27.2.3 切线-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版）

27.2.3 切线 第1课时 切线的判定和性质 知识点②切线的性质定理 基础在线 知识要点分类练 4.(周口期末)如图，AB是⊙O的直径，BC是 知识点① 切线的判定定理 ⊙O的切线，若∠BAC=35°，则∠ACB的大 1.下列说法中，正确的是 ( ) 小为 () A.AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的 A.35 B.45 切线 C.55 D.65 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直 线是圆的切线 2.如图，A、B、D三点都在⊙O 第4题图 第5题图 上，∠A=25°，OD的延长线 5.(中考·哈尔滨)如图，AD,BC是⊙O的直 交直线BC于点C,且∠OCB 径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切 =40°，则直线BC与⊙O的位 于点A,连结BD,若∠P=40°，则∠ADB的 置关系是 度数为 () 3.如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上 A.65° B.60 一点，过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连结 C.50 D.25° BC,BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的 6.(中考·海南)如图，射线AB与⊙O相切于 切线。 点B,经过圆心O的射线AC与⊙O相交于 点D、C,连结BC,若∠A=40°，则∠ACB= 第6题图 第7题图 7.(中考·怀化)如图，AB与⊙O相切于点C,AO =3,⊙O的半径为2，则AC的长为 8.(中考·湖州)如图，已知在Rt△ABC中， ∠C=90°，D是AB边上一点，以BD为直径 的半圆O与边AC相切，切点为E,过点O 作OF⊥BC,垂足为点F 45 探究在线 九年级数学（下）·HD (1)求证：OF=EC: (2)若∠A=30°，BD=2,求AD的长 D 0. B 第11题图 第12题图 12.(中考·金华)如图，木工用角尺的短边紧 靠⊙O于点A,长边与⊙O相切于点B,角 尺的直角顶点为C,已知AC=6cm,CB= 8cm,则⊙O的半径为 cm 13.(中考·沈阳)如图，四边形ABCD内接于 圆O,AD是圆O的直径，AD、BC的延长 线交于点E,延长CB交PA于点P, ∠BAP+∠DCE=90°. (1)求证：PA是圆O的切线； 能力在线 (2)连结AC,sin∠BAC=号，BC=2,AD 方法规律综合练 的长为 9.(中考·无锡)如图，AB是圆O的直径，弦 AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点 E,∠EAD=25°，则下列结论错误的是() A.AE⊥DE B.AE∥OD C.DE=OD D.∠BOD=50 E/C 第9题图 第10题图 10.(濮阳期末)如图，AB是⊙O的直径，⊙O 交BC的中点于点D,DE⊥AC于点E,连 》拓展在线 培优拔尖提升练 结AD,则下列结论：①AD⊥BC;②∠EDA 14.(中考·嘉兴)如图，在扇形AOB中，点C、 -∠B:③0A-2AC,④DE是⊙0的切 D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与 OA,OB相切于点E、F.已知∠AOB= 线.正确的个数是 ( ) 120°，OA=6,则EF的度数为 ;折痕 A.1个 B.2个 CD的长为 C.3个 D.4个 11.(中考·盐城)如图，AB、AC是⊙O的弦， 过点A的切线交CB的延长线于点D,若 ∠BAD=35°，则∠C= 第27草圆 46 微专题6与圆的基本性质有关的计算与证明 1.(中考·广元)如图，AB是⊙O的直径，C、D 6.如图，点D、E在△ABC的边BC、AB上，过 是⊙O上的两点，若∠CAB=65°，则∠ADC A、C、D三点的圆的圆心为点E,以点D为 的度数为 圆心的圆过点B、E.如果∠A=57°，那么 A.25° B.35 C.45 D.65 ∠B= 7.