3.8 圆内接正多边形-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

3.8 圆内接正多边形 7.(教材P97例题变式)如图.一个正多边形的半径 新知在线 新课知识提前练 为2，边心距为1，求该正多边形的中心角、边长、 1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做 内角、周长和面积 ,这个圆就是这个正多边形的 圆. 2.正多边形的 的圆心叫做正多边形的中 心，外接圆的 叫做正多边形的半径，中心 到正多边形一边的距离叫做正多边形的 ,正多边形的每一边所对的圆心角叫 做正多边形的 3.正多边形的画法： 画正n边形只需先画一个圆，然后把圆 等分， 依次连接各分点，即可得正n边形 )基础在线 知识要点分类练 知识点①圆内接正多边形 L.下列说法错误的是 A.圆内接正多边形每个内角都相等 知识点2作圆内接正多边形 B.圆内接正多边形都是轴对称图形 8.已知⊙O,请用尺规作⊙O的内接正八边形. C.圆内接正多边形都是中心对称图形 D.圆内接正多边形的中心到各边的距离都相等 2.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O,则 ∠ADB的度数是 () A.60 B.45 C.30 D.22.5 )能力在线 方法规律综合练 9.(河北模拟)如图，点A,B,C在⊙O上，若BC 第2题图 第6题图 AB,AC分别是⊙O内接正三角形，正方形， 3.⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这 正n边形的一边，则n= () 个正n边形的边长相等，则n的值为 A.9 B.10 C.12 D.15 A.3 B.4 C.5 D.6 4.(广州市天河区期末)一个圆的半径为4，则该圆的 内接正方形的边长为 ( ) A.22 B.32 C.42 D.5v2 第9题图 第10题图 5.半径为1的圆内接正三角形的边心距为 10.如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正六边 6.如图，AB是⊙O的弦，OXCLAB,交⊙O于点C,连 形，甲、乙两人的作法分别如下： 接OA,OB,BC.若AB是⊙O的内接正六边形的 甲：①作OA的中垂线，交⊙O于B,F两点：②作 一边，则∠ABC的度数为 OD的中垂线，交⊙O于C.E两点：③顺次连接 75 探究在线九年级数学（下）·s A,B,C,D,E,F六个点，六边形即为所求； 14.(教材P99习题T1变式)如图，正三角形的边长 乙：①以A为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于 为6cm,剪去三个角后成一个正六边形. B,F两点：②以D为圆心，OA长为半径作弧，交 (1)求这个正六边形的边长： ⊙O于C,E两点：③顺次连接A,B,C,D,E,F (2)求这个正六边形的边心距： (3)设这个正六边形的中心为O,一边为AB,则 六个点，六边形即为所求 AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的？ 对于甲、乙两人的作法，可判断 作图表示出来，并求出这条线段AB划过的 A.甲对，乙不对 B.甲不对，乙对 面积. C.两人都不对 D.两人都对 11.(遵义市汇川区三模)如图，已知⊙O的内接正六 边形ABCDEF的边心距OM=1,则该圆的内接 正三角形ACE的面积为 () A.2 B.4 C.2/3 D.3 第1题图 第12题图 12.如图，若点O是正六边形ABCDEF的中心， ∠MON=120°，且角的两边分别交六边形的边 AB,EF于M,N两点，若多边形AMONF的面 积为2,3，则正六边形ABCDEF的外接圆的面 积是 13.作图与证明： 如图，已知⊙O和⊙O上的一点A,请完成下列任务： 拓展在线 8 培优拔尖定几练 (1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF: 15.