27.1.3 圆周角-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版）

则有一和一新期士 DF,分紫为△BD和 ∠BON-∠AON-,LAo8=0, 27,1,3圆周角 欣△CE制政上的中线 氧1保时国周角定理 一上的第a力8，-1（动， DF EF BFCF. ,A'B、/T+溶■及， 基碧在保 2)戴物线y=士一r十e上有1只有一个“黎点”， 六E,,CD同点在以点F为圆0，BC的长秀率经的 ,AP+BP的帝小值数夏， 1.BA3.A4.05.A6B .方程-r十c=一x式*D的有且具有一个解， ·第2球时香径发理足其神论的足用 2,)"B-D, W上， 口42m6r+=0,d=6=44=0,=0, 系面在线 C-. 27,1,2同的对称性 。-是“>120<m LBE BC BC∠O .AC-BD. 第1汉时调心角，纸、续之间的美票定厘 2)W∠A=∠D.∠B=∠C 第27章题 基罐在线 27B号五06A △ABBA△CE 27.1圆的认识 3.H来B1,84,①00金446.1 (1%AD-BD. 4.60减10 1,08=0D,∠D=∠R (2度主桥附半径为R,直螺意可知，A8=%,CD=5, 27,1,1图的基本元素 国力在国 BD8OC,∠D=∠CD,∠AOC=∠B, 蒸延在线 D-专AB-1:O0=0C-CD-R-5,在e△OBD 3.C 10.B 11.B 12.C 13.C ∠MC-∠p LD 2A 3.D 4.D 5.B 4.A ∴，AC-CD 中，由句酸定理，得一1+食一52，解得程=19,4： 4(13任喝，：D=.∠AD-∠C T,Ac,AnC,Cn众，C 19,国虎，这座石状桥主杨供的半督约为19m YAMLBC.CDAB, &D 8.10 能力在线 ∠CMN=∠AED-g',i∠CNM=∠D 健力在候 久.”AB,AC是⊙A的半径， &C .D 10.D :∠AND=∠CNM..∠AND-∠p, 9.D 二AB=MG, AD-AN. 1L.如图断家，到长DE交⊙O于点F,蓬品 D量AB的中点，E是AC的中点 0C【解折1取A因首中点D,连能AD, (20旋始aM.如周，设NE=x,则QM D,AH-2D=2D,AB-卫C AD.AP. 六AD-A8,AE=AC÷AD=AE 二D-G-C.:AD-D-AC在 D-24-1,4g--1,在K1△A那 由需及定界知：LB看直平分DF。 中，由股室理，得(2x-1)=《t一1 「AB=AC △ABD中，AD+BD>AB,AB 5AD-AF. +32,解海x-(直慎象去)， 在△ABE与△ACD中，（∠A=∠A 2AC “i-.-, @0的半餐00=r一1=盖 AE-AD- 1.3k年12①2 AC-0F,÷AC-DF 1,(1正明：走特AD,知图 △ABE0△ACD,,E-GB. 14逐销C "E-DB.DE-号C :AB为⊙O曲直径， 畅力在城 AB-CD. :n-. 12,1)An=10.04=5 ADIBC 1a,A1l,012Bth=- ONIAN218.%OV2 吴”AB=AC 14.玮皆OC, ++筋-+成. , 在△V中，∠N=T 二△AC为等限三角形 YAB-6 cme AD为C的属直平分线 0C-OAm ∴∠A=∠C ∠MNO=∠ANC=30, ∴.= PA-PC :QN-TON-1. 东△CD0中，由匀展宠理，得 反1证刚，：AB记 (2)由1)可得D=CD=4: )连hCC.0W⊥CD,,CM-DM o-√行—g-音em 六AB=AC ene-2铝-9-子，c-n0-8 在△关M中，由每段建理，得 又'∠ACB-r, A0-是-是-t6m CF=C0-0f=s-1=24, ÷AD=1, 品△AB以C为等边三角形 在△ACD中， A-C-AC. .Cf=25..CD-2C=4s, 由的般定地，料AC=+下-√S《m 4.AC-2 ∠4B=∠X=∠A0 拓属直线 则AD的长为1m,的长为5m 义As为⊙O的直程， 15.将点C不写A,B重合时，莲销OC,在 【粉©0的*轻为， 1a,连结0N.量CD交AMN下点，A-T:m,D ÷∠C=∠Ap-',且∠C=∠C, 畅暴在战 空4mEF-1m ∴△ADC△E, △vC中，OC-0 PCPCSOC+OP, 长如图，作点A关于N的对群点A',根 段O4-R,用D=C-DC-R一.4 :0-4=04-P<WC0用 器湖的对参作，则点必在圈上，造蜡 +OP,厚PAPC<PB. AD-AB-3.6 m. BA'交MN于点P 当点C与点A重分时，FC=PA,当点C与点B重合时 在△OD中，有O=ADr+OD. AK-CE-M-10 则龙时PA十PH的值最小，PA十PB ℃=P我÷PA,PH,吧之间的大小美系是PA≤ 即R=3.6+(R一2.4. 