如图，AB是⊙O的直径，D,E为⊙O上位于 AB异侧的两点，连结BD并延长至点C,使 得CD=BD.连结AC交⊙O于点F,连结 AE、DE、DF 第1题图 第2题图 (1)求证：∠E=∠C: 2.如图，AD是⊙O的直径，AB=CD.若 (2)若∠E=55°，求∠BDF的度数. ∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是 ( A.40° B.50° C.60 D.70 3.(南阳期末)如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB 于点D,点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB= 8,则半径OB等于 () A.2√ B.4√2 C.4 D.5 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB= 8.(周口期末)如图，AC为⊙O的直径，BD是 BC,∠BAC=30°，AD是直径，AD=8,则 弦，且AC⊥BD于点E.连结AB、OB、BC. AC的长为 () (1)求证：∠CBO=∠ABD; (2)若AE=4cm,CE=16cm,求弦BD的长. A.4 B.43 C./3 D.2/3 5.(驻马店期末)小英家的圆形镜子被打碎了， 她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1)的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小 与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是 第5题图 第6题图 47 探究在线 九年级数学（下）·HD 微专题7证明圆的切线的两种方法 类型1儿直线与圆有交点：连半径，证垂直 (一)借助角度转换证垂直 1.(中考·宜宾节选)如图，点C是以AB为直 径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一 点，在OA上取一点F,过点F作AB的垂线 交AC于点G,交DC的延长线于点E,且 EG=EC. 求证：DE是⊙O的切线. (四)利用勾股定理的逆定理证垂直 4.如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的 延长线上，⊙O的半径为3，PB=2,PC=4. 求证：PC是⊙O的切线： (二)利用平行证垂直 2.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D, DE⊥AC于点E,要使DE是⊙O的切线， 还需补充一个条件，则补充的条件不正确的 是 类型2儿不确定直线与圆是否有交点：作垂直， A.DE=DO 证半径 B.AB=AC 5.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC C.CD=DB 的中点，腰AB与⊙O相切于点D,OB与 D.AC∥OD ⊙O相交于点E.求证：AC是⊙O的切线. (三)利用全等证垂直 3.(中考·广元)在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D,点 E是边BC的中点，连结DE, (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AD=4,BD=9,求⊙O的半径. 第27草圆 48 *第2课时 切线长定理及三角形的内切圆 基础在线 知识点②三角形的内切圆 8 知识要点分类练 5.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是 知识点①切线长定理 △ABC的 () 1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， A.三条边的垂直平分线的交点 若PA=2,则PB= ( B.三条角平分线的交点 A.1 B.2 C.3 D.4 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图 2.(中考·眉山)如图是不倒翁的主视图，不倒 6.