2.4 二次函数的应用-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

原能情线件右解向上客为的单位长值相同， 设醇脂物线向右向将上各除通了A0个单位长度.侧 由1+46+2，解 FP(2十+1， ,=0. 当广喜时号的值有最大n 经钢的情战的解前式为一士一日-42+ 二游物线的对有错为有线了一一会一1 y--号 此时-g+4p+-一2×（号）'+×+4-号 将点4.0代人，得-安4-2-初+2+-0 C4,0),-2.02 3由y0韩y4得符合条件的点尸0： 2- 解料一6或一何金去)， 过M点作N⊥：轴，突于点N, 2a-e++)期N(a,-+ n(.)n() 6直叫号，) 周药港物00南所式为一一飞-矿+24口 环展在候 2(13累抛物线的顶点电标为A2。一11， y4-+4-2u 5w吉Mw0x(-+×t 1L.I)起A一26,4.0m16,4f代A y=r+hc+m,得 设该抛物线的都新式为y一一2一， 1.D元.D7.2限C -+w-wr+. 谈抛物视试点窝0，- 二4二次函数的应用 40-3+=0, a0一2力一1=8.解周=1. 当a2时，△AC图积最太.其最大算为2 1十6+.丽得。一1， 物浅的呢析式为一x一2)一1 第1课削利用二次函数求几相量值同量 新知在就 此吨点M物坐标为2,2. (2051时：y=1-2)一19： L.自变量(3)函数y41自麦量 3将线21绕上自上的诗点P(,0)顺时针能转时 商x4时4-)Y-1=3, 用线段了A, 品岗地物线的解析式为一寸广+十 ”a=3,常物线开口月上，函数闻小销为一1 五一会“会大如 .P7-w.A-=2 3会-h.1 ,有1<上<4时，y的取物意用量一C<议 基硅在就 7(w,n3,An十2，w, L(1)当m=1时- 1.C已A314 当An+2w在影称收上H.有一(+2y+号 点E为时行物上一点，使31n,则DE, 点AK-3.1,40-2 ,有线程D绕点E顾什方向曲转自州线段E, 设物线的函数表达式为 0-寻 23+1-州，解得w一3上，17： ①当点6在x轴的上直时.月1一w.》 2y-40-1-u-30+m80m 把直，2)代人： :点F恰好在该抛物线上， 5CL1,5, ÷时-一子行+》十颜用m-一1中/10， 能力在城 1当一3一/7一1友一1+7w时.我假 箱物徒的表达式为一 SA RA (了A'与装物线具有一个公北点. 种=一1一10（不合题意，含去， (IH-r 05rI 就时乐，而一1， 其对存轴为直线x一一1. (年图，延长P交AU于点 巴当点E雀x轴的下有时，F门一w (2位m物线的表达式Ny一+3wa一1》 ?正方用A度D的边长为， ":点F恰好在该地物线上： 无0o,代人得-2据特。者 下为的中点，国边形PDN为其 B,4M-,E=1 色1a制 m,作FE1上轴干点E深上于点 第课已三点确二次数的表达式 4PW度，F-F-a-a.黑 斯如在缓 解得=一1币《不合题意.余去1，：一一1-而， '=r,=1一，M=议=L 1a,6,1三一4,6，待定系数法 段E=4.F=, △汉代△ 基础在战 线段虑的长为可中1或，而+1. LD2DDy=212 微专题↓零二次函数表达式的七种方法 票0早gm-g-2 7(D二次丽数y=42十十e的图象经过A一t,0) 专题调感 B-冬÷底川1-餐 ,DN=hM=G11-Wi=4-(2-2r)=1r+2 3,01,cX4,51点 1.1=3形度A=6 鹏8=aM:W=(4=)2r42)=一2+6x+,其 ∴g0.0,B3,01,A-1,0 起点P代人程例线的表选式-到 中 将-1,0,3，m,X0代人 a:8-护t+8--一圣)+2， .二浅函数的解新式是y一一2一1 a-r-0 2 又1一解 小- a=一2c0,:此箱指线开口向下 2)端物线的对际精为直线：一高-，且开口月上， 2 六当工时以商：的稀大自烟大 又仁-C,当=1时y联是小值，甲4=一： 一抛物成的解所式为y”一十山十反 对于直线y=当==2时，y=2,再2,2白： :行的眼直直围为长1 雪x一一2时，y取量大值.即一一写 如图，过从P作上轴，交仪于点( 设夏粒物0的解新式为y一一2尸十2 当x1时，矩无N的面积最大 y的范周是一45 ,意X0.,3-00, 算夏点(0,0)代人，得10一2+2■中， U球点P与山B意合，比时最大有为 精力在城 授仪的解听式为x一：.代人的中，周 4c ac ias B.-4-+1 解得。一一立·期p的物线的新新式为 5=一2+6+8=12. 局属在线 1在平面直角第标餐中，球出手点，量商点相时四坐标 y2-↓+a 品直线配的解析式为y=一色+6 分捌为1(-4，一1+智)K0,02.3-1, 名1由相微得州4,2， 段点PN,一2扩十十41，用点G生标为(，一2十6 sy-0时，-学十多- 设浙登解析式为y一a, 授用求的次属数表达 解得r三4成了=0，同M4,, 式为y-a+r+, ”娘抛物此造射线方内平移。 