拓展在黄 PA'+P8-A'B. PA 逢结Q4aM',O8 解得=3.9 拓黑在烟 在△NH中 1s,囊C的中点F,性结DFEF N-} 易2课时面周角定理的推论 0=w0WN=/9L.8=3,6m 基码在磺 D,CE是△AC的商， ∠AON=∠AON=的 .N=W=一)-1-《-21=212% △跟D和△取军都是直角三角形 AB-BN. “黄目可以顺利通过这座关都，目要本毫小心 LB号amac4.C51w6t4状 一探究在线九年级数学（下）·HD 13 7,”得边形ACD是©的内遂胃速思 设AE=,则SF=AE= 为外接州平经，故数够度能这个三角形的最小围衡的甲 菊展在线 ∠C+∠HMD=18 AF=厚+1-1. 桂悬， 4.(1过点P作直线x一1的垂线，垂是为 .∠BA=1r-110=70 连结EF,∠EA5=, 点A. AB-AD. EF为0陈直径，EFv5, 当点P在直线F=2的右随时，由AP一 .∠AD=∠A2I 在△AF中，W任+1=)+=5)F, 一g84一5，周号) ÷∠A0-×18r-0的-5 银得五-1-n=7, 当点P在直域r=2的左侧明，由AP一2一x-3,得x- ”国边形AHDE为⊙O尊内接四边幕， ∠E十∠AHD=1 当A-1时，D成-品-号 27.2.2直线与网的位置关系 蒸正在线 -1群-1，- ∠E=1-B■125 当A一时，0w-1.能-， 1.B 2.8 2C :当©户与直线一gm切时，成P的速标为(3，)度 8.C 4如园，过原C传G⊥AB,委是为或M 朝办在线 单上需法能物值为号《三 在△A中， (--} 9,A1a115 27,2与厦有美的位置黄熏 An=√心干心=√/+T= ()当一1<x5时，⊙P与直线，-2相交 11,)延明：：圆内接边思外角等于内对角：料边彩ABD 7.2.1点与国的位置关系 C.CM. 当C-1或>5时，⊙Py直视x-2相尚 是端的内花四功形， 都础在战 27,2,5切线 ∠ABC-∠ADE. 1.A2A1.D4.上外内互C.3 Cw号 落1课时切线岭料定和性情 AB-AC. 7:(们作图签图紫紧 ∠ABC'-∠MGB, 号>8 基毽在战 (2造陆09，DC-0C交AB干真D 1.D2.相 H∠ADB=∠AGB,∠ADB=∠ADE 网心0与点C重合时，⊙0与AB离 :AB一8周，C为AB的中点， 3,"BC平分∠ABD, 2)如图-作直经8F,迷精FC, 50系D AOCLAB ,∠0BC-∠DC, M∠CF=0.∠BAC=∠BFC 二AD=D=40CD=m, 了，(10-<RC3《2)&=341)3GRZ4 0B0G. “质的径为2。 &D 设0B…,则0=一如， .∠0C-∠H 4BF=4: 能力在极 在R△O惠D中， ∠DC=∠OB, 点m∠BC-ik∠C-F- 9.A 0=0十0,2=（一2D+, OCBD. 1,1)短情：如国所衣，注精AC, 解得=0， 10.w,20减-，2) "p⊥D.CC⊥Cp, 二AH所在圆的半径是如网 1L.4<<【解新1当圆心P在射线Q4 ?AB为直径： 又”盛C为可0上一点 ∠MB=∠AME=可， kB91.1)10.1减9 上，且⊙P与D制等时如酒，这点 D为©0的切线 又？AC是BD的中点， 酸力在战 P作P'B1DT点5，.Pg=1n,”∠AC=30矿 4C4A457,5 11.Bl2.C 0P-PE=2m,品当⊙P与CD相切时，需要慈动 ∠CAE=∠CAH,CD=CH. 4.)证明，如用，蓬结0E, △CE2△MBA.SA, I表B【解餐】连结AD,在△ACD中 《G一2)÷1-4(，间理，当圆CP在射线00上，且⊙P ”AC制中图0于点E, 不=，E=C九 Gm4.CD=5,AD=5,⊙A的半 与CD刚切时OP=2m:⊙P的司心在直线AB上肉右 5O6LAC. i2)△E4△CB,AB=1,AEAB3. 整民为3，⊙D与@A阳交，>5-1 德冲了6+)cm,厚8n,二⊙P移动所得的时闻为8 0F上BC∠C=6”, 由庭童易得∠C泥-∠A5 =2.C=1,BD=4,买点B在 1=(),当回P的适动时间满是4©1时，@P与直 .