(莱州一模)如图，点I是△ABC的内心，若 翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相 ∠I=116°，则∠A等于 () 切于点A、B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若 A.50° B.52° C.54° D.56 ∠OAB=28°，则∠APB的度数为 () 7.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB A.28 B.50° C.56 D.62° 分别相切于点D、E、F,且AB=9,BC=14, 3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别 CA=13.求AF、BD、CE的长 是A、B.如果OP=4,PA=2√3，那么 ∠APB等于 A.45 B.60° C.75 D.90° 4.为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光 盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出 AB=6cm.这张光盘的直径是多少？ 易错点内心与外心混淆不清 8.若O为△ABC的外心，I为△ABC的内心， 且∠BIC=110°，则∠BOC= () A.70°B.80° C.90° D.100° 49 探究在线 九年级数学（下）·HD 13.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，E为 能力在线 方法规律综合练 AB上一点，以BE为直径的⊙O恰与AC相 9.(中考·黔东南)如图，PA、PB分别与⊙O 切于点D,若AE=2cm,AD=4cm. 相切于点A、B,连结PO并延长与⊙O交于 (1)求⊙O的直径BE的长； 点C、D,若CD=12,PA=8,则sin∠ADB (2)计算△ABC的面积. 的值为 A号 c D 第9题图 第10题图 14.(中考·绥化)已知：△ABC 10.(安阳期末)如图，P为⊙O外的一点，PA、 PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点 E,且分别交PA、PB于点C、D,若PA=4, 则△PCD的周长为 () A.5 B.7 (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内 切圆的圆心O;(只保留作图痕迹，不写作 C.8 D.10 法和证明) 11.(中考·武汉)如图，在四边形材料ABCD (2)如果△ABC的周长为14cm,内切圆的 中，AD∥BC,∠A=90°，AD=9cm,AB= 半径为1.3cm,求△ABC的面积. 20cm,BC=24cm.现用此材料截出一个面 积最大的圆形模板，则此圆的半径是( A.1 cm B.8 cm C.6√2cm D.10 cm 拓展在线 培优拔尖提升练 第11题图 第12题图 15.(中考·泸州)如图，在 12.(中考·宜宾)我国古代数学家赵爽的“弦 Rt△ABC中，∠C=90°， 图”是由四个全等的直角三角形和一个小正 AC=6,BC=2√3，半径 A 方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直 为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以 角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面 与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的 积为49，则大正方形的面积为 点的距离的最大值为 第27草圆 50,“得边形A少是0？的内送四边无 皮A比-F.州时=A= 为外装同平锋，放的都程数这个江角看们量小南出的带 箱展在线 ,∠C+∠AD-I ·AF=5十1- 径悬 .1过点P样直线x=1的线，垂是为 ∠4=tr-t门r- 连结EF,∠EAF4 A. AB-AD. EFG0俯直径，军5， 当点P在直找F=:的右侧时.由AP ∠D=∠A 在kAEF中，1241-)十P=(5)F, 一8-周一，期川） ÷乙0-号xr-1- 细得n-出一7. 