第二章 二次函数 单元综合复习-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

单元综合复习（二）二次函数 知识体系构建 形如①D 一般式：① (a≠0) (a.b.c是常数，a40)的函数 定义 三种一 ② 类型 顶点式：@ (a≠0) 一图象 向到 (a>0) 二次函数 交点式：国 (a≠0)】 向④ 开口方向一 的表达式 (a<0 →确定方法一① 法 直线⑤ 一对称轴 二次函 函 →+面积最大 6 一顶点坐标 二次函数 数的图 对称轴左侧，随的增大而 象与性 的应用 ,利润最大 >0 质 对称轴右侧，随x的增大而⑧ 二次函数 二次函数与一元二次方程的关系 对称轴左侧，随x的增大而② 与一元二 次方程 ,用图象法求一元二次方程的近似根 对称轴右侧，随x的增大而) 5.(中考·福建)二次函数y=ax2-2a.x十c(a>0)的 章节中考链接 图象过A(-3,y),B(-1,2),C(2,为)，D(4, 类型二次函数的图象与性质 )四个点，下列说法一定正确的是 () 1.(中考·江西)在同一平面直角坐标系中，二次函 A若h2>0,则yy>0 数y=ax2与一次函数y=bx十c的图象如图所 B若1y4>0,则y2为>0 示，则二次函数y=ax2十bx十c的图象可能是 C.若yy<0,则3y<0 D.若y为y<0,则M2<0 类型二次函数表达式的确定 6.(中考·威海)下表中y与x的数据满足我们初中 学过的某种函数关系，其函数表达式为 x -10 13… y …0340… 7.(中考·宁波)如图，二次函数y=(x一1)(x一a) (a为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a的值； 第1题图 第2题图 (2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点， 2.(中考·黔东南)如图，抛物线L1:y=ax2十x十c 求平移后图象所对应的二次函数的表达式 (a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交 于点B(0,2),虚线为其对称轴.若将抛物线向下 平移两个单位长度得抛物线L2,则图中两个阴影 部分的面积和为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(中考·徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数 y=x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移 1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 () A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x+2)2-1 D.y=(x-2)2-1 4.(中考·常州)已知二次函数y=(a一1)x2,当x>0 时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 () A.a>0B.a>1C.a≠1 D.a<1 第二章二次函数 50 类型3二次函数的应用 8.(中考·裹阳)从喷水池喷头喷 y/m 出的水珠，在空中形成一条抛物 线，如图所示.在抛物线各个位置 上，水珠的竖直高度y(单位：m) 与它距离喷头的水平距离x(单 x/m 位：m)之间满足函数关系式y=一2x2+4x十1，则 喷出水珠的最大高度是m. 9.(中考·达州)渠县是全国优质黄花主产地，某加 工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调 查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售 500千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况 下，工厂采取降价措施.批发价每千克降低1元， 每天销量可增加50千克. (1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的 函数关系，当降价2元时，工厂每天的利润为 多少元？ (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大 为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于 民，则定价应为多少元？ 类型二次函数与一元二次方程 11.(中考·梧州)如图，抛物线 y=ax2十bx十c与直线y= kx+h交于A,B两点，下列 10.(中考·牡丹江)抛物线y=一x2+bx十c经过 是关于x的不等式或方程， 点A(-3,0)和点C(0,3). 