优人A点坐怀：影樱4=博产一甘 一深究在我·九年级拔学（下）·S 17 把-4代入y产，得-1. 9515时，2-5十2（初一》=-2x+5 当4=0时y=-3. 出Z殖r的油大内减小..乙2×5十5=瓶 当y=0时.r一2一1=0 -是为-一是十 甲因点在前特线上，桥区一定霸授中 家上连，当=4时2a=形 解得r一1成F=1, 家将y==4中表1P=一0,1， t时30-rm帆 抛物线与y编头于(0。一1 代人y,得-27成r-4(含 ,陆球用干限思时其为4分钟，同于解思的时同 与x轴资干一1.03.(3,0 =--2十1 解斜一亭发1 4-生7一1.1，所以只如甲身赏1.3米内煎图号能设功 为5业钟时，才能枪这和？钟的学习收益单量量大 2)关下附的一无二次方程为m十=十十大=9 耗佩在线 相有实数银， 第？漾时利隔二次函鞋解决普销利润同量 12.1) 工人巷 每天产量 每件和铜 3=(-为一h-4十10.甲北<-w.+1国 “出在第二单眼，当一是时-一受×（是》 L2)自变量(3)防售散量三大 (人) (件) (元) 相成立一2+减立 +星-华…h以-星 基璃在线 甲 25 18 :(1)中的抛物线解析式为y一了-2一3， (设与y箱交这为E L.D2H黑4 =0时.1=一0十8=38，Y0.3) 4,y-1十t00(0-341)-一52十10间r十e0010 (2)=18×25x+166广x》(1十x1==152十4十 4. 125 ”点代力，)是（少中箱物线曲：体提挥料到的简得线 4.1-1-75 (3)y-1+5r+7125=一160一18+118 属雷冷上任鱼一众· 2)y-+一=-—+2≤ 气：18时，y取样量大的，最大值为19气 a.ncxst 月o,号》“△D的商肌为空×四 -10时A25 ,骨程1球个人生产甲产品，7人生产乙产昌时，则以我 答：销曾单价为1e元时，该件离品每天的销传利钢是天， 一+上4取4一+值的下限2 得颜大利间始元 ×--}×小)(+》- 最大和用为5元 2,5二次数与一元二欢方程 实数叠的量大算为及 3》由湖象可1以看出。 7,)段y与工之剩的关第式为y=十 第1课射二次函数与一元二次方程之润的关器 第漾时利两二次递齿里象求一元二改方程的近级粗 当的时，一家度> 餐姓看线 新知在线 1-20 1.得相等没有2(12(213)世有&精 yr十十42为(3 微专题：二次雨数的皮用 每y=一十3M 搭应在线 基码在域 登题润感 《)设每件产品的价售价定为，元芽.每耳的的售科料为 1,52531s 1C2C-1 P元， 4,指物线y一广十w一w一4中 L登y=2+2x一4，表下 2”要求阳围慢的创养场DEF的皮积为6平为米 周P一1200-r+00, -432-11 E×F=.(图-r)■纸朝得=11n=2, P=-2+u-00m=--100+1000. 点F作线段议上，且=9，：F6,即3-B9 电当-1间时，m-1和元. y-+2-44 ,>0,÷m≠，M+0 解荐位 .每件的也价为仙元时，利国最大，量大为测灵 甲一细0拔物视与x鞋过有两个同的交点 作草图<略 上=11，甲同寿6的宽E为11米 能力在姨 5BL05,A8x=-8发4 由象可知广2一4=的近叙很为力年一2. 山食斜养场EF的度积为S.打的长为x苯 1. ①当点F在线良度十时， 收日)设u沙库锋盒遗传为a北，满瑞肉算年盒过价为x+ 元C6C 根新1可得S-第×F-(3及)y--1山+观r一 o元. 本程ar+r十r”一有太实数仁 7.1D0(2)- 3设y-+3. (一)+要 你圈意：科g罕斯得4一 10.D 技检铃堂一国晶原方程的解，料符合暖夏 能力在线 明y是背二次函数： ”a”一I3,抛物浅开口利下 5-一8<0.心当上一学时，S有量大档，量大值为平， 1L12C18A14,015,①120 4十0=4 且(1y2+2十w十伊十时一1，对林轴为南线x一L 又当=0时，一2+一1=0 且当心时，5随：胸增大南减小 都：可少棕再血山价为无，的标有盒山价为无 ”间物线与轴有且只有一个公共点 解得与=1+-3 2依题意，周y=山一01[00-一0门=-2x+ ,当点F在线登C上时，需满足10，二=0时： ,原点的域坐标为具 由此得抛物复y一一十4一的大我丽象如国压灵 2r-0-一r一70+I5L 当有量大指，最大值为一3%1㎡+初X1-以平方米) “的顶点标为（一1,03 .当<可时，静一2+一3， ,当0时y减浦大直神大.又CC两 时p一站一影一1x=一3×0一B,满足点F在线程 (设的函数美系式为y=(x+1尸十， 解集为n1成r2 当=荷时，函数的循天值y一风 C上 起A产3,01代入上式，用-3十1)十★=0.得h==1- 量力在线 放y与：之间的函数解新式为y=一2F十和u一00 ②当点F在或夏的莲长钱上时，量E为y米， 0☑5》 的通数关系式为=十一 8.