3.7 切线长定理-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

￥3.7 切线长定理 6.(广州市第二中学二模)如图，在Rt△ABC中，∠B 新知在线 8 新课知识提前练 =90°，BC=4,AB=3.以BC上的一点O为圆心， 1.过圆外一点画圆的切线，这点和 之间的 OB为半径作⊙O与AC相切于点E,则⊙O的半 线段长，叫做这点到圆的切线长 径为 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它 7.如图，从两个同心圆⊙O的大圆上一点A,作大圆的 们的切线长 ,这一点和圆心的连线 弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点. 两条切线的夹角. 求证：AB=AD. 基础在线 知识要点分类练 知识点切线长定理 1.如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O于A,B 两点，若PA=3,则PB= () A.2 B.3 C.4 D.5 0 P60 0 第1题图 第2题图 2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA, 8.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是 PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°，PA=8, ⊙O的直径，∠P=60°，OA=2,求BC的长， 那么弦AB的长是 () A.4 B.43 C.8 D.83 3.(中考·荆门)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B 是切点，若∠P=70°，则∠ABO= ( A.30° B.35° C.45 D.55 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相 切于点D,E,F,且AD=2,△ABC的周长为14， 则BC的长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,若PB=12, 能力在线 方法规律综合练 PO=13,则AO- 9.如图，已知PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别 是A,B,则以下关系不一定成立的是 A.∠APB+∠AOB=180 B.∠APO=∠BPO C.∠AOP=∠BOP 第5题图 第6题图 D.∠APB=∠AOB 71 探究在线九年级数学（下）·BS 10.如图，△ABC的周长为16，∠A=60°，BC=6,若 |15.如图，直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E, ⊙O与BC,AC,AB三边分别切于E,F,D点，则 F,G,且AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm求： DF的长为 (1)BOC的度数： A.2 B.3 C.4 D.6 (2)⊙0的半径 ☒ A 第10题图 第11题图 11.如图，MA,MB是⊙O的切线，切点为A,B,点C 为优弧AB上一点，且OC∥MB,若∠AMO=25° 则∠OCA等于 A.100°B.15 C.20° D.25° 12.一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半 径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时 停止.其中AB=40cm,BC与水平面的夹角为 60°，其圆心所经过的路线长是 cm. (结果保留根号) D B 40cm 0 拓展在线 培优拔尖提升练 第12题图 第13题图 13.以正方形ABCD的边长BC为直径作半圆O,过 16.如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接 点D作直线切半圆于点F,交AB边于点E,若 PO交⊙O于点C,PB,PD分别切⊙O于点B,D 正方形边长为4，则△ADE的周长为 ,直 连接AB,AC 角梯形BCDE的周长为 (1)求证：AB∥OP: 14.(教材P96习题T1变式)如图，PA,PB是⊙O的 (2)连接PA,若PA=2√2，tan∠BAD=2,求PC 切线，CD切⊙O于点E,△PCD的周长为12， 的长 ∠APB=60°.