24.3 圆周角-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（沪科版）

---- 陵力在 3-o1 -nI-t--t-IN 8.A 10.8 11.B 15. 1 2.MA--Mo-A- Ar-B-A-AB. 过点OV1AB交AB干点P,MV交②0于点 13.有错莅. 2.OA-O-A-(- _AC184-. M.0.交CD干X.选提0E。 正没AC-B[C,A-乙B又-° 7.BF8B0B-0F-2. 在达APC,据段现:C下-”一A尸- 所1乙-乙A一”这与A',1AC 怪定理,符P一PF--FF-5m 在BA中A-0-tC AC不立,过A A-7A-I--?-1 ACDICDP-AHm -()- 11.(1)姓图,点0为所求的心 ②o-4rm. 即AC的长为. (2)选核A0.D0A0交C干点E 第2时 圆内接四边形 ----- -A-ACAF1C. Ar1cDCD-2CF-2X-1 的径%rn(x-rn0$-- 基匹在性 r---x8-. 1C23.B 4A B 5.C 3.A6 在RPE中,,得PE+OPO. 7.AAC别之0D两. 7.1证确。边ABCD内于CO. +(-段-10 在A. 2.用诗过7是0的内接 2直M0-0m AFA-B---ml. A+- +-1 A-CE 4.M-+0-2--1(] DC-. 在80中,0-+0 D/n-1 料件的是大高度为21. -七+(R一】)- AD-C D-DF- D 第深时 因,然、然,弦心题网美 x7A-AA△AnAC A-E 基在校 2.回片的半程R为- 一AD·AB-AFAC. oC-rA0C-1 1.B 1 3.0 (加图AC u在 Ccp c o c o 1-1 .AC是0的A- (oCD 0 4 . 素力在线 D- FA--. 24.7国周角 1.B 4.A 7.B 3B D.C 10.A11. 17.4' 12.. 第了谨时 因用定理及 CB的中点.B--- 9.AB-A.B0C-12. 141-An- 基在线 0B0-(-o-1% .达卷AC为0的内. ABCAC-A+BC--5 1C . 84B1.61 7.CB 2.AFD+C-1 0的去是% AO-乙A0C-8OC 3.选接AC. ZBAD-1”BD-C. 70DA:- AB-A- 11.00A. 5.6 3C 111 △AiC是等达三角 --p- 1M-D- ( 2.OCABAC+AT-I” 10.C .乙-CA 拓蓬在指 办在域 O1AD0CCAD- 2.CF-Ar 1.1证形A是D的内阻达用. 11.B 12.C 13.B 14. B -0~C0CA 力在院 .AD-zAnC 13.1过点00MA8于. EACCADAC平EAD A0-AC2AD-乙MCg 1nA 11.B 12.p0 1.3 20-0-第. 内的过,乙AV乙A (在A以上任一NAVV.图 .AM-M.EM-FM. 14.00A.D-fr. 7.ADE-/ACB. ?乙ADn-ACB. AM-FM-BW-7 8-7 “”C平分字A高. .ADDD平 A- 一二OC与乙DAC例是茫C析的心角与题。 ()(Y3现长交于点,是 0CABA-pA0-ao-Arr 1170A80-0B(-0. 1.r-?AC 2.CF 是直乙F-0 Ac-Ar Ap.- .oW-1onOM aD01A. 20的径为-1 .. .OM-0A2M- FOM +*-0P-3提+r- .D--lAC IYCADCAFDAC .0-AC-m 听/xC r---. ANn-乙ACAV-乙A AC-ADC 拓离在拨 14.(1).0E1P干点 x0C-0. n-F&nzn- 0-1r-o)-Dr- BAC-D 0FIP于点 An-乙A0nA--AO -A-zar:o- 文-1. 激专题? 与因的基本性围有关的辅助长 乙ADC-A0CA0-AD 0F.A-1 m 3ADFoBO 1.2 2.D1B 1AA-0A (存P~P理如下。 _ 4.(1)图所录:选A0. $A-D0AD-PDAOAA-g-D 在0GPAOPB.分%G AC-”A-r. BD2.形0D是.0A。 C.-D.O. APC-BC. .ACD-1-BAC-A- 一要形0是主方形. 在线 000.oo 180-10-2-70 除段测评1(24.2~24.3) 1.1iA-F: 00P-PH 1ACADACDADC 7.数1.1.110 1125 1C2A3A1DC6. A HH. A-A 又乙$AE与乙ICE 是F对的因 a--乙ACD-A-rr-r-nr- 1-0-BH. D-乙CAl-CaD-r一- 1(2 $G+A-H+8 PA-P8 心A-F AD-ArDrA-乙aDr-(1-乙DAF- -B. -AF-7E.Cl-/B 13.选A. 第1课时 四的确定 CF平ZACD乙ACE-乙DCE -×30--6 “阻用A是平图达。 A是:AC- 基越在拨 GAF-ABFEAr-ZAFB 1.AD LC 2B 8.B 4.C 5B 4.C CF+CF-IEACE-二AC- (2)报所:过点A作ACD,发上 乙C-90AC-).A-. CDF-CD1AB. 7.