结论正确的是 () (1)求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写 A.ax2十(b-k)x十c>h的解集是2<x<4 出顶点D的坐标； B.ax2+(b-k)x十c>h的解集是x>4 (2)若过顶，点D的直线将△ACD的面积分为1：2 C.ax2十(b-k)x十c>h的解集是x<2 两部分，并与x轴交于点Q,则点Q的坐标为 D.ax2+(b-k)x十c=h的解是x1=2,x2=4 12.(中考·淄博)对于任意实数a,抛物线y=x2+ 2ax十a十b与x轴都有公共点，则b的取值范围 是 13.(中考·乐山)已知关于x的一元二次方程x2十x 一m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值 范围： 51 探究在线九年级数学（下）·BS (2)二次函数y=x2十x一m的部分图象如图所 ○混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点”而致错 示，求一元二次方程x2十x一m=0的解. 5.若函数y=x2一2x十b的图象与坐标轴有三个交 点，则b的取值范围是 () Ab<1且b≠0 B.b>1 C.0b<1 D.b<1 核心素养提升 【模型思想】某跳水运动员进行10m高台跳水训练 时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的 一条抛物线.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运 动员在空中的最高处距水面10号m,人水处距池边的 距离为4m,同时，运动员在距水面高度为5m以前， 必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则 就会出现失误 (1)求这条抛物线对应的函数表达式； 易错易混薄析 (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是 (1)中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势 ©对题中的限制条件考虑不全 L.已知二次函数y=a.xa-2十1的图象在对称轴左 时，距池边的水平距离为3名m,问此次跳水会不 5 侧y随x的增大而增大，则a 会出现失误？ ©未分清平移前后方向而致错 2.已知一条抛物线向下平移1个单位长度，再向左 平移2a个单位长度，就得到了抛物线y=x2的图 象，已知平移前抛物线过点(1,2)，求平移前的函 数关系式 边水市 ⊙不能根据图象准确判断出函数的性质而出错 3.(中考·枣庄)二次函数y=ax2 +bx十c(a≠0)的部分图象如图 x=方 所示，对称轴为x=2,且经过 点(2,0).下列说法：①ac<0: ②-2b+c=0:③4a+2b+c<0: ④若(-2)，（停2）是抛物 线上的两点，则h<:⑤}b十c>m(am十b)十c (其中m≠号.正确的结论有 () A.2个B.3个 C.4个 D.5个 ⊙因考虑不全造成漏解 4.已知二次函数的图象经过原点及点（一2，一2），且 图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么 该二次函数的表达式为 第二章二次函数 52点F在线隆C的莲长线上 方时，延长PB交x轴学点E当P点在x轴下方时，药核 =1 16==2, 60同4 PB交文轴于点F 1=3 “明养场的宽EF为8米时，明养汤D5下的面积最大 :∠GEA■6时，ABm6 =2=一含)点Q的坐标为(2,3. 抛物线的解桥式为y=一户一女十名 最大真积为9到平方采 :∠-树+15=元，∠CP-树-15=45 7y=-x-2十1=-x十1P+4, 2.1)当8C星时，授y=r+≠09： ∠B-m-5山1”-∠AE 圆原D一l,4以 2+-1D用-26 1==3, 十一如 AE-AB=6.G泥-35十K￡点象标是3万十4,0m, (口量直线C的函数表达式为+k≠0 :O5=0B-3,.F点坐标是3,00 将A(一3,00，气0,30代人y-+b,得 .当82时.-一r+214 授E的解析式为y十起 点Q的垒标为(+西，1+西) 当3GG0时，5y=120,3 1-1r+216Br30 易每w=3,则(33十6)w十0，解得扇乃一2 6=8, 11232rG0. E的解析式为y一(W5一2x十a 动点Q标为0,3减（计适，-1+1正） 直线AG的函数表达式为y一十1 《2)量利料为W,则 当这明，W=x一8)y=《x一8)0一3r+16)= -+-一++3 8(1)抛物线y-+h十：的丽象经拉点1B段一3,0m, 真城C与直线DQ交于点E,则 设意E的坐标为（十（一3CC): -3(x一40)+02 解得=0，-8一反列-8一5 ?直线DE期△A不的面积分填1+2的两需分：且 智开口向下，对称轴为直线士■轮， 设F的解析式为y十思 “,物线的解挥式为y一+山一1 △ADE和△CDE等高， ,将8Cx<这时，W随±增大陶培大 由“一3，期3m十=0，解用n-一 ()当x-1时=一4.所欧点0X-1:0 ∴，A2CE或CEm2AE ,E一3亚时，wWmA-20(元3 F的解G式为y=一r十名 5ro时y=一3所以点C0,一3% :AC-82.