24.7 弧长与扇形面积-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（沪科版）

24.7 弧长与扇形面积 ③©第1课时 孤长与扇形面积 ①基础在线> 知识要点分类练 4.(合肥二模)如图，AB是半径为3的⊙O的切 … 线，切点为A,BO的延长线交⊙O于点C,连 知识点1与弧长相关的计算 接AC,若∠B=36°，则AC的长为 1.(1)(教材P56练习T1变式)（中考·安徽）若 扇形AOB的半径为6，∠AOB=120°，则AB的 长为 ( A.2 B.3π C.4π D.6π 第4题图 第7题图 (2)一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形 知识点2与扇形面积相关的计算 的圆心角度数为 5.(1)(中考·长沙)半径为4，圆心角为90°的扇 A.30 B.60 形的面积为 (结果保留π)： C.1509 D.210 (2)(芜湖一模)已知扇形的圆心角为150°，扇形 (3)已知圆上一段弧长为5rcm,它所对的圆 心角为100°，则该圆的半径为 ( 的面积S=5π，则这个扇形的半径r A.6 cm B.9 cm 6.若扇形的弧长为6πcm,半径为8cm,则该扇 C.12 cm D.18 cm 形的面积为 cm2. 2.(教材P54例1变式)如图，用一个半径为10cm 7.(中考·吉林)某新建学校因场地限制，要合理 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转 规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如 了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有 图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB, 滑动，则重物上升了 OC分别与⊙O交于点A,D.OA=1m,OB= A号m 10m,∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 B.2x cm m(结果保留π). c cm D.3xcm 8.(中考·遂宁)工人师傅在检查排污管道时发 现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是 直径为2m的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横 截面（图中阴影部分）宽AB为1m,请计算出 重物 淤泥横截面的面积为 第2题图 第3题图 3.(教材P67复习题A组T3变式)（中考·长 春)一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所 示的方式摆放，边AB与直线1重合，AB=12. 现将该三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的 A- 4 对应点C落在直线！上，则点A经过的路径长 至少为cm.(结果保留π) c号x-5 41探究在线九年级数学（下）·HK ②能力在线沙方法规律综奈然 13.如图，AC是⊙O的直径，PA,PB是⊙O的两 条切线，切点分别为A,B,AE⊥PB,垂足为 9.(教材P57习题T6变式)（中考·河北）扇文 E,AE交⊙O于点D,连接OD 化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有 (1)求证：∠COD=2∠P: 着深厚的底蕴。如图，某折扇张开的角度为 (2)若AC=8,∠P=60°，求阴影部分的面积. 120时，扇面面积为S:该折扇张开的角度为 时，扇面面积为S,若m-受，则m与m关 系的图象大致是 第9题图 第10题图 10.(中考·广安)如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半 圆，与AC,BC分别相交于点D,E,则DE的 长度为 () A晋 C.10s n 11.(中考·深圳)如图，在矩形ABCD中，BC √2AB,O为BC的中点，OE=AB=4,则扇形 ③拓展在线》特桃拔尖提开练 EOF的面积为 14.