当点P在直线F-2的左侧明：由AP-1一一装，得于一 ”国边形E为©)岭内接国边霜： 9A-1时.成-品- 了7.2.2直线与属的位置关系 .∠术t∠Ai=1r. 蒸随在线 -1群-1) 4∠Eaar一aP=2 当-，0w-1蓝- IB 2.H ZC 二当心护与直线：一g相切时，点秒的电标为(5，号}政 8.C 七出用，成点C作则⊥AB,零星为直0 朝方在级 峰上所连：带的值为号水互 在k△A中， (-- ,A3机1司 27,2与题有美的位置黄慕 AN=/C中面=/+下= 当一小<行转，可P与直线=相丝 11,11山延研：：爵内接情边形外角等于内对角：时边形AD 7.2.1点与圆的位置关系 s.-c.nC-tB.cM. 当1一1或时，@严4直线：=2谢商 是黄的内馆图边形 基健在战 7,名，3切线 ∠A-∠AOE, 1.A丝A1.D4.上外年且C.1 seB 葛1课时材线的判凳和性横 AB-AC. 7,1作图能图线名 号2 基碧在战 ∠=MB I2)座域O出，度K交AB于点D L,D2.相 号∠A形=∠A,÷∠A用=∠ADE 国心《)与点C重合时，⊙0与AB射离， :A特，C为B的中点， 3,平分∠山 21加圆，作有径单，生结， 元CkD ALAB. HC'=∠C m∠下=r.∠&C=∠BFR T.c10CRC7《2)2=343a<Rc4 ADBD40.CD20. 指m4 :m倍中径考2。 设坩=.则=了一 &D .∠C-∠ 品F4: 在我△(D中， 能力在越 ∠DC=∠B, ae∠RC-R∠Fe一- (甲=（行十任，5子=（一m)十0， 久A X没D. 1.T,2减1一，2 PLCD..CLCD. 1,)延转：加国所本，注情A“, 解骨+s团： 智AB为直径， 二A侧在藏的牛杜是勿m 1L.4<【解者1鸡CP在射线UA 又世C为可O上点 k.B鱼1.)10,1减9 上，且⊙P与出制等时.如博，建丛 二D为©0的切线 ./M=ME=简， P作PEL7D于点E,PE=1m,∠A-矿， 义世直C是D的中有， 腔力在战 4A4,57,月 1LB.B.C -P里-单，当@P与0相切时，者要延动 .证项，如国：连站E ∠AE=∠CAI.CD=I (得-2+1=4(，同用，雪宽心P在.财挥用上，且⊙P △MB4△MBA.4A, 书【秋】压情AD,在K△CD中 :C等牛腾行于点k, 与D阳切时4P=2m,@P的国心在在线AB上向古 AOELA. .CE-CU.-CE-CD. 1.D-5,D,⊙A的年 提长为3，⊙D与⊙A阳交，5一司 移来了4十)m,厚8n,⊙P移动期再的博间为表 2片△ME9△MBLB-1,AE=A山=8， 世FL∠(=， 由意年是特∠CDE-∠AE 如2=T,D=4,买点B在 1=().当0P的运动时间篇是4<1时，心单与宜 ∠佩-∠义-∠C-, 义”∠E-∠E,∴△EIxU色EKA: oD并，，一<，⊙D的半轻长r的限 线D相交. 品国边多OFLE是矩用： 值在围是单CC4, 2.=百成4CG4万【解析1D - 霜器 1L△A[C.A..AABD ⊥An千点D,如图，在R△4C◆ 10-2.c0-a--子xg-1 解得DE-2, 51复图所花 c=y-可=s,C,n 乙A=,减LAC, ∴AD=AE-0E=1. 15上 拓展在缓 一是…r.an-4-4,当@c与a阳m 0YE-2关1=2 ,AD---g-1=1 1.证第.泽结P.FP, 时.=百：当直线A型@C刻义.且边AH1心年只 暖力在过 :A议为正左后， 有一个室在型，1<心渊，海4<行，罐上背连，当 ,∠&C-∠ADP-4,AP-DP, 1过点A作⊥D于点C由夏可果 CuDh.时2 r=T成4<rw落，⊙C与动AB月有一个公共点. 霄边形APF为⑧N)的内装四道题 周A广-4国a5=20,2之1 1X1旺期，？四力后A议D内接干到，∠几LD 13.1早轻为5 ∠EP=FP, 企受明 ∠风，：∠P+∠老=r..∠P中∠H1D △A2△p" 防解在战 《?)相有：库由：易知点对像所重解为，其到直线一了 ,∠PAD=9,PA正AD,AD是国O的直径， DEAF. 的距岗为3. A是两)的切线： 公35.⊙M与立线x=1相肉 (M 14 -探究在线·九年级显学（下》·HD 邦误在线 4DE=CE-,文C=D 由H十=，理得 :(W( 1L.的可【解断】设每折后的减的同 (13=21+43-49=14 ∴∠D=4I 心为.