三角形的三个内小子6” --A-A 8D 2.r-00- (-- AAFFAFACF-gF 10 一探究在线.九年易数学(下):HK 1A.是(0A.如到或 8.A为所 3.000 01ABA-m (7):图,DIA于点C PC是0切线。 A AD是CA平线,DCI P(-0 0- 2A--A8-10m OA0- 120D-0.0-0C AC.0E1AB. 0-oC-:nn-0-CD 2D-C ”AD)CA是 --)n. D1ABD为办挂。 文D是②0上-CD%0n 00-. 在RAD2中,由暗,得艺一---, 2.A与D相 ADno0PD0P0. 得-14.3 0-0{. “力在线 加远 二这5批临主标批的轻高1 0 2则是。 3.B 10 11.1.1127 1.2晚AD是展内陪。 点D在0上.Pp是②0的线. 0+CF-nF+Br-。 5.o 乙B+乙AD-10 13.(12AB为0数。 4.图,过点0(1A干F乙-°。 ChA的告. 1ADEADC-1 1c--g1 由空理的让可0C1A 是0. B-乙ADF - 7.(1相.下。 CDA0CCD. “Mx 选0C. 00-o” 0C为0的径C段是0的评提 ABC[A-CAE vaDnD. -CADAI AD为0.2APAD. F CAiCCF. 170-0--1-. 0-0图-. -ABD+BAD- 14.411A2是等三角形,证研过程加下: .AP平AC部BAC-DOA ADAHC. 即A言 2AC%0的直程. -C-07-00-4. HAn-0 .AD-乙AB- $-x0xc- -0-00wC-0CA 1.AC0 Cl -Ann-- CDABBAC-ACD 1-OAO'In.0OC PoC-OCP -.A- 陌庭在线 -OiA.A0视 4(101A于 ”'/AAAC是三程 DP-ACDC-P. 觉专题 切的性质与判定的 △AK为限三形.0是 在△A中--. -POC-OCM-. 达C的中点. 2.[CPPOC 1.D 2B 3 2.AC-2. 4(1,过0点OE)x干点 -A0)量.A0分8AC 在△ADCAD-1AC-. .rox-y -A与o0于点A.CD80. ”AC与指0相于点D. C是0上的一. 2.CD-vC-AD- -80-- oAC -01AB:0-0 2.直线PC与0相. 过点AAF BBD干点过点CCF I段干点F 0-/07D. -与切. 2.A0D (A直分故. △ADE和凸CDF是直角三. It现:A0耳(改)AC 1DD080p AC-An-C士C-. A-A-.cr-cn- 701A8010-. A0COCtr. 在R△AMC中由句得A-AC-C- -Sr-+-55 0C+0CA-I-Ao-noD -.p辑t. ×1x-士+ CA-1-(C- (7-7.BC-1. 没0的径为0M-A31-01-- - .0-( $AC-0Y .B- 0DCCD-1-0+C-oD- 客达0As看O0-0F. (0ō0. 在达0中,理,选 0C+0D. -+-- 24. 直线与圆的位置关系 00---00得0D-20- 2R0XB2--7 anoc-on--4 第!现时 监践与面的位置关系 .C----7-1 .0-6--21 在线 在R0CF中O+CE-O语0r ..x-. 1A 1.C3B 觉专题1 切线证明的常用方 1.A0题,文②07点F.路 +1-(2-”初-1. 4.可点C到A的一 _-- &2D (12-1.A 7AB-ACAD-DC. 即o 2---△rB初 a. 第3深时 切线长变理 --nD-C (3)-A8相交 2过点D01A行点 --h 基础在 办在线 &接0. 又”FB//5 LB 2A3.C 4.C 5.4 4.1tm 5.154.77流 -AG-}.-0H-0 AF是0的.AD-3 7.生000D. A与0句 2.D-: AA别与小题相于点B. 托展在规 (7A6-801A后0- .乙MCAD-AC- 5.(1(2)交 AAC是大韵。 .1AC00A.AA 2.AAC. 第?课时 却画的性质与定 AH-20-0r-- A为0的直是. 在Rt△AOH和RAPM中. 基在找 AD--ABA-AC. 第-一--. AC是0 140 1.C 1B 4B 2.A-AC 2.如%,决(. 3.(1证,选技0F.根据训线长定理, 5.王点.3 经检,AP一是方程的幅B符合题意. ## ./ 2AD-AC-r. P-AG-aP--1 -{-C. 2./0-DA “-CaDAD-AD. 0r-0.0cr-z0r CF-D0F- 6..1是0指 2.△A102△A0DA8. .D. DA-OA0AD -.1020n- -A -1A01b D A是运BAD的平线。 1 (是是。是②0的线 .000F-0. 2.7D-nA 7.7AC-B1不-) .zm0-r.o0 一探究在喝·九年现数学(下).HK一 1124.3 圆周角 ©第1课时 圆周角定理及其推论 ①基础在线 、知识要点分类练 知识点1圆周角的概念 1.