如图，四边形OABC,是正方形，曲线C,C, CC,CC,CC,…叫作“正方形的渐开线”， 其中CC2,CC,CC,CC,…的圆心依次按 点O,A,B,C循环，当OA=1时，C2Cs的 长为 () 第11题图 第12题图 12.(中考·苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的 装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意 图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦 构成一个正六边形，中心为点O,AB所在圆 的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB= 2√3，则花窗的周长（图中实线部分的长度） A.1012r B.1022.5π ·(结果保留π) C.2024x D.2025π 第24章42 微专题5：与圆有关的明影部分面积的计算 方选①公式法 5.(中考·泰安)两个半径相等的半圆按如图方 1.如图，A,B,C,D,E是⊙O上的五个点，AB= 式放置，半圆O的一个直径端点与半圆O的 CD.若⊙O的半径为6，∠CED=30°，则图中 圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的 阴影部分的面积为 ,(结果保留π) 面积是 A-5 B.3 c号x-5 第1题图 第2题图 方击0 等积转化法 2.如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形 6.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过 GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心， 点C,若AC=BC=v2,则图中阴影部分的面 HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 积是 ,(结果保留π) ,(结果保留π) 方陆2和差法 3.(中考·甘肃)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久 的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文 0 化遗产，如图①是一块扇面形的临夏砖雕作 第6题图 第7题图 品，它的部分设计图如图②，其中扇形OBC和 7.(蚌掉三模)如图，C,D是以AB为直径的半圆 扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠O 的三等分点，CD=3,则阴影部分的面积是 100°，若OA=120cm,OB=60cm,则阴影部 ,(结果保留π) 分的面积是 cm2.(结果用π表示) 8.如图，在△ABC中，∠C是直角，AB=6cm, ∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针 旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D 0 图① 图② 处，则AC边扫过的图形中阴影部分的面积是 4.(中考·重庆A)如图，在矩形ABCD中，分别 ,(结果保留π) 以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧 有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影 部分的面积为 ( A.32-8元 B.165-4x C.32-4π D.16/3-8元 第8题图 第9题图 ⊙ 方法④化“零“为“整“法 9.如图，⊙A,⊙B和⊙C两两不相交，且半径都 是2cm,则图中的三个扇形（即三个阴影部 第4题图 第5题图 分)的面积之和为 cm2.(结果保留x) 43探究在线 九年级数学（下）·HK 微专题6 圆的综合问题 类型①圆与三角形、四边形的综合 类型2 圆与相似三角形的综合 1.(中考·巴中)如图，四边形ABCD是⊙O的 4.