崔箱矿E,,, △Ea△.【wE生且发)， 解得=4： ,米义，∠C0=, ∠0DE∠E=, (了交（中十点样，由题点趣-∠4a 得此AP=.D-1,(T-取 ∠0GB=∠E=, 品E是⊙)的月线 =∠《r=,∠Am=18r, 民B ∴∠B+∠E-r. ∠下=0，∴下的度数为4 42H∠A=∠A:∠C-∠AB, 蒙力在线 ∠D=∠同 △MA△AC 曲折叠知.a1(.- A1o.C 13.Il 12.83 4-ABA0-C13, 1点.(1进结.和解的学轻为r w-p-.aa∠E-8提- =. 在△AD中.十F=1+2) 六∠君=r,∠求0 ,60的半径为正 解周=1：品P= H-落，CH===区=2等， 4.连楼“：⊙0的半轻为3 (2)由题童，是d)的W反， 4D=X7=4% 品0出 ..pe-cn. 做香题6与置的基本性置有美的计算与证明 的 世PB=2,P=1 在△A中，AF+=A. 拓艇在战 1,A3,1xB4B1,G4,2 在△P中k十内=1十=5=(N 即◆=(C+, 11)法明：直结AAn是⊙0的直经 △中为直角三角形，∠风P-时 解周C=5, 32 ∠ADh-,pADL:T-电 LY是@上一点， 第2课时 网镇片侧面成开周 5m-空·摆-em AD量直平分C.AB=C :.T为⊙0的银翼 基研在候 六∠D=∠CX背∠B=∠E 5.市植OA.(作(LAC于点F 1,《1)如围，点0和为所求 .BD31C4.目五543 ∠E=∠C :△AC为等配三角思，)是转边 ,小是的说法不正确， (2):得边彩ADF是⊙)的内接得边形 仪的中点 设直角三身尺三边长分刷为'=4：C一万a,A日=2， ∠AFD=IAP-∠E 0⊥C,A0厚分∠B. 品甲帽撞的自积，5，至·，A=×a×e时坚， (￥∠FD=-∠AD AB与⊙0制切千拉D ×14g13=,1 乙重的用5=xCAB×,5a×22店 ∠D=∠r=13 OLA且 5w千5E, ”∠-∠-5， 面4f⊥A.f= 能属在越 品小亮的汉法不止确 .∠球=r力=1 水差©)的平轻. 15.2,7+1 证剩FC为a0的直径，且ACL,:A-. 健力在战 .A是⊙)的切线 2了，3目中的计算问题 3.8.B1q,D1.84 4∠AD=∠C,,0B=(,∠C=∠a0 ·第2深时胡找天定理风三月形的内封属 第1采时孤长中扇形面机 2诗结E,制（花[ 4∠C)-∠ABL 基程在线 蒂德在线 wAD=柱m (2)LE=4,E16,4=1,Cgn 1,B2C3.B 1.C2.1I&A4.4g3.用&D1.I O4--0出=1W-12-6mD 在△0E中，E=一， 1,如国：没无A的同◇W队无点与 能力难线 角尺的切点为C.座结0从，山， 在心A求中. 世为⊙0的直径，且CLD,BE=E 名SD2H=I0m 渊OBLB.⊥C, e1o哥竖 《=号t指，球=日tt推， 微专题？证胡圆的切线的再种方法 ,A.C是⊙0的0置 ,(1)如m,连靖M0: ∠A精■6， L调，峰结( A-AC. 廿AB是0)的拟线 山∠忠-12 A=( 2MOA,△2AB民A(C写 nLA指， ∠A=∠1 .∠C=∠ ∠特H- YEG-EC 7∠CAD=40㎡，∠CAB-1ar-i-I2w, ZpAc-. 授两重的联虚丰径为tm, ∠8∠2， ,∠A=∠1B 由2ar=指r,得=4， 六∠Hi-∠-专∠Ca-4w, 2W∠80∠4∠4=∠， 出AMC,∠B-∠C,△Am验△AD 8=-16 4YEF⊥AB.∠A+∠4=w 在民△aB中，0=A伪=45. AD=AD,:》A00是等边三角B, 后展在国 ∠1十∠2='，寻∠0里=0 ⊙位的直经为2， ∠1)=46. 以，111如答国士所 (L球，：P是0)的切线 ∠=时，∠AMI+ 答：这束光盘的直提是记容四 (2)切 A (2)“∠Ar0-40,÷∠A0X-12 5.1n 1量@的中位为：州==： ::△AC的内切属©位与C,CAA#端粗与于这D 周衣约长2红 在.△ABC中，A=5.-1, ”C为⊙0直2 E,F。 12.1)正明：连靖0B .AB=w中12=13. 本∠AIC-∠I=”, 食AF=1,▣A5-a, 'AB量⊙的切线 在△CD中，点E为到边BC Saae FSav mSam C-CE-AM-AF-- ∠O出E=r, 中含 -F-AIAF- ∠O出0+∠E= 一探究在线·九年级数学兴下)·HD 15