如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P, 第5题图 第6题图 连接AD.下列角中，为AB所对的圆周角的是 知识点3圆周角定理的推论 () 6.(芜湖期中)如图，A,B,C,D是⊙O上的四点， A.∠APB B.∠ABD 若∠CAB=40°，则∠BDC的度数为() C.∠ACB D.∠BAC A.30° B.40° C.50° D.60 7.(中考·湖北)如图，AB为半圆O的直径，C 为半圆上一点，且∠CAB=50°.①以点B为圆 心，适当长为半径作弧，交AB,BC于点D,E; 第1题图 第2题图 ②分别以点D,E为圆心，大于2DE的长为半 知识点2圆周角定理 径作弧，两弧交于点P;③作射线BP,则 2.(教材P29练习T2变式)（中考·湖南）如图， ∠ABP= () AB,AC为⊙O的两条弦，连接OB,OC.若 A.40° B.25 C.20° D.15 ∠A=45°，则∠BOC的度数为 ( A.60 B.75 C.90° D.135 3.(合肥期末)如图，△ABC内接于⊙O,连接 O D OA,OB,∠C+∠O=60°，则∠O的度数是() 第7题图 第8题图 A.30 B.40 C.50° D.60 8.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB⊥AC, AB=8,AC=6,则⊙O的半径长为 9.(毫州开学考试)如图，已知AB为⊙O的直 径，弦CD⊥AB,AC=CE,AE交CD于点F. 第3题图 求证：CF=AF. 第4题图 4.(蚌埠二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆.若 ∠ABO=30°，则∠ACB的度数是 () A.50 B.60 C.65 D.70 5.(中考·山东)如图，△ABC是⊙O的内接三 角形.若OA∥CB,∠ACB=25°，则∠CAB= 17探究在线九年级数学（下）·HK ②能力在线 ，方法规律综合练 10.如图，C,D是以线段AB为直径的⊙O上的 两点，若CA=CD,且∠CAB=25°，则∠DAC 的度数为 () A.65 B.75 C.25 D.57.5 D D 第10题图 第11题图 11.(中考·赤峰)如图，AD是⊙O的直径，AB 是⊙O的弦，半径OC⊥AB,连接CD,交OB 于点E,∠BOC=42°，则∠OED的度数是() 3 拓展在线》培优拔尖提升练 A.61°B.63° C.65° D.67 15.(中考·安徽)如图，⊙O是△ABC的外接 12.(中考·连云港)如图，AB是圆的直径，∠1， 圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线 ∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上， 交AB于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE. ∠1，∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+ (1)求证：CD⊥AB; ∠2+∠3+∠4= (2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1, 求AC的长， MP ED 第12题图 第13题图 13.(合肥期末)如图，点A,B,C在⊙O上， ∠ABC=90°，AB=3,BC=4,D是劣弧BC上 一点，则sinD的值是 14.如图，已知△ABC内接于⊙O,过圆心O作边 AB的垂线，与AC的延长线交于点D,与边 BC交于点E. (1)若∠D=20,求∠BOC的大小： (2)求证：CD·BE=DE·OB. 第24章18 第2课时 圆内接四边形 ⑦基础在线 知识要点分类练 5.(中考·牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，AB是⊙O的直径.若∠BEC= 知识点1圆的内接多边形 20°，则∠ADC的度数为 () 1,下列说法正确的是 () A.1009 B.110 A.圆内接多边形的各个顶点都在圆上或圆内 C.120 D.130 B.经过四边形各个顶点的圆叫做这个四边形 6.(教材P32习题T8变式)四边形ABCD内接 的内接圆 于⊙O,∠A:∠B:∠C:∠D=3:m:4n,则m, C.圆内接四边形是指四个顶点都在这个圆上 n满足条件 () 的四边形 A.3m=4n B.4m=3n D.一个圆只有一个内接四边形 C.m+n=7 D.m+n=180 知识点2圆内接四边形的性质 7.如图，AB,AC分别交⊙O于D,E两点.求证： 2.(中考·吉林)如图，四边形ABCD内接于 AD·AB=AE·AC ⊙O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若 ∠BEC=50°，则∠ABC的度数是 A.50° B.100 C.130° D.150° .0 0 E 50 B C 第2题图 第3题图 3.