在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 内接四边形，若四边形OABC为菱形，则 与AB边交于点D,点E在BC上，且BE=DE, ∠ADC的度数是 若EC=4,BD=2√/7，则⊙O的半径为（提示：连 接CD) 第1题图 第2题图 2.如图，等边三角形ABC的内切圆与三边的切 点分别为D,E,F,若AB=23,则图中阴影 B.247 部分的面积为 .(结果保留π) C. 3.(六安三模)如图，已知AB为⊙O的直径，CD 5.(合肥二模)如图，AB为⊙O的一条弦，CD与 为⊙O的弦（不是直径）且交AB于点F,F为 ⊙O相切于点D,AD平分∠BAC,AC与⊙O CD的中点，四边形AFCG为矩形，FG为矩形 交于点E,连接OA. 的对角线，延长GF交BD于点H。 (1)若∠C=68°，求∠OAB的度数： (1)求证：GH⊥BD: (2)过点A作AF⊥CD于点F,求证：AB·AC (2)若F是OB的中点，GF=6,求⊙O的半径. =2OA·AF. 第24章44 电3圆与三角函数的综合 8如图，抛物线y--4与x轴交于A,B两 6.如图，在△ABC中，CB与⊙O相交于点D.下 点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上 面是两位同学的对话： 的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ,则线 小杰：漂拥条件： 1A是直径，8D=CD 段OQ的最大值是 结论：4B-4C. 小：盗恤茶件： DAC=AR:CD-BD 结论：AB幕⊙O的自径 B (1)选择其中一位同学的说法并进行证明： (2)在(1)的条件下，过点A作⊙O的切线交 BC的延长线于点E,若BC=12,⊙O的半径 9.如图，在平面直角坐标系中，直线：y一kx十1 为5，求tan∠CAE的值. (k>0)与x轴、y轴分别相交于点A,B, tan∠ABO=3. (1)求k的值： (2)若直线1：y=kx十1与双曲线y=m(m≠ 0)的一个交点Q在第一象限内，以BQ为直径 的⊙I与x轴相切于点T,求m的值， ④圆与方程，西数的综合 7.已知⊙O的圆心到直线！的距离是一元二次 方程x一x一6=0的一个根，若⊙O与直线1 相离，则⊙O的半径可取的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 45探究在线九年级数学（下）·HK ©第2课时 圆锥的侧面展开图 ①基础在线 、知识受点分类练 知识点与圆锥侧面展开图相关的计算 1.(中考·通辽)如图，为便于研究圆 锥与扇形的关系，小方同学利用扇 第5题图 第6题图 形纸片恰好围成一个底面半径为 6.(黄山期未)如图，圆锥的底面半径是2，母线 5cm,母线长为12cm的圆锥的侧 长是6.如果A是底面圆周上一点，从点A拉 面，那么这个扇形纸片的面积是 cm 一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这 (结果用含π的式子表示). 根绳子的最短长度是 () 2.(中考·扬州)若用半径为10cm的半圆形纸 A.6、2 B.6w3 C.12 D.4x 片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的 7.(中考·烟台)如图，在边长 半径为 cm. 为6的正六边形ABCDEF 3.(中考·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1cm, 中，以点F为圆心，FB的长 它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的 为半径作BD,剪下图中阴影 高为 cm. 部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半 4.如图，用一个半径为20cm,面积为150πcm 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头 径为 损耗). 3 拓展在线沙持代拔尖提升然 (1)求扇形的圆心角的度数： (2)求圆锥的底面半径r, 8.