2.3 确定二次函数的表达式-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

2.3 确定二次函数的表达式 第1课时 已知两点确定二次函数的表达式 5.已知二次函数y=x2十bx十c的最小值是一6，它 新知在线· 新课知识提前练 的图象经过点(4，c),则c的值是 () L.顶点式函数y=a(x一h)2十k知道顶点坐标 A.-4B.-2C.2 D.6 再加上一个普通点坐标，就可以确定这个二次函数表 6.已知二次函数图象的顶点坐标为(1，一1)，且经过 达式 点(3,7)，求该函数的解析式 2.一般式函数y=a.x2十bx十c中，若只未知两个待 定字母，那就需要个普通点坐标就可确定 这个二次函数表达式：若只未知一个待定字母，那 就需要个普通点坐标就可确定这个二次函 数表达式 3.若已知二次函数图象与x轴交点的两个横坐标 x1,x2,可设二次函数的表达式为y=a(x一x1)(z 一x2),再需要 个普通点坐标就可以确定二 次函数表达式， 知识点③利用“交点式"求二次函数表达式 7.(教材P43习题T2变式)抛物线与x轴交点的横 基础在线 知识要点分类练 坐标为一2和1，且经过点(2,8)，则抛物线的解析 知识点①由任意两点求二次函数表达式 式为 () 1.二次函数y=ax2十k的图象经过点(1，一6)和(2， A.y=2x2-2.x-4 B.y=-2x2+2x-4 3),则对应的抛物线的表达式为 C.y=x2+x-2 D.y=2x2+2x-4 A.y=3x2-9 B.y=3x2+9 8.如图所示，抛物线y=x2十ba十c C.y=-3.x2-9 D.y=-3x2+9 的解析式为 ,对 2.(教材P43“随堂练习”T2变式)已知二次函数y= 称轴为直线 ,顶点坐标为 x2+bx+c经过点P(2,9),与y轴交于点M(0, 3),则b=c= 9.抛物线y=ax2十bz十c与x轴两个交点为（一1,0）， 3.已知抛物线y=ax2+bx十3经过点（一3,0），(2， (3,0),其形状与抛物线y=2x2相同，则抛物线的 一5).求此抛物线的解析式. 解析式为 能力在线 8 方法规律综合练 10.已知二次函数y=ax2十4x十c,当x等于-2时， 函数值是一1：当x=1时，函数值是5.则此二次 函数的表达式为 ( Ay=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2 知识点2利用“顶点式”求二次函数表达式 C.y=-2x2+4x+1D.y=2x2+4x+1 4.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表 11.二次函数y=ax2十bx十c的图象的顶点坐标是 达式为 ( (2,1),且图象与y轴交于点(0,9).将二次函数 Ay=x2+2.x-3 y=ax2十bx十c的图象以原点为旋转中心顺时针 B.y=x2-2x-3 旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为() C.y=-x2+2x-3 A.y=2(x-2)2+1B.y=-2(x-2)2-1 D.y=-x2-2x+3 C.y=-2(x+2)2-1D.y=-2(x+2)2+1 33 探究在线九年级数学（下）·BS 12.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0，a、b、c是常数) 中，自变量x与函数y的对应值如下表： 拓展在线 培优拔尖提升练 -1 0 3 1 2 2 1+√2 16.如图，直线y=一2x+2交y轴于点A,交x轴 y -2 2 4 0 于点C,抛物线y=一女+b征十c经过点A与 根据上表可知，该二次函数图象的对称轴是 点C,且交x轴于另一点B. ,顶点坐标为 ,与y轴的交点 (1)求此抛物线的解析式及点B的坐标； 坐标为 ,与x轴的交点坐标为 (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求 △ACM面积的最大值及此时点M的坐标： ,该二次函数的表达式为 (3)将线段OA绕x轴上的动点P(m,0)顺时针 旋转90得到线段OA',若线段OA'与抛物 13.