如图①、②、③、…，⑩，M,V分别是⊙O的内接正 (2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加 三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE 以证明. …、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点，且 BM=CN,连接OM,ON. 0 (1)求图①中∠MON的度数： (2)图②中∠MON的度数是 ,图③中 ∠MON的度数是 (3)试探究∠MOV的度数与正n边形边数n的 关系（直接写出答案） 第三章圆 76(:3e-民AB+BC+, CA,C害是⊙0的战， 在△0C中，下-=-可-2， 无.1U圳.莲接AD ,CA-CB.∠CAB-∠ABC, oE-圣r0+计， “LOCM=∠E-∠CD, CE-2学=夏，÷E=C-CE-22, AE⊥AC,÷∠CA+∠EB0, ∠ac-∠o0B-告∠cmB 在△ABE中，=甲+眼，AE=2将 又：⊙M期C于点D. 解特r一及 0EOC-3,0kC-0C-43-5=3万 ∠ABD+∠BAD= 后展春线 15(1D明：#AD8BC,ADLAA 2E+∠0C-∠叶ZCmn=2 ,AE时+0是-A0,∴，∠AD-0, .∠M=∠AL ∠QD18-(∠0E+∠00D= 0ELAR,点R在⊙O上，AE是CO的切除 又'AB=AB,LFAD,△AHFA△ABIXSAS, ∴∠2CHM∠BDg, a如图，过成0作附上CD于点H: ∠APB-∠ADU=9,-BF是⊙A的好线 AB-AD-1 1近(1连接F. AELC..∠AB=. B是⊙A的切线 任紧切线装定理， (n:∠AFB-∠FC-g”,BFAC AD/BC,∠DwO=∠AEB9 (这点D作D用⊥C干点H, 得HE=F,CFCG 脚O4⊥4 CA5-器 :∠AC-∠MD=8fD-', 0p-∠0BE, D0平分∠AD,QHC,QA⊥nA AD=AB1,网边形AHD为正方那， ∠0CF∠0r OH-OL G-C-0®-5-需那-4， ∴-D-B一1.ABDH,∠Em-∠C ABCD.∠AC+∠T-I0 发OHLC, -EF-- “∠9C+∠0F-o,∠段C=0 在△D线中，CD0F=--2 DC是⊙O的切线，厚CD与⊙O着饲. (2由(1年，∠=9. 3,8图内接正多边形 om乙Ef-m-资-君-子8 L作OAB,绣起为， 0=6m,0C-km 斯知在线 ”AC与⊙0相彻，切点为C 1.风内接正多请思外接 3述点A作AU⊥C于点，二F可一D. ,由勾霞定理，得C=√0C-10(. ,∠0=0. 名外接周华轻边心配 中心角气零 在△D中，JD-AD·m∠AD可-等B, 0F⊥E,由0R0 C.F ∴∠O4C+∠AC=. 基破在的 又DL∠DO。 得ow9-4m. ,“∠D计∠O,∠AD+AHD= 1.c2C&Dtc五号a1时 FD=2D-5, 脂©0的半径为k4cm 又∠BD=∠AC,∠AHD=∠D, 7.雀接0期 .FDFC-FDI(FD-DC)-49. ,∠O4C=∠AD DC△aac÷畏--告 拓展在线 1反(1)证明：连接D,O思 OHLAB.OCLAC.OH-OC. aaw-0-者- 又C汇为⊙0半径，AB为⊙O的切线 ∠N=45. BC-BH+CH-3.-GD-4. :PB,PD分则切@O于点H,D, P-PD. 点(1)如匿①，聋接AC, 0M-8,∠I-∠0W-45 ÷AG-GD-AD-号 O川=0)，.O系直平分线取D, AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径。 中心角∠0h=0, 即POLBD ,AT⊥AB,岸∠TAB-: △M因中， 又∠ABT=5r.∠T=-∠ABT=4 :警-4正多边带为正方形 “AD为⊙O每直径，A81D. G=m+V+石=厘 正多边形的内角为9， ABYOP 由B是⊙0的直餐，得∠kCB=时六 ”∠CAB=一∠ABC= AM=M-OM-1,∴边长AB=2, (2)AU8P,∠BMD=∠ ”品7切线长定理 ∠CDBm∠CABm40的 周长为4×2-8， PD切CO于点D.PDL2 新加在线 (2)7图②，造接A 正多边思的面积为一4 L切点2相等平分 m∠00-器-2博D-2300 在△BE中，BE-C,∠C=, 民略 基础在线 AD2OD.AD-PD ”∠CE=∠-G, 能力在联 1.