如图，有一圆锥，其高SO=20,2cm,母线SA =30cm. 20cm (1)此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是 (2)若在此圆锥的上面截去一个高为10√2cm的 圆锥，求剩下的几何体侧面展开图的面积. ②能力在线 、方法规律综合练 5.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面圆的直径， 已知BC=12cm,圆锥的侧面积为60πcm,则 cos∠CAO的值为 A B号 c 第24章46(2)出(1》理∠m-99” 陵力在线 4=指， ACE×wE+1a=2V2a 0用=gm,C-表0 A10.511A.1无.31 ∠0M-∠0s-}cw-∠A5)-g-∠Ng ,20山(w7+2x,,AC-2A0 由句2定理，司C=P平C=1(m 及(1}正，⊙1为△ABD的内回图，G,E,F为写或， 蹈展在镜 86m-0:0C-0m, AGAF.BG BE. 又V∠ACB-∠A0B, AB-AC. 1(F在⊙0中，∠A0第-且C-D-正-子 即号×6×留-子×0×0深 A-AG=AG-AF,牌=于，.N=CP ,∠OBA=0-∠ACR AB. (2度E=x,:D=10,,0E=DF=10-1 品∠0E-∠0HM十∠E--∠B十∠ACB-W ∴∠A0B-∠，-∠Y)=∠花=∠数球= OF-4.8CF--.46cm). C0CFCD+DF14-x. “0用是半径， ∴∠FOA=0,∴AI=C=CD=DE-EF=FA 廿CF,G分别与@0相银干点F, ,D是⊙0的想候， O4-O8,六△A0B为等游三角那. ∴G=CF=4,4m 精展在线 24,6王多边形与圆 理可△BC,△0.△DOE,△BF.△A0F为 需力在量 14C1》ADiB1 第1承时兵多造彩与国 等角形， 9.C10.A11.B (2)证明：过点0作O用⊥N于点H,莲接D,E: 基题在楼 .∠AK=∠k》=∠卫E=∠DE求=∠EFA= 12,1)64 0F,如围- L0.D1.104905CC ∠FAD=10,,大边思A改CDEF为匿内正六边形. (2)如医，连接0， ∠ANM=时'=∠B, T.节这个正九边形的外援属为⊙0， 被点0作0GLAB干G:设⊙0的平径为r: C,P8分别与⊙0于点C,,AD是 ∠A=∠A.AM=AL. 六∠B0D-e-4,∠A0-1∠D-88 渊有0对=0=B=n 直轻。 号.6×吉…马6：新得一心负值E 六00m i∠CPO-∠OPB,∠PBO= KANAC 5∠AAD-号∠0-20.∠8-号∠MC- H0=期， YAD-AF.AN-AD-AC-AF 衡去). ∠1=∠LD+∠AC=+4'= :P推是D的感直平分线， 博DN=F 暮，⊙0的集轻为名 ∠C=年，②0是△ABC的内切调，5.F为蜡点， R图期不 ,0=Pu.,∠OPn=∠DPB (直线PD与⊙O图0，理由， ∠OPB=∠DPB∠C ∠C-∠0EC=∠0F℃-0 连接0血 ∠0C-81',∠0PH=∠DPB=∠C0-" 品图边形C下为矩形 ,P为⊙0幽切线，二∠0P=T .∠=38”7”=41。 (迟-8，周难形F是正方形 在AP有ADOP中。 拓解在蓝 章=O.N= 0B+D0. 13.1)证璃.过直0作0E⊥AC,重星为E,如图， ,∠ANM=T=∠ODN=∠HN, 密力在墟 ∠0P=∠0P=每' "以州0为周台：O关为单轻的⊙0与AB 因边用OHND是夏形.O=DN. 9B16A1l.D12.C 0=P, 相银于点B,码⊥AA 0H=0E.即DH是⊙0的单径 山，任务一：如厢，正大效那ABCTAEF和正大边形NB'CDEF 'AO△DOPLSAS).,∠ODP-∠OP-0 A0平∠BA,05-四 OI⊥MN,NN是@0的g线 每为所作 ?D是圆上一是，直线PD与⊙O相间. ,0呢舞⊙D的平径 阶段测评2(4.424,5司 247祖长与角形面积 又OE⊥AC.C是⊙O的同线： 1.B2B3.h4A丘B6.C 民1课时旅关与扇影面何 (2由通意知：∠ABC-”, 1.d>5&5.2810m91,4 基得在 根据的段定理.得C-√一AF=√/了一可=2 1.