如图，已知△OBC是等腰 线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写 直角三角形，∠OCB=90°， 出m的取值范围。 若点B的坐标为(4,0)，点C 在第一象限，则经过O,B,C 三点的抛物线的解析式是 0 14.已知抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于不同的两 备用图 点A(,0)和B(x2,0),与y轴的正半轴交于 点C.如果x1,x2是方程x2一x一6=0的两个根 (<),且△ABC的面积为，则此抛物线解 析式为 15.(中考·盐城)已知抛物线y=a(x一1)2+h经过 点(0，-3)和(3,0). (1)求a,h的值： (2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右 平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写 出新的抛物线相应的函数表达式， 第二章二次函数 34 第2课时 已知三点确定二次函数的表达式 6.如图，二次函数y=ax2+ 新知在线 新课知识提前练 bx十c的图象经过点(-l, 求二次函数y=a.x2+bx十c的解析式，由于解析 0),(3,0)和(0,2)，当x=2 1012 式中含有个待定系数，它们分别是 时，y的值为 所以一般需要 个点的坐标，列出一个 元 7.已知二次函数y=a.x2十bx十c的图象经过A(一1， 次方程组，并求出 的值，就可以写出 0),B(3,0),C(4,5)三点. 二次函数的表达式.这种确定二次函数表达式的方法 (1)求抛物线的解析式： 叫 (2)当一2<x<2时，求函数值y的范围. 基础在线 知识要点分类练 知识点由三点确定二次函数表达式 1.已知抛物线y=ax2十bx十c过(1，-1)，(2，一4) 和(0,4)三点，那么a,b,c的值分别是 () Aa=-1,b=-6,c=4 B.a=1,b=-6,c=-4 C.a=-1,b=-6,c=-4 D.a=1,b=-6,c=4 2.如果A(一2，n),B(2,n),C(4,n+12)这三个点都 在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式 可能是 () A.y=2x By=-2 C.y=-x2 D.y=z2 3.已知二次函数的图象经过点(-1，-5)，(0，一4) 和(1,1)，则这个二次函数的表达式为 () A.y=-6x2+3x十4B.y=-2x2+3x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3x-4 4.小宇在利用描点法画二次函数y=ax2十bx+c (a≠0)的图象时，先取自变量x的一些值，计算出 3 能力在线 方法规律综合练 相应的函数值y,如下表所示： 8.二次函数y=ax2十bx十c的图象经过(0,0)， x …0 1 2 34… (-1,一1)，(1,9)三点，下列性质错误的是() y *40 -103… A.开口向上 接着，他在描点时发现，表格中只有一组数据计算 B.对称轴在y轴左侧 错误，他计算错误的一组数据是 C,经过第四象限 A. B./2=3 D.当x>0,y随x的增大而增大 y=3 y=0 9.已知抛物线过点A(2,0),B(一1,0)，与y轴交于 C/2 x=0 D. 点C,且OC=2,则这条抛物线的表达式为() (y=-1 y=4 A.y=x2-x-2 5.一个二次函数，当自变量x=一1时，函数值y=2: B.y=-x2+x+2 当x=0时，y=一1；当x=1时，y=一2.那么这个 C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 二次函数的表达式为 D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2 35 探究在线九年级数学（下）·BS 10.