自2Ca8t心55反毫 在△PD1中，∠PDM一圆'，PA=E ∠BAD=∠WD=S 属C1D11.D124m AD-FD-2OC-0D-1. 'M0D,∠0Mm∠1D6 1(1)如盾，正六边形AD下甲为所 1,南E=C,AD=2AE,LB-2AC,得AB=AD 在△P0中，∠PDO,PD-2,0D-1, ∠AC-∠AC-· 求〔作法不唯一》 &“PA,PB是⊙0的切战，÷，AP=P ∠a0∠DM-∠D=l5. (边形风EF是拒影 六OB,÷-O00-周-L 又∠P-.△AHP是等边三角形，∠PAB-0 让引， WPA是⊙O的切线，，∠PAC=0: 量专题？圆的切战的判定和有关计算 :六边形ABF是正六边形， ,∠4C--3-30 专数用练 A■FmDE=DC=E=C 又AC是⊙0的直径，∠ABC- 1.道接0F ∠PD∠T-1 'OOF:∠OF∠OFL. C-字A-0A-2 二点下地的中点， 8.(1)正明，连接班 hB-F-DE-DC,∠DaC-∠DE- ∴E-E,∠EC-.∴，F=CE 城力在成 ∠DMF+∠CAF, 0P1, 又“，FCH.:用边形EF是形 ∠OMP+∠0PA=0, 气D 10.A IL.C20-子524 ∠深A=∠CF,FAA8 1L(I》:大边形DFARGE是正大边形， .∠fH=∠C=间 ∠OPA-∠BC, ∠球-∠BWA-∠AB=∠AG I4.1D由切线教定理，得PA一P比.CA-CE,地-D 厚FC段C是⊙O的切线 ∠O4P+∠BFPC=, ∠度E-∠ED-,DE-DF, △PD的周长为12， 过点0作01C,莲接C尾， C是⊙0的妇线， ,∠HDE-∠HED=0, ∴，℃+CE+DE+PD-12 在民△LBC中， ∠M+∠P=, △HDE是等意三角形 ∴.P℃+CA+D8+PD-B,程PA+PB-12, C-V山+dVWW+(42y43 M=0B,∠aAP=∠84 HD-DEHE. ∴PA十PA-12,层得PA一 ∴，∠C-∠C即△PC是等醒三角形 (0,∠APB=60, 0wNA8△0△AC.是-， .FK-KA-AF.ND-DF-FK-2 c. (2)段P■BC3,期DG=1+1 正大边形的边卡为2n .∠D∠PG=1a-∠APA=12 ∠C-9,÷0甲+ (连接0M,O8.过点0作CN⊥AB于点N, 18-∠D+10-∠CDB=12. ,(1+2+4),x2. ∠CD+∠C0=2阳 即C的故为 ?∠A--矿，60是等边三角形 22 -深究在领·九年组数学（下）·S OV-O+sinrx(am). (3过点C作CH上AD学点H 2)蓬移老，仪 么.)直线P与G0相场 .AH-DH-AD. ,君为C的中点 理山如下：连接O心， 正大边形的边心影为了m .AE-C,S-Se,∠EC-∠CA COP. (初如图，同心属O即为所作线量A过的轨是一个國 ∠ACB=9g,CHLAB.品∠CB=∠AHC, .∠AM00-∠CN0-∠EAC-∠A. .∠AOP=∠AB,∠=∠GC 并-其面肌为x×2一×63y一✉(m 又：∠A=∠A,△HCn△AB ∴.△0ACa△EAC, 00-0C..∠ACD-∠OC 拓晨在线 ÷是-怎MC-AAB 0M-0C=05=/AB=E-1, ∠AQP-∠OP t5.《1)连接OB,C.证△CEW@△CV.得∠N .△QAE向△0C为等边角形 :PA是⊙0的简线，品∠PAD=8 ∠B0C-12N AD.AB.:.AD.AB-4. 即在△CDE中，∠CED-40心，CE-1 在△AP相△P中， 209072 徽专驱8求明影部分面积的技巧 a),∠AON-G 专题得部 m号C-g M=8,∠AP-∠'，P-P △4M0P2△P,∠PO-∠PAO-时 CB1PB,直线P唱是CO的切线 39蕴长及席形的面积 1.D -m-是×号×售-鲁 21∠BKE=∠AB-∠0E=18-40=140, ∠OP=∠BOP,AE-HE, 斯加在域 :O形是∠BE的平分线： 单元雄合复习三)圆 0深系直且平0AB,AD-D-AB-35 L服2诚2成盛名条联报 知买体系构健 ∴∠0e-∠E-. ①轴巴中心①平分①平计①重直心平 位R△ADE中， 蒸码在城 心相等@直您直径鲁互补三8>口 LB&B 2A 4B5票D7Ca学 ,两表直径AB,D相空度可角 ia2ED2--复∠ED ∴-∠U邪-∠C-∠风-0 g<6>分-<睡直8-需 又01-0E,,△40那是等边三角厘， 生AB■2。 