(DC (2)C (3)B 2.B 12(1W8-1(3)4 :AB,AC均为心O的切线，切点处期为B和B: 1及如图周军，涯属DE,O吸 k=4語点4年a2店气1=&A AE-AB. ∠B=8∠C=N', 醋力在的 设⊙0的卡骨为r:则OE=OB=,CE=AC-AE=I1 挂务二1(4,3减(1，一5) 3.C10.C1l,4g12.8e 5-8.0-C-0ew12-r, :A几，AC是回O的切线 粘膜在战 1三1H证期”PA与@0相切， 在△中，樱星匀数定，哥C=5半0 ∠FA=0,∠0EA=9到 12-+新得一号即0-号 1.113w可762)3 ∠CAP=9 ∠A十∠BOF=10,∠日0F=13 ,AELPB.∠AEP= 六∠ED=达 第2课时正多造形的性质 h∠CAE+∠EPn0m∠P+ 4PA,P8.成是⊙O的n线，点台鳞为A,9,C,D和 看在楼 ∠EAP.∠CAE=∠， E分在PA,PB上，PA-,D是PA的中点， LC 2.A 8.B 4.A B.A ÷.∠CD-I∠CAE=2∠R &虹国，连援QC,0B 24,5三角形的内切圆 ÷rA-B-,PD-A--PA-3,-r )塑图，盖接，速点0靠0上A5 正★效形A0EF内接于⊙0 蓝随在线 ∠P=的'，∠CAE-∠P=,OM=0 ∠0C=G0 L.B.D1.A4日5.C&C7.20 PE-PB-EB6-:,DE DC+EC8+c. ,程， ÷△01D为等诗三角s.:AD=OM-三AC=4 8.注援AF DLCD,∠PDC- △C为等边三角志 :⊙(O是△ABC的内时国 在△PDE中，(6一x)=十(1十x)',解得3=1 ∠w60,BC=0Bm4 ∠ODA*.7OH⊥AE.AH-HD-AD-t 二AD=AE,BD=HE,CE=CE YAB-AC...BD-CE. m-佛-学-专 0t-0B,wa∠08w-4×号-25 OHAH+6023. ,PB⊙0相切，∴∠0BP=9 BFCF. IEt1)Y∠BAE=∠CAD.∠DAE-∠CAB 六这个查大边形的边长考4.边心里W的长为3 ,归LA,A6⊥PB.四边悬为知8 aF-c-吉×10-5,1c X:AD=AG,∠AD挥=∠路， 7.D&12 .EH=0B=4,EB=0H=2T. △D4△CAIAA) 能力在线 ∴DE=FH=DH=I,C放EH AF-√-F-过 EAB5. gA1aB1.A12,C1115十2 ∠0D=∠0M-m, 六80c-子C·AF-号×10X2- (证明，如图，连装OM, 14,4102wE+2 由【1)，周AE=AH,其AD=AMC, 设@0的牛经是，则号×+日十1o)·-0. 2AC-2Aa,理由如下 ∠ANF=∠AEN,∠ADG=∠ACA 设E八速形的边长为“ 4-5 ,∠HAE-∠CAD 新得一兰©0的轻为号 ∠ABE=∠EB=∠ADC■∠AC 周E者形ACD临边长为+D,0-停+ 六别墨再分的面飘为语-等 12 家究在线·九年圾数学（下），HK 托保在线 12×8-0×CHCH-售 礼把球传阶队具乙较好 :∠AEH-∠AB,÷∠AEi=∠AB 14A 微专丽5与压有关的明影翻分面积的计算 六AH-VaC-C-号 率由：憧D展的交点为E,蓬接AE 由园周角定理如，∠AC百>∠AEB, La2.号x&100LD6A ∠AEB∠LDB,品∠CB∠DB m∠AC-智-磊 .e1,n2胃热移24兰，51 因此队员之俯射门角度更大，放把球传超 6要7是km “AEw⊙O于点A.LE上B 队风乙鲜， 第25章投影与视田 需力在线 散专题5圆的惊合问醒 :CH⊥AB.AE9C 25.1段影 4C5.大 1m之9+号 ÷∠CAE-∠MH,aa∠CAE-an∠AH=T 第1课时平行投数与中心投数 &(1》∠ACB逐新变大 基碧在性 3.(1D正明，如图，连接AC受F于点M A&音 (珍整图所示，作整过点A,B且与真峻（阳切的属，此明超 L.平行2.D&D 味是城点C蓝来到切点严时，剑门角量大 4.如周.DE写为所求 士网边恶AF防为矩形， 5.0)在y-+1(0)中，令士，周y=1,08-1 .M=MW,∠MAF=,∠AFA '∠MFA-∠IFH,∠AF=∠CD 在△A08巾，m∠AB0-品-9百， ∠BFHm∠CDB. A0g,A一5D :AB为⊙D的直径，F为常D的中点， 5,8系C.Ak3 把点A(-5,0)代人￥=+1中，得0=一5t十1.