求： (1)PA的长： (2)∠COD的度数. 第三章圆 72 微专题7圆的切线的判定和有关计算 ■专题解读 方法2作垂直，证半径 1.证明一条直线是圆的切线的方法：(1)当直线 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE⊥BC于 和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起 点E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆 来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证 心，OA为半径的圆经过点B. 垂直”；(2)当直线和圆的公共点不明确时，可过圆心 求证：CD与⊙O相切. 作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简 称“作垂直，证半径” 2.利用切线性质解题的步骤：(1)连接切点和圆 心：(2)构造直角三角形；(3)利用直角三角形性质与 勾股定理解决有关问题. 专题训练 类型1圆的切线的判定 万法1连半径，证垂直 1.如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O 与边AB交于点A,D,与AC交于点E,点F是 DE的中点，边BC经过点F,连接AF 求证：BC是⊙O的切线。 02 4.如图，AC与⊙O相切，切点为C,点B在CO的延 长线上，BD⊥AO,垂足为D,∠ABD=∠BOD, 求证：AB为⊙O的切线. 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=42,O是AC 上一点，CO-√3，⊙O过点C,与BC交于点E 求证：AE是⊙O的切线。 A 73 探究在线九年级数学（下）·Bs 类型2有关圆的切线的性质的计算 类型3圆的切线的性质和判定的综合 (1)求角度 7.(中考·衡州)如图，在△ABC中，CA=CB,BC与 5.已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT ⊙A相切于点D,过点A作AC的垂线交CB的延 =50°，BT交⊙O于点C,E是AB上一点，连接 长线于点E,交⊙A于点F,连接BF CE并延长交⊙O于点D. (1)求证：BF是⊙A的切线； (2)若BE=5,AC=20,求EF的长. 0 图① 图② (1)如图①，求∠T和∠CDB的大小： (2)如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小 (2)求长度 6.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P,过 点B的切线交OP于点C (1)求证：△PBC是等腰三角形； (2)若⊙O的半径为5，OP-1,求BC的长 第三章圆 74(:3e-民AB+BC+, CA,C害是⊙0的战， 在△0C中，下-=-可-2， 无.1U圳.莲接AD ,CA-CB.∠CAB-∠ABC, oE-圣r0+计， “LOCM=∠E-∠CD, CE-2学=夏，÷E=C-CE-22, AE⊥AC,÷∠CA+∠EB0, ∠ac-∠o0B-告∠cmB 在△ABE中，=甲+眼，AE=2将 又：⊙M期C于点D. 解特r一及 0EOC-3,0kC-0C-43-5=3万 ∠ABD+∠BAD= 后展春线 15(1D明：#AD8BC,ADLAA 2E+∠0C-∠叶ZCmn=2 ,AE时+0是-A0,∴，∠AD-0, .∠M=∠AL ∠QD18-(∠0E+∠00D= 0ELAR,点R在⊙O上，AE是CO的切除 又'AB=AB,LFAD,△AHFA△ABIXSAS, ∴∠2CHM∠BDg, a如图，过成0作附上CD于点H: ∠APB-∠ADU=9,-BF是⊙A的好线 AB-AD-1 1近(1连接F. AELC..∠AB=. B是⊙A的切线 任紧切线装定理， (n:∠AFB-∠FC-g”,BFAC AD/BC,∠DwO=∠AEB9 (这点D作D用⊥C干点H, 得HE=F,CFCG 脚O4⊥4 CA5-器 :∠AC-∠MD=8fD-', 0p-∠0BE, D0平分∠AD,QHC,QA⊥nA AD=AB1,网边形AHD为正方那， ∠0CF∠0r OH-OL G-C-0®-5-需那-4， ∴-D-B一1.ABDH,∠Em-∠C ABCD.∠AC+∠T-I0 发OHLC, -EF-- “∠9C+∠0F-o,∠段C=0 在△D线中，CD0F=--2 DC是⊙O的切线，厚CD与⊙O着饲. (2由(1年，∠=9. 