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD =108°，若∠ECF=60°，则∠DCF的大小是() A.30 B.48° C.54° D.60° 4.(毫州开学考试)如图，两圆相交于A,B两点， 易错点因忽视弧所对的圆周角有两种情况 小圆经过大圆的圆心O,四边形OACB内接于 而漏解 小圆，点D在大圆上，若∠ADB=46°，则 8.(六安期末)如图，A,B是⊙O上的两点，C是 ∠ACB的度数为 ( ⊙O上不与A,B重合的任意一点，如果 A.88 B.86 ∠AOB=142°，那么∠ACB的度数为() C.84 D.82 A.71° B.142 第4题图 第5题图 C.71°或142 D.71°或109 19探究在线九年级数学（下）·HK ②能力在线》 方法规律粽合练 (2)延长ED,AC相交于点P,若∠P=33°， 则∠A的度数为 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直 径，若BC-AB,则∠ADC的度数是 () A.100 B.110 C.120° D.130° 第9题图 第11题图 10.(教材P31练习T3变式)（阜阳期中）下列四边 形中，四个顶点一定在同一个圆上的是() ③拓展在线 沙持化拔尖提升练 A.矩形、正方形 15.(六安阶段练习)如图，四边形ABCD是⊙O B.平行四边形、矩形 的内接四边形，连接AC,BD,延长CD至点E C.菱形、正方形 (1)若AB=AC,求证：DA平分∠BDE: D.矩形、平行四边形 (2)若BC=3,⊙O的半径为2，求cos∠BDC 11.(泡州三模)如图，等边三角形ABC内接于 ⊙O,E是DC上的一点，且∠DOC=90°，则 ∠DEC-∠OCB的度数为 () A.135 B.120 C.105 D.1009 12.(蚌埠三模)如图，AB为半圆的直径，O为圆 心，C,D为半圆弧上两点，且AD=DC,若 ∠CAB=10°，则∠C的度数为 B 第12题图 第13题图 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB交 CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE,AD =5,CE=√13，则AE的长为 14.如图，在△ABC中，AB=AC,过点A,C的 ⊙O与BC,AB分别交于点D,E,连接DE. (1)求证：DB=DE; 第24章20 微专题2与圆的基本性质有关的辅助线 类型①与垂径定理有关的辅助线的作法 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A +方法指导++++++++++++++ 为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D,交 在圆中，求弦长、半径或弦 AB于点E,连接DE. 心距时，通常过圆心作弦的垂 0 线段，再连接半径构造直角三 (1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数； 角形，利用勾股定理求解.简 (2)若AC=3,AB=4,求CD的长 称：遇弦、连半径、作垂直.如图，AC=BC, OC+AC=OA:. 1.(芜湖阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，弦 CD交AB于点P,∠APC=30°，P是OA的 中点，且AP=2,则CD= D 图① 图② 第1题图 第2题图 2.(池州三模)如图①，平底烧瓶是实验室中使用 的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物 质，可以轻度受热，如图②，它的截面图可以近 似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形ABCD 组合而成的图形，其中BC∥MN,若⊙O的半 径为25，AB=36,BC=14,MN=30,则该平 底烧瓶的高度为 ( A.20 B.40 C.60 D.80 3.(毫州开学考试)如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，AB=10,AC=8,D,E分别是AC, 堡型2与直径有关的辅助线的作法 BC上的一点，且DE=6.若以DE为直径的圆 方法指导+++++++++++小+ 当圆中出现直径或90°的圆周角时，通常 与斜边AB相交于点M,N,则MN的最大值 连接两条相交弦的端点，利用直径所对的国 为 ( 周角是直角或90°的圆周角所对的弦是直径 进行解题.如图①，∠ACB=90°：如图②，AB 是直径 A.5.6 B.4.8 图①D 图② C.4 D.1.6 21探究在线九年级数学（下）·HK 5.如图，△ACD内接于⊙O,点B在⊙O上，连|8.