如图，在平面直角坐标系中，点A(一4,0)，点 B(0,一5)，点C(m,0)(m>0),过点A作直线BC 拓展在线 3 培优拔尖提升练 的垂线交y轴于点D,则随着m值的增大，经过 14.如图所示，抛物线y=ax2十x十c经过A(-2,0), A,D,C三点的抛物线的开口大小的变化情况是 B(4,0),C(0,4)三点，抛物线对称轴与x轴交于点D ( (1)求该抛物线的解析式： A.保持不变 B.逐渐变大 (2)若点E为对称轴上一点，将线段ED绕点E C.逐渐变小 D.时大时小 顺时针方向旋转90°得到线段EF,若点F恰 y 好在该抛物线上，求线段DE的长 第10题图 第12题图 11.抛物线y=a.x2+bx十c经过A(一2,4)，B(6,4) 两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为 12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O 落在坐标原点，点A,C分别位于x轴，y轴的正半 轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折， O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函 数y=1经过点B.二次函数y=ar+ba十c(a≠ 0)的图象经过C(0,3),G,A三点，则该二次函数的 解析式为 .(填一般式) 13.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA,且OB= 2OA,点A的坐标是（一1,2）. (1)求点B的坐标： (2)求过点A,O,B的抛物线的表达式； (3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P(异于 点O),使得S△AP=S△Ao: 第二章二次函数 36 微专题4求二次函数表达式的七种方法 ■专题解读 方法2利用顶点式y=a(x一h)十k求二次函数表达式 求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重 2.如图，抛物线的顶点坐标为A(2,一1)，且过点B(0,3). 要保证，在求二次函数的表达式时，一般选用待定系 (1)求抛物线的解析式； 数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的 (2)当1<x<4时，求y的取值范围. y 表达式，往往可以给解题过程带来方便， ■专题训练 方法1利用般式y=ax2十br十c求二次函数表达式 L.(成都市高新区二模)如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交于点A, B,与y轴交于点C,且OC=2OB=6OA=6,点P 是第一象限内抛物线上的动点。 (1)求抛物线的解析式： (2)连接BC与OP,交于点D,当S△m·S△ac的 值最大时，求点P的坐标 方法3利用交点式y=a(x一：)(x一)求二次函数 表达式(，2为二次函数图象与x轴交点的横坐标) 3.如图，已知二次函数图象与x轴交于点A(一3m, 0),B(1,0),交y轴于点C(0,2m)(m>0). (1)当m=1时，求抛物线的表达式及对称轴： (2)P为抛物线在第二象限上的一点，BP交抛物 线对称轴于点D.若an∠PBA=号，PD DB,求m的值 37 探究在线九年级数学（下）·BS 方法4利用图象的平移求二次函数表达式 方法5利用对称轴求二次函数表达式 4.如图，点P是直线y=x位于第一象限上的一个动 5.如图，抛物线y=ax2+bx一8交y轴于点A,交过 点，以P为顶点的抛物线经过原点，与x轴的另一 点A且平行于x轴的直线于另一点B,交x轴于 个交点为点A,将该抛物线沿射线OP方向平移，使 C,D两点（点C在点D的左边），对称轴为直线 平移后的抛物线恰好过点A新抛物线与x轴的另 x=-5,连接BD,AD,BC,若点A关于直线BD 一个交点为点B,顶点为P,设原抛物线的顶点P 的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的 的横坐标为m.