3,8图内接正多边形 om乙Ef-m-资-君-子8 L作OAB,绣起为， 0=6m,0C-km 斯知在线 ”AC与⊙0相彻，切点为C 1.风内接正多请思外接 3述点A作AU⊥C于点，二F可一D. ,由勾霞定理，得C=√0C-10(. ,∠0=0. 名外接周华轻边心配 中心角气零 在△D中，JD-AD·m∠AD可-等B, 0F⊥E,由0R0 C.F ∴∠O4C+∠AC=. 基破在的 又DL∠DO。 得ow9-4m. ,“∠D计∠O,∠AD+AHD= 1.c2C&Dtc五号a1时 FD=2D-5, 脂©0的半径为k4cm 又∠BD=∠AC,∠AHD=∠D, 7.雀接0期 .FDFC-FDI(FD-DC)-49. ,∠O4C=∠AD DC△aac÷畏--告 拓展在线 1反(1)证明：连接D,O思 OHLAB.OCLAC.OH-OC. aaw-0-者- 又C汇为⊙0半径，AB为⊙O的切线 ∠N=45. BC-BH+CH-3.-GD-4. :PB,PD分则切@O于点H,D, P-PD. 点(1)如匿①，聋接AC, 0M-8,∠I-∠0W-45 ÷AG-GD-AD-号 O川=0)，.O系直平分线取D, AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径。 中心角∠0h=0, 即POLBD ,AT⊥AB,岸∠TAB-: △M因中， 又∠ABT=5r.∠T=-∠ABT=4 :警-4正多边带为正方形 “AD为⊙O每直径，A81D. G=m+V+石=厘 正多边形的内角为9， ABYOP 由B是⊙0的直餐，得∠kCB=时六 ”∠CAB=一∠ABC= AM=M-OM-1,∴边长AB=2, (2)AU8P,∠BMD=∠ ”品7切线长定理 ∠CDBm∠CABm40的 周长为4×2-8， PD切CO于点D.PDL2 新加在线 (2)7图②，造接A 正多边思的面积为一4 L切点2相等平分 m∠00-器-2博D-2300 在△BE中，BE-C,∠C=, 民略 基础在线 AD2OD.AD-PD ”∠CE=∠-G, 能力在联 1.自2Ca8t心55反毫 在△PD1中，∠PDM一圆'，PA=E ∠BAD=∠WD=S 属C1D11.D124m AD-FD-2OC-0D-1. 'M0D,∠0Mm∠1D6 1(1)如盾，正六边形AD下甲为所 1,南E=C,AD=2AE,LB-2AC,得AB=AD 在△P0中，∠PDO,PD-2,0D-1, ∠AC-∠AC-· 求〔作法不唯一》 &“PA,PB是⊙0的切战，÷，AP=P ∠a0∠DM-∠D=l5. (边形风EF是拒影 六OB,÷-O00-周-L 又∠P-.△AHP是等边三角形，∠PAB-0 让引， WPA是⊙O的切线，，∠PAC=0: 量专题？圆的切战的判定和有关计算 :六边形ABF是正六边形， ,∠4C--3-30 专数用练 A■FmDE=DC=E=C 又AC是⊙0的直径，∠ABC- 1.道接0F ∠PD∠T-1 'OOF:∠OF∠OFL. C-字A-0A-2 二点下地的中点， 8.(1)正明，连接班 hB-F-DE-DC,∠DaC-∠DE- ∴E-E,∠EC-.∴，F=CE 城力在成 ∠DMF+∠CAF, 0P1, 又“，FCH.:用边形EF是形 ∠OMP+∠0PA=0, 气D 10.A IL.C20-子524 ∠深A=∠CF,FAA8 1L(I》:大边形DFARGE是正大边形， .∠fH=∠C=间 ∠OPA-∠BC, ∠球-∠BWA-∠AB=∠AG I4.1D由切线教定理，得PA一P比.CA-CE,地-D 厚FC段C是⊙O的切线 ∠O4P+∠BFPC=, ∠度E-∠ED-,DE-DF, △PD的周长为12， 过点0作01C,莲接C尾， C是⊙0的妇线， ,∠HDE-∠HED=0, ∴，℃+CE+DE+PD-12 在民△LBC中， ∠M+∠P=, △HDE是等意三角形 ∴.P℃+CA+D8+PD-B,程PA+PB-12, C-V山+dVWW+(42y43 M=0B,∠aAP=∠84 HD-DEHE. ∴PA十PA-12,层得PA一 ∴，∠C-∠C即△PC是等醒三角形 (0,∠APB=60, 0wNA8△0△AC.是-， .FK-KA-AF.ND-DF-FK-2 c. (2)段P■BC3,期DG=1+1 正大边形的边卡为2n .∠D∠PG=1a-∠APA=12 ∠C-9,÷0甲+ (连接0M,O8.过点0作CN⊥AB于点N, 18-∠D+10-∠CDB=12. ,(1+2+4),x2. ∠CD+∠C0=2阳 即C的故为 ?∠A--矿，60是等边三角形 22 -深究在领·九年组数学（下）·S