0,DC=10cm,∠000-2'，0C=5cm, 点m-×(学y'-平， 8-m -需-士取 M=6乙E=8,a-给i-2 1闭 .习形的周长为AE+位一6+2红 5a-,Sm子 XB LD LA 章节中事练榜 6?∠BCA-9,∠HC=3,AB=4am LA2.A344DC687.3&B象.B 码形的面周为5一%。-给一}×6X行 0.)证明：连接C 故w-5a+a5m- .kC=2cm:∠C●12∠A&Mwir :AD量⊙0的直径， -6e-. 由旋转知△A'C'☑△UBC, 能力在城 .∠D-3, 越醴测译1(1.1一1,3) aCLA224压4- 15:=8 L A 2D SA 4B 5.A 6C 5n=5e+5eu-号43e-5Aa- ∠AC4CA-, 41选接 又0C-O0,∴∠AD0-∠0D 元i-1题是n31.-52月 边形D是电哪， 又∠CF=∠CAD/+∠O印-d, 181)在Rt△ABE中，“AB-10m,那-6m+ ,∠BD-野AD-门m T.A 即OC⊥C:F℃星⊙O的视 ∴D楚直轻，BD=+平一2m, &道接D,等要直角三角形AC中，乙A(B一g,D是斜 a”∠B=∠c.emB-青mc ∴-一E-kamn-能-寺 品图探形门所在写的半经为【m 边AB的中点，且AC-C-16分米 (2在民t△ED中，CD-6mE-3m 2)取圆心连接L: AB14区分米 在△ACD中.CD-AD·m∠A0C-2×是-是 -/可-E-3m,m0蛋-， 由1)可知，QM0B=B=1m: F=D-AD-&2分米 c√-（停-兽喂-4 又：aBCuap木棉D的顿到程度更大 ,A因是正三角形， ∠DHF=∠CDm45, ∠FCD=∠FC∠F-∠F, 14.解方程士+2一3■0，得■1到■一1 ∠0-6，∠A0=120, 二5-5r-专×42×8-4（平方分米3 ,uw>9,.-1,a=45, um吉××X1-停m 较闭影部分的厦肌是44平方分米 amn6c是器是- 2ire十m,-万a+15-2r45+ae245 二，要打种情体的自积 鼻1》：AC⊙O耐切于点C,∠0=0，D8AC 2PFD=3c,测C=4,AP-+1, 又-PD·FA.即(4zP=3z1+2), mm-2x(停)+（停）-x-1+是-a S-2(Samm一S6m】+Sun一SaA ÷2D-∠D-时.nE-ar-号D-9m 都得一号（取正D,占FD-5g-梦 :∠D-3m.∴.∠0-2∠D=00 ,委打种墙体的国积的为1， hB2Dn.8L号万.C1C 5N∠C=0,∠A-5,B=280米 后展在线 在△0中，-落厚-高 易经层程辨斯 在R△BC中，a乙ABC-怎-m5华 15(1D海接0.∠AC=可'-28=2， L7m减17m2C ,A=D, 0启=5，博⊙D的单径长为5an 1周，选援OA过NO作图L路于点耳 ∠D4=∠eAD=2', )W∠046，∠H日0e9∠E0=∠D=30, PN与⊙0相切于点A ∠AD=-2×2- 又W∠CED=∠BED BE=ED,△CDE2△8E SOALPN. 在△D中，mD瓷-时-停。 AD活到国心角的度数为 5一Smm一器·-平(am。 又？成O在∠PN的平升线上用1 ,市-厚C-100眉245（米. 《2DD是A非的中点，∠AB一0， 1n(1证明：道接C, P4.Q期=O4 ,D=CD一C8=10其（米1. CD=AD-B即合AB=, D是⊙0的知线，0C以CD ,点O州直规M的图肉等于©O的半轻 答：改裤后的斜接蓝角肉前津连的距肉D为14柔， :CD=CA,∴△D分等应三角形， AD ICD.-OCAD. W为⊙O的切线 1(1年图，过点A作AD1于点D ∠CD=s0, ∠DAC=∠ 4C五A ?5we=号BC·AD-84 2OA-OC 核心素养蔓分 360 ∠G0∠AO=∠DC,AC平分∠DMB LB 六号×14，AD-40-12 深究在策·九年Q数学（下）·S 23