解 阳漏在域 9,如惯，￡即为小暂在路灯下的则予。 年∠F7+∠F=,∠DF+∠CDH=0 将一号 I.C ∠FHD=.,GHIBD (2)如图：连接OD?AH⊥CD,F为0B的中A: 2)a∠A0/5 单无地合复习（一）圆 0D=B0 ∠A0=09,∠M0-1m 1D &D &(1》如图期常，△AB,C即为所承. 健方在俊 女0出=0，二△中是等道三角形 清接T,回I与x结相切干成T, ()如图所示：△LB写即为所承. 1A11.C12.D 二∠B=B时.∴∠ACD=∠8=0 TLAT∠TA= 1条(1山点P的的置回唐所余 同边形AFO0为矩邢，AC-GF=《.品CF=3, 在R△A中.∠BA0w',Q8=1.LB=2, (2Q厚为树高：如同所示 F为C沿的中或：DF=CF=生 在△AT中，∠AT-D,最fT=r.则A=十2， (11这P点作G⊥NF,垂足为 ,烟的长库为亮灯的高度 作CLx轴下点C, 在n△ACC中，∠Q4C-g,-子A0-子×g- 而H∠QNM=∠DFB=4,∠NPF=9W,即△PNF为 回O的半轻为2年， 等置直角区角形 40 AC=AQ·an'a5. 互.(1)如国，分则连楼C洛0D,E 0C-C-A0-33-5=25. 际联PG-NF-于(N+AE+EF)=×.2+ 424g5,sk1/0元，C4,0g,0 AD平》∠HMC, ∴0(2vi)更支a(2i,a)代人y-g,4m-。 16.2+L.8》=l2.6(m》 ∠UA=∠EAU a,c后2，位，，增4图交心 即亮灯的高皮为12， .BD=D为E的中点。 慕2课时司维的侧面展开围 16.12+8817.（-22,2) 后城在战 D4N民 基健在健 世CD与②0相切手点D,D1CD 1.G0m28k 18.(1)需明，盘丽，连援(D 4,:到光是平行战，母》aC,器-器 ,ECD.∠AEB=∠Ci8 4.)量医心角的度数为，由聪意，得 “真线：③O花请于hL CC-1,子，0t-16.A4= ∠A08=13别 :型-02解特一1改 ∴0M=O8-AB-1. ,ODAE∠DAE=∠AD@ ∠0AB=言×(18”-1g)2, 所鼎参的腾心角的度数是13 WQM=OD,∠DM0=∠ADC -品新将cm- (2)正可，如图，国长AO交⊙0千真G.莲援BG 2板数题童，将2饰r一1X业解得一，品 ∠DO=∠DME.零AD平分∠CAE 答：园户的商度为L,票 F⊥CD,AG为直径，∠AFC=∠ABG= (2)设@0的牛径为，则《=常+C=十1，D=了， X∠G-∠AKB=∠G,△AG8A△M求 所以侧懂的庭南牛让？为了，： 在△OD中，0+CP=0X, m出题意，p成WA℃器-器 ÷0-瓷AB,AC-AG·A-0A·A5 整力在线 ,+公=(+1)，解得=4 :0C=1,20=0M+A4'=,4=1,5 5,A6B7,5 ⊙0的率程为4 1,1)明：连接8D,00.如 “-医- 位(1)选异小表的说波，证明知下：些 新熙在战 126 hE-1+A里-0期=2+2,5-18=感，9(m 接AD, FAB是⊙0的直整， 每E的长为0，P群 42)我题能国知，房C804,?=102 ADIBC. 第2课时延液彩 .△08△sA "CD,点O,B在D的腰直平分线上 卡BD=CD,六AD看直早分BC,AB=AC ,0B直平分D.-∠AFD=0 基稻在碳 速群小兰使丝证酮略 紧-器- '∠ADC=∠AEB,,CD8E L.B2e3.04.w1 (2)过盛C年CH⊥AB于点H. 整力在成 解得S0-15. ∠AIE=∠AFD=..ABE ”风非见⊙0的直整+∠AD站=灯' ”AB是⊙0的直程，感是心0的切线 5,Cf0 (3)5⊙0的中径为2，.A1=2×?=4 7.由正授要的性典可群，王控要BCD:是斯形，且AD A-,aBD-B0-×1g-6 一期下的几年体侧图晨开阳的更标为：5 AB是⊙0的直，∠AC=0 =A0=10m :⊙0的中提是5，÷4H=2×5=14 350 C-3.A=VAB--v-了F 加周，过点A作AH⊥B破， 二AD=√AD=表 24.8单合与宾器好球域降与量件财门角 :△AC面积为C·AD-A·C 基碳在候 am∠Ac-能-g 室从平盘H ∠AB=45 1.G2 :-C六∠A-∠AC △ABH是等腰直角三角形. 一家究在线·九年级收学（下），HK 13