（中考·苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三 接BC,BC⊥AC,若AC=6,∠ADC=30°，则 角形，若∠OBC=28°，则∠A= ⊙O的直径为 () A.12 B.6√3 0. C.6 D.33 B D 第8题图 第9题图 第10题图 9.(六安模拟)如图，△ABC内接于⊙O,∠ACB 135°，⊙O的半径为1，则弦AB的长为() A.1 B.2 C.2 D.22 第5题图 第6题图 10.如图，△ABC内接于⊙O,点D在⊙O上，连 6.如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O, 接CD交AB于点E,若AC=BC=2,CE= ∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙O的半 1,则CD的长为 () 径为 A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,分别延长BC, 11.(合肥三模)已知：如图，在⊙O中，OC平分劣 AD,使它们相交于点E,AB=8,且DC=DE 弧AB,OC与AB交于点E,点D在OC的延 (1)求证：∠A=∠E; 长线上，OA⊥AD,连接AC. (2)若∠EDC=90°，C为BE的中点，求⊙O的 (1)求证：AC平分∠EAD: 半径. (2)连接OB,BD,延长BC交AD于点F,如 果AC=AF·AD,求证：四边形OADB是 正方形. 类型③与圆周角有关的辅助线的作法 方法指导++++++++→++ 1.构造同孤或等弧所对的圆心角或圆周角： 2.构造圆内接四边形. 第24章22 阶段测评1(24.2~24.3) (时间：40分钟满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分）》 二、填空题（每小题5分，共30分）》 1.下列圆中，既有圆心角又有圆周角的是( 7.用反证法证明：“5是无理数”，第一步应假设 8.平面直角坐标系内的三个点A(2,1), B B(-1,3),C(2,-4) 确定一个圆（填 2.已知⊙O的半径为9cm,若OA=10cm,则点 “能”或“不能”). A与⊙O的位置关系是 () 9.已知四边形ABCD是圆内接四边形，若它的 A.点A在⊙O外 B.点A在⊙O上 内角∠A:∠C=2:3,则∠A= C.点A在⊙O内 D.不能确定 10.(毫州开学考试)如图，AB是⊙O的弦，半径 3.(中考·宜宾)如图，AB是⊙O的直径，若 OA=1,∠AOB=120°，则弦AB的长是 ∠CDB=60°，则∠ABC的度数等于 () A.30 B.45° C.60 D.90° 第10题图 第11题图 第3题图 第5题图 11.(中考·南充)如图，AB是⊙O的直径，位于 4.已知AB是⊙O的弦，若OA=√2，AB=2,则 AB两侧的点C,D均在⊙O上，∠BOC= AB所对的圆心角的度数为 () 30°，则∠ADC=度 A.30° B.45 C.60 D.90° 12.(准北开学考试)如图，AB是⊙O的直径，点 5.如图，已知点A,B,C,D都在⊙O上，OB⊥ C,D在⊙O上，且在AB两侧，DE⊥AB于点 AC,BC=CD,下列说法错误的是 ( A.AB-BC B.∠AOD=3∠BOC H,交线段AC于点E,CB=CE,osB=3 C.AC=2CD D.OC⊥BD 6.如图，⊙O的直径AB=4,半径OC⊥AB,D是 H O BC上的一个动点，DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分 别是E,F,则EF的长 () (1)AH (2)若AD=5,则AB= 三、解答题（共40分） A.变大 B.变小 13.(8分)如图所示，以口ABCD的顶点A为圆 C.先变小，再变大 D.不变，始终等于2 心，AB的长为半径作圆，与AD,BC分别交 23探究在线九年级数学（下）·HK 于点E,F,延长BA交⊙A于点G. 15.(10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O, 求证：GE=EF AE∥BC与CD的延长线交于点E,∠BAC =∠DAE.求证：AC=CE. 14.(10分)（毫州期末）石拱桥是我国古代人民 16.(12分)（阜阳期中）如图，四边形ABCD内接 勒劳和智慧的结晶（如图①），如图②是根据 于⊙O,AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB. 某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主 (1)试判断△ABC的形状，并给出证明： 桥拱是圆弧形，表示为AB,桥的跨度（弧所对 (2)若AB=√2，AD=1,求BD的长度. 的弦长)AB=20m,设AB所在圆的圆心为 D O,半径OC⊥AB,垂足为D,拱高（弧的中点 到弦的距离)CD=4m.求这座石拱桥主桥拱 的半径. 图① 图② 第24章24