∠C-∠OF-∠C-0 义"∠E-∠B,i△EDO△EBM ⊙D养，<4，⊙D的半经长r的桌 线CD用交 风边影OFCE是题带， 值直因是2GC4, 2.rm15理4<rG43【解折1作CD 0f= 器器器号 I4△ADC、ABDC.AABD ⊥AN于点D,如图，在△AC中 2180-2.0心-0E-}BD-号x2-1 解厚DE=2, 4点1》加用所示 c-=-4,“CD·A 廿∠A=',0求⊥AC, 5.AD-AE-DE-1. (23上40 ,A0=20E=2×1=2. 拓隔在喷 -名AC:CCD-送4区-2当@C与A格相n AD=0-D0-8-1=1 13,)延明蓬桔7.P, 时：-2，万，年直线AB型⊙C相交，且边AB与⊙C只 酸力在威 ”ABD为正为思， 有一个文点时，≤，即4<行，焰上所注，当 ∠AC-∠AD=4,AP=DP, 8过点A作C⊥BD于点C,由题意可 美c10Dh.51这 -1或<45，回C与AB月有一个公其点 国边无A正PF为⊙0的内装四边影 傅AC=400n45-20,2-C3D0. &1)正到，图动边形AD内核干到D,∠AD 13.1)￥轻为5. ∠DEP=∠AFE, 合受影响 ∠DG里，∠BAP+∠DCE-,i∠&AP+∠BAD △AFP△DEP 超展在就 2)相肉，靠出：易知点M陈赏生际为，其到直线=了 9,∴∠PAD=9',÷PAAD,:AD是翼O的直整， DE-AF. 的题离为1. 1T.5【暂】如所云，点为△AC外整圆心，则A0 PA是图0的的线： 空V5,品⊙M与直线x=了相离 14 一探究在线·九年级数学（下），HD27.1.3 圆周角 第1课时 圆周角定理 6.(中考·温州)如图，AB、AC 》基础在线 8 知识要点分类练 是⊙O的两条弦，OD⊥AB 知识点①圆周角的概念 于点D,OE⊥AC于点E,连 1.下列图形中的角是圆周角的是 结OB、OC.若∠DOE=130°， 则∠BOC的度数为 A.95° B.1009 C.105° D.130° 7.(中考·怀化)如图，点A、B、C、D在⊙O上， AB=CD. 知识点②半圆或直径所对的圆周角都相等， 求证：(1)AC=BD: 都等于90（直角） (2)△ABE∽△DCE. 2.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的 弦.若∠A=20°，则∠B的度数为 () A.70° B.90° C.40 D.60 第2题图 第3题图 易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错 3.如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一 8.已知BC是半径为2cm的圆内的一条弦，点 点，若∠OAC=32°，则∠B的度数是( A为圆上除点B,C外任意一点.若BC= ) A.58° B.60° C.64 D.68 2√3cm,则∠BAC的度数为 知识点③圆周角定理 )能力在线 8 方法规律综合练 4.(中考·柳州)如图，点A、B、C在⊙O上， 9.(中考·南充)如图，AB为⊙O的直径，弦 ∠AOB=60°，则∠ACB的度数是 CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF =65°，则∠AOD为 () A.70° B.65° C.50° D.45 第4题图 第5题图 5.(中考·枣庄)将量角器按如图所示的方式 放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点 第9题图 第10题图 A,B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度 10.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上. 数是 若∠AED=25°，则∠BCD的度数为() A.28 B.30 C.369 D.56 A.105°B.115°C.125°D.135 37 探究在线 九年级数学（下）·HD 11.(中考·通辽)如图，由边长为1的小正方形 15.(中考·呼和浩特)如图，在△ABC中，AB 构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以 =AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D, AB为直径的圆经过点C、D,则cos∠ADC的 交线段CA的延长线于点E,连结BE 值为 ( (1)求证：BD=CD: A.313 13 B.313 13 c号 (2)若anC=合BD=4,求AE, 第11题图 第12题图 12.