∴AB2或AF-2.E 当19时， 曲-+r++ Ha.2+2a-3)(-8C<-1): .2(十1)=2度r十)=8. W=(x—60y=120(—0=12— 品x=一2晓一4减一或一5 W随x的增大有增大：工■的时，Wa大■340（元以 解得到-0雨-原十a-2原+3 所铁5anm-Sm卡Sm-0xd+a-+0C .-30,x=-2藏-1 3800282,.量大利制为3340无 成E的生标为(-2,1)减（一1,2） 1.1)由图①可知，(4,0)，抛物线顶点半标为(0，)： ∴P点横坐标是1一√3或3+怎 xal-是8-山-小音营是+受 及远售线的聊板式为一4十。 60m个y=0,-}=0,n==-1 当点E的坐标为（一2,1D时： at)'+里 设直线DE的函数表达式为y世十n(n): 1 ÷m3,91,A(-1,0 将直-1,1)，D以-1,40代人y=w十 ◆r0则y-是年c(o,是》 ”-火是<一1一是时，m取得最大值学 指物线的解析式为”一十忆 2设直线BC的解析式为y一上十6， 单元缘合复习二】二次函敢 妇院体系构健 直线DE的函取表洁式为y-十？ 22+-2么当-22时y-青×2梦+-么m 把3,0，c(0.-)t人，得 D一+b十r缩物线上①下r一去 当一心时一是六点Q的坐辉划一-子，小 279-05=22Km. 站十=b, - 会) 当点B的生标为（一1,2）时， 答：该皆车指够通行的量大高程为云护m 心减小自情大意塘大减小 :D(一1.4》..直级Ey轴 4,(1)银据题立可年，直A(0,40,(4,4在抛物线： 0yr十br+e3y=ar一h)+k 点Q的生标为（一1,0）， y一一高子+b如+：的图象上，则 直线C的解析式为y一子一是 B阳一n)(r一取》g背定系数 章节中寿盆溶 感Q的坐标-10减(-音心， 4 c-4 〔3设D风x,0),0x3,DF1x轴， LD2B3B4.BC6y=-子+2+8 ÷D=g=e=X, 1D2长- ?.(1)“国象的对释轴为直线x一， T点E在直线BC上 1表1B,一元二次方程2十x一w0有两个不相等的实数根， 粗物钱G约函数解析式为)一言十子十长 ∴如-是n是r是) -2a1 d>0,p1+m>0im心 2)话结且与小山蓝宜期肉为1米， ()”4一二次函数的表选式为一子一*1 :点F在粒物线上： 寇物线向下平移3个氧位是过顺点， (粉二次雨数y一2十一和图象的对将装为现一一号 (含2+星+）-(++)-1 ∴w含-是卿F(-于}） 平客后图象深对复的二次雨数的表造式为一虹 解得一一（不金超意，香去》，角一 二抛物线与士袖闲个交友关于直线上一一}时将， 放运动员运动的水平影肉为经采时，冠动负与小山较 那-w-量：一是-(3-一是)- 及(1》右降价x元，则性天销量可增如30x千克 出图象可知抛物慢与￥轴一个交点为(1，)， 的整直距离为1米 5(1)层周Aa,0),0.. +-()'+片 W-(00中02)·(4830， 另一个交点为（一2，） 整理，得W==302+00r十00 二一元二次方程十x一m-0的解为一1： 一受时：F有最大预号 s=2时.W=一50×型+40×2十00一400 -2 公树物线y■一 每天的利解为60国元， 易桶易围所析 其A,B两点 1.[1授点A的坐标为(e,0),渊点C的坐标为m=4.0 (2)Wm一02+400r+9080■一50(x一4)+9500. 了发物线的对际约为一二一密一 ”一0<0，当上4时，W电得最大值，量大值为g0, 之由平移美系可得平移信关系式为了=一面P+1 “,当降价4元明，利铜最大，量大利别为四元 +-1.maA3,m,-1,0m. 把点，D代人，每a=1我x-以常去2. (8)净W-90,得0=-0C=42十0国， 平体首的函数关最式为y=《x一Y+1 u一一1，粗物线的解析式为一一十2x十3， 顶点坐标为1.4 要让利于风，r一5,45一543元》 2电直线y=-马十1，号得∠A)-,又 (2四授动点Q的保标为，一r+2m+3) 定骨为43元 情心素养提升 D当△△aP时，需器 1a.)始物线-一士十b如+r与r轴交于底A(一3,09，与 (1》在输定的直角坠标聚下，授最高点为A,人末点为B抛物 “”∠AP一1，点P在y轴的右侧当P点在x轴 y触交于点C0,3) 线官的函数表达式为3一2+6十么.由意，每0以0,0)， 深究在策·九年Q数学（下）·S 19 无球F面4g 基础在线 在R△ADE中，DE=AD·im0一5。 以2，一1：且圆点A的W坐际为司 &出C-0,度-. LD2Da14 m LC D长B7.B -取--B, ∴，DF=2DE=2/ 道注接从，加闲衡示 16白》连接BD 从司ABCD, 在△A仪厢△C因中， CD1AB,AD-BD=含AB, BmD,∠DB=∠DEC AB-DC. 在L△AD0中，0M一C0C-5m: AD/BC. BC-CH. 0-D-=D,∠AD-时 ()连接QB,00.C BCCD...BCCD. AC-DB. ∴A0=四-7-4n),÷.A8=2AD-8(ml 'O思mO0,C=DC,OC0 .