当m=2时，求原抛物线解析式和新 是 () 抛物线解析式 A.B点坐标是(-10，一8) Ba=品 C.D点坐标为(6,0) D6=号 方法6利用图象信息求二次函数表达式 6.如图，抛物线y=一x2十2x十c与x轴正半轴，y轴 正半轴分别交于点A,B且OA=OB,则c的值为 () A.0 B.1 C.2 D.3 第6题图 第7题图 7.如图，二次函数y=一x十m(m>0)的图象经过一个 顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m= 方法7利用表格信息求二次函数表达式 8.(中考·陕西)下表中列出的是一个二次函数的自 变量x与函数y的几组对应值： -2 0 3 44 y 6 -4 -6-4… 下列各选项中，正确的是 A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的图象与x轴无交点 C.这个函数的最小值小于一6 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 第二章二次函数 38礼，(1雨数=化/是关于×的三次涵数 六当为心为<0时的眼指范限是一2 解得=一2w=16食去3，÷w=一21 记触特线语y植向下平移3✉个单位后。 h满是止一十5u8,且一24点 音C.样<一时，明3 喇享移后新箱物仅的圆么出标为(1，一4十1)， ,解得点=1,6一礼 a0连-}-1-0时.制得-士 当=3时，y一 :平移后抢物线的顶点落在精上， (2抛线有最离幽 .A-1-02-0=X .6=9+6+2af一w, w+33■L ,同象并口向下，事一<点塔介1所得，，表=1 摆平移性质，得A:■， 整现.养2+5+3=： 若>：期十8刘-解行4-， …量高点为0,0).9刀时y的z的地大增大 边形AD是B是F形，∠AE-∠DAI=片 (3)?函数有最小值.图象开口月上.甲一> 新得m-一有去m-一是会去 .民边形ADO是矩形Q4:==国 若心0期-+3计3，每样a子 “一，是小黄为0，当0时，y随的州大自减小 拓展在线 0n-L+0L-waw-县 候上所据m一中减w一耳 -子攻4一 1当-8时y一号×学+1-8.“点A2, 氯4翼时二欢函数y=山r十十u40]的图豫与性质 徽专题8二次面数的图象，性质与系数的关系 (3若a它0，州象抛物浅弄口月上。 餐姓在线 专理面博 “这个二欢属数的用象关于y轴对除，，点压一9，) 要传得为方，渊应佳用点”具对称的的离大于点Q LD23DLD5B元U节.三&>，0 作△州中.A=2一4一9=4,4毒上的角是3 0制序物的离 生日aBa 挥a-1-日-且，甲14-21， 5宁×4×3-6 三1地物2上域小增大水出二 4 1几，：能能线的开口向下。，<鸟 4一11爱年一1一1，解释a2观4CD, (点护存在理曲如下，2点P(+1),则在 下带大成小大一 了会>，-6 7a0.a2 边若<0，期学抛物线弄口月下， △Um中，8边士腐为宁+1一-吉- 品比在线 受枝荐为之为，周成使得减P词对称物的离小于点Q 1.D名 河时释粉的师离， “5n-号5心片2-2-号×家 A(1》师日岗下，对移输为直线=，顶点第标为(1，一1， 当=-1时y=4-6卡<0- wa-1日-i,p1a-1<1,-1之-11， 解得上-1，为=一1一行，出=一7， 当心1时，y图：的州大园减小 -★-叶rn路-> 解得04二，与D子情，数不成立 当=1增子×+1- 开口向上.对形轴为直线-a,骤点坐标为3,31,9 “能物线与y的的正个编用交.∴2儿 4的取值范明为42 时，y随：的州大而减小 十LP-:十十含-一-a 2.3确定二次雨数的表达式 当一1时y=×-1P+1= A日，A Q2-6-8备+a☆-一(+81=一路-3：-4. 氧1溪时已如两南确定二水函效的素达式 1山一一0风0m+净30，得 Q=h-2--1wt2=-￥-h-=46 蕃划在线 当，7时宁×+1-： =0时.