(中考·包头)如图，AB、CD是⊙O的两条 直径，E是劣弧BC的中点，连结BC、DE.若 ∠ABC=22°，则∠CDE的度数为() A.22° B.32° C.34° D.44° 13.(中考·聊城)如图，AB、CD是⊙O的弦， 延长AB、CD相交于点P.已知∠P=30°， ∠AOC=80°，则BD的度数是 ) A.30° B.25 C.20° D.10° 14.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E, AM LBC于点M,交CD于点N,连结AD. (1)求证：AD=AN; 》拓展在线 培优拔尖提升练 (2)若AB=4√2，ON=1,求⊙O的半径. 16.(河南三模)如图，点O是 以AC为直径的半圆的 圆心，点B在AC上， D ∠ACB=30°，AC=2.点 D是直径AC上一动点 (与点A、C不重合)，记OD的长为m.连结 BD,点A关于BD的对称点为点A',当点 A'落在由直径AC,弦AB、BC围成的封闭 图形内部时（不包含边界），m的取值范围 是 第27草圆 38 第2课时 圆周角定理的推论 )基础在线 5.(教材P46习题T10变式)如图，在圆内接四 知识要点分类练 边形ABCD中，若∠A,∠B,∠C的度数之 知识点190的圆周角所对的弦是直径 比为43：5，则∠D的度数是 1,(教材P44练习T3变式)从下列直角三角板 6.(中考·雅安)如图，∠DCE是⊙O内接四边 与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的 形ABCD的一个外角，若∠DCE=72°，那么 是 ∠BOD的度数为 D 2.(中考·日照)一圆形玻璃镜面损坏了一部 分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直 7.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB= 角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm, AD,∠C=110°.若点E在AD上，求∠E的 BC=5cm,则圆形镜面的半径为 度数 "0 D B 第2题图 第3题图 知识点②圆内接四边形的对角互补 3.(中考·株洲)如图所示，等边△ABC的顶点 A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点 D、E,点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重 合，连结DF、EF,则∠DFE的度数为() A.115 B.118 C.120 D.125 4.(中考·自贡)如图，四边形ABCD内接于 易错点对圆内接四边形的概念理解不清导 ⊙O,AB为⊙O的直径，∠ABD=20°，则 致错解 ∠BCD的度数是 () 8.(中考·长春)如图，四边形ABCD是⊙O的 A.90° B.100° 内接四边形.若∠BCD=121°，则∠BOD的 C.110° D.120 度数为 D A.138 B.121 第4题图 第5题图 C.118 D.112° 39 探究在线 九年级数学（下）·HD 能力在线 8 方法规律综合练 9.(中考·营口)如图，点A、B、C、D在⊙O上， AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°，则BC的长 为 ) A.43B.8 C.42 D.4 D D 第9题图 第10题图 拓展在线 8 培优拔尖提升练 10.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中， 13.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方 ∠CAD=35°，则∠B+∠E= 形的顶点A和对角线的交点P,分别交 11.(中考·威海)如图，四边形ABCD是⊙O AB、AD于点F、E 的内接四边形，连结AC,BD,延长CD至 (1)求证：DE=AF; 点E (1)若AB=AC,求证：∠ADB=∠ADE; (2②若00的半径为号，AB=厄+1，求部 (2)若BC-3,⊙O的半径为2，求sin∠BAC 的值。 D "0 12.(中考·张家界)如图，四边形ABCD内接 于圆O,AB是直径，点C是BD的中点，延 长AD交BC的延长线于点E. (1)求证：CE=CD: (2)若AB=3,BC=√3，求AD的长. 第27草圆 40