△ABQ△DCB 8.D BA 能力在线 △eDC∠CO∠DO 又ADBC,∠DEC=∠CE 一这条的精线对应的6餐表站式为一一尊+学 能力在线 1a.B1LA12(2.1)1223 1nDL.c2cF厨1h.粉-元- ∠DO∠EC,DE DC,DEmC 14挂接并觅长，与AB交于点D: (白当运切药在空中更地效的水平肥离为3号m时 14生接C.Q4B,0C,0 品四边形CDE是平行园边形 YCDLAB. 'PA■C ,四边形CDE是菱形， x-是-2-音—管×（佳广+世×警一 ,∠PAC=∠CM 二AD-D-号A-(米. 惩展在线 1R.(1证明WAP平分∠EC,∠BAPs∠CUP 起时运结组E水新的高度为1g一誓-专m 'M-0C,∠kC∠OCA 在R△A0中，∠0LB=41,3', ∠PAC-∠OC=∠FA-A. ,B即■P 年P为实凰度的中点 ?兰<，二武次晚水会出现失悦 甲∠PUO-∠mm 0-i.了a元米3， '0M用，0C=(0D CD-AD+L3w3X0期-24米》. (2)PE的长度不会随点A的超动作度化.理由如下 第三章圆 ,△A忍，△D都是等艇三角形 .CD=C+00u44么64=系G4w6米) ∠BAP=∠CAP=∠CBP. 31圆 ·∠A0-1朗-t∠01P,∠-r-2∠0 答：点C落A出所在直线的距高为（香米 E平分∠AC,∠E∠CHE 新知在线 .∠A0B=∠000.A-C 拓根在线 ∠ABE+∠BAE=∠CBE+∠CBP, L.定长圆G半径可02线段直径2循 151)证期：连找出.0C 5)选接OC, 甲∠ETe∠EHP.PEPR VABEAC.AB AC :君是风的中点， :P为C的中点，厚PB为定长，PE为定长 4点在上①>=①< AB-ACOB-C.OA-O C-FA0E上9 PE的长度不会随直A的愁动有变化 基建在缓 “△A0☑△C5S. ℃是A压的中点，品C-反 第2课时医周角宽理的雅理2,3 LB 2A 3C ∠O4B=∠0nC, ACECEB. 新相在就 4OAB.0CC,A因.CB度C 0平分∠BAC 品∠C=∠CE=∠8=60，∠D= 1.直直径2同内接网边形、外线展三互补等干 a.A6DT.点P在⊙0外 (2)是长D交度于盛E 在R△xD中，∠CD-可，00-C 基碳在线 ,雀接AC,C=守十=m) 'AB=C0平分∠HG 1,B2C3日4Bi.26B7.C&C.10 ⊙A的半径为4，AB-3C4 E1B,BE-含BC-4 00-0B,∴ADDB=13 能力在铺 点B在⊙A内： 设O4=x,词得(45)一平=x十0，-0+ 2D,AB=6,Oh=想=E-3, a居出e法梦aw婚 DMm4,,点D在⊙A上- CA->4,点C在⊙A外 解得一.0思=.半径Q4的长为6 ,EE=1t2,-求=1， 14门》证明，连接E 环展在线 在R△F中，-√下-夏，.0=4 9.反5m或2.5mm :B为⊙Q的直径： 1i(1证，？-C,CB-D CD1AB0ELC,∠HDC-∠FO=. ∠AEB0.即AE⊥C 能为在战 又，∠G-∠CI.CPLA,E⊥AD 又∠B=∠B,∴△HFA△C =C.BEw至. C1且.D2C1上外14.不 SCE-CE. 品点E为的中点 15.易得∠A8,∠C-18-∠A-∠B-72 H△CEDAR:△FE 畏器品斯得① (2连接DE,:∠BD=5 16(1]4.8<6. DE-BF. 怎4圆周角和贝心角的关系 (2,=6 (2)连接D,0口 第1事时圆周角定亚及其推论1 ∴∠n-7∠0-1. 后展在战 '∠nM=的，QhOD, 新加在领 ∠DAB+∠D-1好，∠+∠沿-1， 11,设r后点P在⊙0上，当围童可闻 △AO0是等边三角表 L圆周角之一单内都3相等 .∠CD=∠04-1t.5 当点P第一次显动到⊙0上时， D=2AD=3.∠AD0=∠oD=0的 基醇在线 成(1》证明：连接AD, 有2十10-1一1，解得x-2, CH=CD,∠C0m∠期=68 1B2.4∠C与∠D∠A与∠B&B4B5.C :A量⊙的直径， 当点P第二代越动月⊙0上时： 又，D■℃，”，△D是等边三角酸 65mT.D&B9.目10或15 ∠A一，厚ADC, 有2+0一7+1，部得2是 量力在线 C0=D,AD垂直平公C “∠E- 11.C1.C13.C14. ,AH=AC..∠i=∠C 惊上所注经过z物发之秒后，嫩P在⊙0上 3.2圆的对停性 在a△cE中，EcD·h0 1.11连孩0 :∠I-∠B,∠E-∠G ,∠ACD-30,∠0D-60. (》,四边形ATP是⊙O的内接目边形 新知在战 点m-吉AD,E-音×3X9- ,04-0,△4D是等诗三角彩 ∴∠ADI40=∠E, L图心无数2中心圆心a翼弦4相海 ∠DAB=f ∠CFD=1∠APD 基秘在线 ·3.3径定理 )AB是CO的直是.D5⊥AH, /CD-∠E-5 餐好在线 ÷D=F 由(1，得∠B-∠C=, L.C2B1子mkC.D点C 1.平分平分名系直平分 △0D是等边三角形，AD-(Q- .∠B0=∠C+/FD=5+3=11 20 深究在领·九年组数学（下）·S