目.D0C且.0<4121.4 由)可周-川=F-,E-AF=y,AD=, 当装再您的售价为行元时，量大料鲜为7D元 当r十1)-4=0时，解得x-1发一 生)利用函数y声一2一2的图象可知： 片=，=y一 11.)当G5时，2y=w一十5， ”直一)，它与g的号个交点生标为1Q: 当=2限，y39,当=1时，0， .+=斯一AD-H-下 把0.0)代人，得0=4十26，解接4=一1 巧属在线 无以为型的匀一个精在2和3之间 y十yp-新二3)一 一一)+=-+, 17,(1D周衡线y=21一a(a91的1释转为直线一 4雨数y一一+年的函象的对释输线一 解行y豆(8-r以E-6结- 当c15时y5 -r+10rH0G5 睡缘.日a解得心 掉上时得厂5 心，抛物线卉口向上，大登信象虹售所乐 六s-0×F-w-3-一含2+=-号石 后展在域 两时，随的增大增大 -8+94, 2设是障用于同限反是的知时间为《G≤15)分钟，半 当时，函数有量大童 4,4州=一-2十1.令为■0.渊一2-2十8-0， 习收益总量为Z.则使用于解超的时国为（一x分神 有4时，y5 .=一清或1， 7一兰血，六生时5有最大值：最大值为一音 当5时.Z一十十一小一十8十0 :1a-8:一=5，解荐u=L 点L.B的坐标分第为（一8,1， ×餐十1×M=(平方米 %-一4P+76: ym-2山r一L 当4=t时，2士=60 将点的生标优人为一受十人得6一}+ 此时时=DE4-山1-豆（场-3X8)-出，病足 18 一究在我·九年夏数学（下·一2.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数求几何最值问题 4. 如图.已知/ ABC. /B-90*,AB-30.BC-40.点E 新知在线 。 新课知识提前练 是斜边AC上一个动点,作PD1AB于点D,作PE 1. 用二次函数求几何图形最大面积的一般步骤: 1BC于点E. (1)设CE-x,则BE= (1)引人自变量; ,由△PEC (2)用含 的代数式分别表示与所求几 △ABC得PE- 何图形相关的量; (2)设矩形PDBE的面积为y,则y与x的函数关系 是 (3)根据几何图形的特征,列出其面积的计算公 ,若化为y一a(x-h)*十b的形 式,并且用 式,则y- 表示这个面积; (3)当x-__ (4)根据函数关系式,求出最值,及取得最值时 时,矩形PDBE的面积最大,最 的值; 大值是___。 (5)检验解的合理性 知识点② 利用二次函数解决实物抛物线问题 2. 二次函数y=ax2十bx十c(a>o),当x=__ 时, 5. 如图,某隧道美化施工,横截面形状为抛物线y y有最小值,最小值为 -1}+8(单位:米),施工队计划在隧道正中搭 3. 二次函数y=ax”+bx十c(a<o),当x= 时, 建一个矩形脚手架DEFG,已知DE:EF-3:2,则 函数有最 值,为 脚手架高DE为 ) A.7米 B.6.3米 C.6米 基础在线 。 D.5米 知识要点分类练 知识点① 面积最值问题 # 1. 如果矩形的周长是16,则该矩形面积的最大值为 C ) A.8 B.15 C.16 D.64 MB 第5题图 第6题图 2. 如图,点C是线段AB上的一点,AB-1,分别以 6. 如图,一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方 高度为1.6米,支架部分的形状为开口向下的抛物 形的面积之和,下列判断正确的是 ( ) 线,其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米,距地 A.当C是AB的中点时,S最小 面的高度为2.4米,灯罩顶端D距灯柱AB的水 B.当C是AB的中点时,S最大 平距离为1.4米,则灯罩顶端D距地面的高度为 C.当C是AB的三等分点时,S最小 米. D.当C是AB的三等分点时,S最大 D易错点 求实际问题二次函数的最值,忽略考虑自 变量的取值范围而导致出错 7.(教材P47习题T2变式)有一个矩形苗园,其中 一边靠墙,另外三边用长为20m的篱声围成,已知 墙长为15m,若平行于墙的一边长不小于8m,则这 第2题图 第4题图 个苗圃园面积的最大值和最小值分别为 ) 3. 用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长 A.48m,37.5m{ # x(m)与面积y(m②})满足函数关系y--(x-12)} B. 50m,32m{} 苗园 +144(0之x<24),则该矩形面积的最大值为 C.50m2,37.5m{ m{ D. 48 m2,32m{} 39 探究在线 九年级数学(下)·BS 能力在线 拓展在线 方法规律综合练 。 培优拨尖提升练 8. