为x轴 象于A,B两点，C是x轴上的一点，且AC= 上的一个动点.若△ABC的面积为4，则 AO,则△AOC的面积为 ,△BOC的面 k1一k2的值为 ( 积为 A.8 B.-8 类型3 C.4 双反比例函数中运用k的几何意义 D.-4 +模型展示++++一 SAm=6- 第11题图 第12题图 =+ 12.(中考·齐齐哈尔)如图，点A在反比例函数 y=(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函 9.如图，矩形OABC与反比例函数y1=(k1是 数y=一会图象的一支上，点C,D在x轴 非零常数，x>0)的图象交于点M,N,与反比 上，若四边形ABCD是面积为9的正方形， 例函数2=(k,是非零常数，x>0)的图象 则实数的值为 13.如图，O为坐标原点，□OBAD的顶点B在 交于点B,连接OM,ON.若四边形OMBN的 反比例函数y=3的图象上，顶点A在反比 面积为3，则1一k2= A.3 B.-3 例函数y=的图象上，顶点D在x轴负半 c D.- 3 轴上.若□OBAD的面积为5，则k的值为 第9题图 第10题图 第二十六章10 微专题3反比例通数与几间的综合应用 应用① 反比例函数与三角形的综合 1.(中考·达州)如图，一次函数y=2x与反比例 函数y一是的图象相交于A,B两点，以AB为 边作等边三角形ABC,若反比例函数y=的 图象过点C,则k的值为 第1题图 第2题图 2.(中考·安徽)如图，O是坐标原点，Rt△OAB 的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2, ∠AOB=30°，反比例函数y=左(k>0)的图象 应用2反比例函数与四边形的综合 经过斜边OB的中点C. 4.(中考·邵阳)如图，矩形OABC的顶点B和 (1)k= 正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y= (2)D为该反比例函数图象上的一点，若 (k≠0)的图象上，点B的坐标为(2,4)，则点E DB∥AC,则OB-BD的值为 的坐标为 () 3.如图，在△ABC中，AC=BC,AB⊥x轴，垂足 A.(4,4) B.(2,2) 为A.反比例函数y=(x>0)的图象经过点C, C.(2,4) D.(4,2) 14 交AB于点D.已知AB=4,BC=2 (1)若OA=4,求k的值： (2)连接OC,若BD=BC,求OC的长， 第4题图 第5题图 5.(中考·张家界)如图，矩形OABC的顶点A, C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB 上，且AD=子AB,反比例函数y=(k>0)的 图象经过点D及矩形OABC的对称中心M, 连接OD,OM,DM.若△ODM的面积为3，则 k的值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 11探究在线九年级数学（下） 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第 始终有一个交点，求k的取值范围， 一象限内，边BC与x轴平行，A,B两点的纵 坐标分别为4,2，反比例函数y=(x>0)的 图象经过A,B两点.若菱形ABCD的面积为 2√5，则k的值为 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，□OABC的 边OC在x轴上，对角线AC,OB交于点M,函 数y=(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M (1)求k的值和点M的坐标： (2)求□OABC的周长. 应用③反比例函数与圆的综合 9.(中考·长春)如图，在平面直角坐标系中，点 A,B在函数y=(k>0,x>0)的图象上，分 别以A,B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与 x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB,AB= 3√瓦，则k的值为 ( A.3 B.3√2 C.4 D.6 第9题图 第10题图 8.如图，直线AB:y=kx十b与x轴、y轴分别相 10.(中考·烟台)如图，在直角坐标系中，⊙A与 交于点A(1,0)和点B(0,2),以线段AB为边 x轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在 在第一象限作正方形ABCD (1)求直线AB的解析式； 函数y=(k>0,x>0)的图象上，D为y轴 (2)求点D的坐标； 上一点，△ACD的面积为6，则的值为 (3)若双曲线y=(k>0)与正方形的边CD 第二十六章12器聚提杀：墙做完后再看苍鼎： 健为在酸 C 10.C I1.D 格y一代人为9期一 4每2-2)十12-4a=40n-1ù十17-4a= 1不-4（答案不唯一，满起身脚国） 参考答案 8(-是-4) 妇由1调反比例函数的解所式为y一上.令y-云，可博 1kw2,2) =4,期月=土2， 14,(1法的战为名 将(-号：-4}北人力-与一2十5：得起=2 反此衡画数y一的用象与直线y一x空于点《2， 第二十六章反比例函数 (2):点A,0)在g验负第轴上，04-= ,为2x-)+5=2x+L 图边形从C为王方形， 26.1反比例画数 C=C=M=-,℃N脑 2E时：由题章可得C(-吾3)。