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD-7,点E,F 11. 如图所示,一场篮球赛中,队员甲跳起投篮,已知球 分别是AB,BC上的点,且满足AE=CF(AE AD). 出手时离地面20米.与篮圈中心的水平距离为 分别以AE,CF为边向矩形内部构造正方形AEMH 7米.当球出手的水平距离4米时到达最大高度 和正方形CFNG,记阴影部分的面积为S,则S的最 4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3来 小值为 ( ) (1)请根据图中所给的平面直角坐标系,求出篮 C.12 D.15 A.9 B. 10.5 球运行轨迹的抛物线解析式; A.--H (2)问此篮球能否投中? ### (3)此时,若对方队员乙上前盖帽,已知乙最大摸 高为3.19米,他如何做才有可能获得成功? (说明:在球出手后,未达到最高点时,被防守 ...--C 队员拦截下来,称为盖帽,当球到达最高点 第8题图 第9题图 后,处于下落过程时,防守队员再出手拦截, 9. 超市有一种“喜之郎”果冻礼盒,内装两个上下倒置 属于犯规,判进攻方得2分) 的果冻.果冻高为4cm,底面是一个直径为6cm的 圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线,为了节省成 本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD(不计 B 重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( _ A.(6+3/2)cm B.(6+2/3)cm C.(6+2/5)cm D.(6+3/5)cm 10. 如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB边 上,BE一1,F为BC的中点.将正方形截去一个 角后得到一个五边形AEFCD,点P在线段EF上 运动(点P可与点E,点F重合),作矩形PMDN. 其中M,N两点分别在CD,AD边上.设CM-x. 矩形PMDN的面积为S (1)DM- (用含x的式子表示),x的取 值范围是 (2)求S与x的函数关系式 (3)要使矩形PMDN的面积最大,点P应在何处? 并求最大面积 第二章 二次函数 [40 第2课时 利用二次函数解决营销利润问题 化,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了语 新知在线 。 新课知识提前练 查.调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与 销售月份x(月)满足关系式y--- 1. 求解最大利润问题的一般步骤 3x+36,而其 (1)引入自变量; 每千克成本y(元)与销售月份x(月)满足的函数 (2)用含有 的代数式分别表示销售单 关系如图所示,则 月份出售这种水产品,每 价或销售量及销售收入; (3)用函数表示利润,根据总利润一总收入一总成 千克的利润最大 y远 本或总利润一单件利润× ,列出 ybx 二次函数关系式; (4)利用二次函数关系式求出最值及取得最值时 自变量的值 o 1234567891011280月) 2. 利用二次函数求最大利润时,如果列出的二次函 数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围 6. 某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元) 内,则二次函数的最 值就是所求的最大利 之间满足关系y-mr②}十20x十n,其图象如图所示. 润;当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限 (1)n- 定的自变量的范围内,我们先要搞清自变量的取 (2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利 值是在对称轴左侧还是右侧,然后结合二次函数 润最大?最大利润为多少元? #. 的增减性求出最大利润 基础在线 。 知识要点分类练 知识点 页 求销售问题中的最大利润 1. 某童装专卖店销售一批某品牌童装.已知销售这 种童装每天获得的利润y(元)与童装的售价 x(元/件)之间的函数解析式为y三一十160x- 4800.若想每天获得的利润最大,则售价应定为 ( ) 7. 某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产 A.110元/件 B.100元/件 D.80元/件 品的销售价x(元)与产品的日销售量y(台)之间 C.90元/件 的关系如下表: 2. 某商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利 x(元) 130 150 165 润y(元)与每件售价x(元)之间的关系满足y 50 y(台) 70 一2(x-20)*十1558,由于某种原因,价格x需满足 35 15 x19,那么一周可获得的最大利润是 ) f 若日销售量y是关于销售价x的一次函数,求; A.1554元 B.1556元 (1)v与z之间的函数关系式 C. 1558元 D.1560元 (2)每件销售价为多少元时,利润最大?最大利润 3. 出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出 是多少元? (8一x)个,则当x=元时,一天出售该种手 工艺品的总利润最大 4.(教材P49“议一议”变式)某果园有100棵橘子树, 平均每一棵树结600个橘子,根据经验估计,每多 种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子,设果园 增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则y与 x的关系式为 ,化为 一般式是 ,当果园里增 种 棵橘子树时,橘子总个数最多 5.(教材P62复习题T24变式)云蒙湖被临沂市人民 政府定为“饮用水水源地”,为净化水源,某水产养 殖企业在净化水源的同时,为谋求养殖利润最大 探究在线 九年级数学(下)·BS (2)陆臻如何分配解题和回顾反思的时间才能使 能力在线 方法规律综合练 。: 这30分钟的学习收益总量最大?(学习收益 8. 某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件 总量一解题的学习收益量十回顾反思的学习 收益量) 盈利40元,经过调查发现,销售单价每降低5元,每 天可多售出10件,下列说法错误的是 ,、 A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大 B.每天的最大利润为1250元 C.若销售单价降低10元,每天的利润为1200元 D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低 了5元 9. 某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产 品,每件获得利润8元,每提高一个档次,每件产品 的利润增加2元,用同样工时,最低档次产品每天可 生产60件,每提高一个档次,产量将减少3件,如果 获得利润最大的产品是第^档次(最低档次为第一 档次,档次随质量依次增加),那么一 10.(中考·广东)端午节是我国人选世界非物质文 化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的 传统习俗,市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价 每盒便宜10元,某商家用8000元购进的猪肉粽 和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中 该商家发现猪肉粽每盒售价50元时,每天可售出 100盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒 (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价; (2)设猪肉粽每盒售价x元(50 x<65),y表示 该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求 y关于x的函数解析式并求最大利润 拓展在线 。 培优拨尖提升练 12. 某公司计划安排25人生产甲、乙两种产品,已知每 人每天生产25件甲产品或15件乙产品,甲产品每 件利润18元,当参与生产乙产品的工人少于10人 时,乙产品每件利润为40元,在4人的基础上每增 加1人,每件乙产品的利润下降1元,设每天安排 x人生产甲产品,且不少于4人生产乙产品 (1)请根据以上信息完善下表: 工人数 每天产量 每件利润 产品 (人) (件) (元) 8 2 (2)请求出销售甲、乙两种产品每天的总利润y 关于x的表达式; (③)请你设计合理的工人分配方案,使得每天的 11. 陆臻同学善于总结改进学习方法,他发现每解题 利润最大化,并求出这个最大利润. 1分钟学习收益量为2,对解题过程进行回顾反 思效果会更好,用于回顾反思的时间x(单位:分 钟)与学习收益量y的关系如图所示(其中Q 是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点).某一天 他共有30分钟进行学习,且用于回顾反思的时 间不能超过用于解题的时间 (1)求陆臻回顾反思的学习收益量y与用于回顾 反思的时间:之间的函数关系式; 第二章 二次函数