-， 期溶用，当二使国数y=(a一1的 26,1,1反比例函数 “D所在直镜的表达式为y一一 图象经过点(2，)时，可特=11当二 蒸随在楼 五△的面飘等-是x-小x---大 欢属数y金：一1)'的图象龄过成 “.当g时，y=0 LC 2D 3.4 T-25--2(}-)-w--4-y- ,有线CD经过象点 《一名.一时，可特-一品 七1)是拉比例西数，用应的+算#洲经一5有一号 -0+0P+1. 霞专题】反比到函数与一次、二次函数的幢合应周 :二皮雨数y一a一1护图皇苦镇或 (2)(8》不量及北例函数 ?一1<0，∴轴物战开日★下 LB 2.B 为(1，)， 由用象可得，箱合题数的专的取值植围是<金<家我 iA.C音 当=一1时，丁有导大值，T的量大售是上 及D收比州园数能解有式为，一兰一皮用整的新有式为 船展在线 -号 1我0由题意：释1-2m>0,都每<生 (234 专题2反比例面数中是的几何意文 ()A2,4),直线0M的极式为y-2 1 404 (①：四边题A动是平行四边彩 ,-4 -1103 ADO且AD=O D1,2),.D-4-1=3. ,A0,33,H-1,00,00,91 在方=一十F中，令y-0得x-9,即0C=6 1.“区比同函数)-上红>0份的丽象经过点3,2 且1减一上”8时一6， 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色y一5代入y一坐静-1 瓷}-安 ,△ADFQ△BAOAA C2,).0C=+5 (旺期：”D5C, AF-BO-2.DF-AD-1: 无-5代人y户一4，得-1 ÷(C=M ∠D=∠L,∠B-∠C 盘D的坐标为(3,2， 二四边港从C是差形， 答，当比区1时，电不园过5kn (3)同()闻得出点C的生标为(2,3) :∠AE-∠AC0-能- 年双向线过★D时，h=1×1=1: 26.多买际问■与反比例适数 耗深在越 AADE号ABC相和. 当双自线处点C时=之×3■ 第1谋时建工及比判函数模鬓解决宾：明题 10,《1)215 1&如图，日效形ABCD厚周求（薯案不维一）， 当双南线y一兰(>0与正为那的边CD输终有一个 基础在能 《2)①根然表格数松描点，在平道官角 交点时，k的重值花国为3C6 k-智D1缨。- 坐际系中酒出时应而数一品 9.C1024 4820m且2初 的国象如圆所承 阶段测评1(26.1) 605-12把>0. 西不新减小 付Dr2成x=g 蹈展在酸 LB名.Ca.DD5A (2)20天 14.:矩形AICD中，CD=AB=8emAD=C-Bm, 丘士2n>m品g号 130120米 每示。如图，周出y一一子十6图象，格合国象可得站论 CFCD-DF6-42(c). 马-豐1n。1.4 7,c 单元擦合复习一】反比例函数 当CF与A5斯成动啡，视证示 隆力在线 超门考点变随 止朴温民比同函数)一的指象如图 RA81010.1E00 LB 2.H AC 4C SD 6B 7.C MA B.A 每子-学用Ct4,时4g 州茶 L1设医更我S与御度山的成比制金数都新式为5一号 10,1)出题数，得3·《1=4×《-》，且>0， 解得和一二 当P与AD是对应边时，品号-器 )把一2代人斜一一子-一名 无成a0,a0元人新折大.用调一备 .A0-2,6).i4.-3). 将A,B两直坐标代人多一十 号-学用CM1安时一。 2)当=1时，==： V-10000. 来一音6 蟑上所连.当廖CNM与摩感AD阳包时，I为 当=4时，y==1, 程摆医象，周音1G4时，少的取值意图为一<一1 (2由a),得s加， 5随d的增大面减小， “一皮函数鸭解桥式为-一圣十a 27.2相做三角形 当y=4时=一1 当168dG25时，400<5≤625 奇，一1阅，反比到偏数解新大为y一一兰 27.之.1相1三角形的判定 校裂国象，得 超展在线 ()片点C为直峻An与y轴的交桌， 幕1谋时 平行线分线段或比创 当事y<时，：的取值施拔为一<一1 12(1}y=8r+201)网 .0-1 蒸码在味 1品直线一十书与成比州数一兰(>0)的周家 〔83：70-50=20>19， 1.B ÷当，一30时y-1四-0 交于点A(2.11 0 品和8c+8r-合×X2+4-收 2.41D0(230 容：小图最多利分钟四到家时，失本阻内告水的国度约 3)由能意，得上<-2蓝0<<L 1.A 4.D B.4 a3-2+b8-登 IL.A 6.3△AEG△A0,△AGF△ADC,△AEF△ABC 品b=1,t-& 氯多课时 建主反比例函数展型解决跨学料河州 只.《山美于小的西数帆析女为本一习 云直线8为)-十，反民同高敏为)一兰 基在就 2凭一器代人A-望，即5-型 2)DF AE.△BDFM△BME 2)◆x■0.期y=士+1=1 积器即总解得4号 B0,l, 1,1设支技1关于朝率了的商数解所式为年一 (D》 解得p=小，， 答：该流体的害度e为0，sm s,6或12 无y-1代人产兰解得=6 把点(10，)代人土式中，六 核心素养是升 酸力在酸 1门，《1)-7()3-<4 C4,1.0=6. 解得-380，∴人-9 14,1)0〔2(122 3.号ac 六6ABC的直阴8-了×6×(8-1)-6 当行H时d-罂-4 第二十七章相根 11.4度h成6，A=2CG=4m 江设反比例头数的新折武为y一去 27,1图形的相依 答：当了一5日时，其电赋波的波长：为4口 蒸观在线 女点A以州，一2)在正比侧函数 LC I.C 3.B 4C 5.A 4 D GF-NGm1 on 14 一探究在线·九年贝图学（下）一