销售到润量大，最大利挥是和国无记 PQ 1.,31有一1一 店x一时号×7+1- 管力在线 日.1当-14-+2+6， 都键在性 K4群1以11e2程信① 1.Ag13 品荐合备作的点P有四个，分别是严(，号)成 一1，图象并D向上， 3把一3，，（含，一）代人粒物线y=4十十3，得 1性丝A是地物汽y-广一红+的顶点 品对际体瓷 叫-.号)er(,号)成(-7是》 当<一雪时，头随x的道大向藏小：雪一时 子--×-2×4小一 ”随：的神大自烟大 州抛转找的解所式为y一一一2：+ 第3源时二次品整y(一十州w0川的图象与性展 四由圈意：再h为目a可+小十6-+之/底+ 1.B&B元-2r1=1. 新加在线 点A的标为4：22 品(ar+6n-0,1(a-r-1)-8 元1D L路二右左上下 (2山平行于轴.2 (a-r-1方+1》=线 ky=了P-2一8=11，-4) 基础在线 又：点B在箱物线￥■十1上且在第一象限， ￥h,且与为有2个交点.=1线=1 盒y=线十1L一11减y=-其r十11一-3) LI 2.A 1B .D >0 62 7.D ,a=21=1 两个交点的横生标分别为1，一： 能力在线 %左8上4上4右5从一2.初 10A B.C 能力在线 ÷△4的联-a,商加为25一空×3×2-司 粉：当= 盟一任时有经水面国 拓保在线 1g直线=11,0,1》(1-2，o)和1十，2，o 5(1》保圈立将现情线y一了平除后为抛物线y一一4， 1L1》y=十2w十2w-m=r十my一1w+A-解 即yr-十r,足M=B,点A岭生都为.0) 十n十解一m,∴顶点A(一，一e1 Yw0 db3 1Ry-+21-2+5+ 点非的坐标大修)，2一：w0.-1 (2wC-11 (2)存在C直的坐标为(2.1)，武时AB=MC,∠BAC 民(1将(0，一)和3,0)代入轴物线-（一1P+A, ()分三种情促论： 易知A=1-豆， ①4一1，目4一1以.如， 此时然一“合一 得0二1解指 1w1-12十0=0 A一写 su-A-A-号x5x反-L 91月，3y=6. ∴.4=1十2w十2一利 桶展直镜 ”m-6,(0(e-4, a=1.6=-4, (27原函数的表达式为￥m(一1一4， 梦理，得2十n一5=0 6片-1- 销其向上平移1个单的长度，再向有半移1个单位长度： 解得w-年已m-二可省大 得平移行的断函数表达式为y=一1一1)一+2 12白当-吉一1-名-0时，解得n-一n- (4)'+-1hm0六a6-14ab-9)= 4+2 =认 ,新抛物议表达式为y一一十2 由图象可泡，当一<时，*<风 超展在线 当-当时宁-3=号任一y-3,解得 边当1<-13 p一G<一-1时，幻悟2 鞋物望的对轴为有线一1 1版h产-三+2.易得A0,2.C4 由图象可知，消<宁时期<为 打将1一1代人粗物桃解析式.得？一一4十 整理，得w一前一6 抛物线的视州坐帮为州1，一十8》 把A,C周点代人一子+虹十e程 16 一家究在我·九年双数学（下）·S一 原能情线件右解向上客为的单位长值相同， 设醇脂物线向右向将上各除通了A0个单位长度.侧 由1+46+2，解 FP(2十+1， ,=0. 当广喜时号的值有最大n 经钢的情战的解前式为一士一日-42+ 二游物线的对有错为有线了一一会一1 y--号 此时-g+4p+-一2×（号）'+×+4-号 将点4.0代人，得-安4-2-初+2+-0 C4,0),-2.02 3由y0韩y4得符合条件的点尸0： 2- 解料一6或一何金去)， 过M点作N⊥：轴，突于点N, 2a-e++)期N(a,-+ n(.)n() 6直叫号，) 周药港物00南所式为一一飞-矿+24口 环展在候 2(13累抛物线的顶点电标为A2。一11， y4-+4-2u 5w吉Mw0x(-+×t 1L.I)起A一26,4.0m16,4f代A y=r+hc+m,得 设该抛物线的都新式为y一一2一， 1.D元.D7.2限C -+w-wr+. 谈抛物视试点窝0，- 二4二次函数的应用 40-3+=0, a0一2力一1=8.解周=1. 当a2时，△AC图积最太.其最大算为2 1十6+.丽得。一1， 物浅的呢析式为一x一2)一1 第1课削利用二次函数求几相量值同量 新知在就 此吨点M物坐标为2,2. (2051时：y=1-2)一19： L.自变量(3)函数y41自麦量 3将线21绕上自上的诗点P(,0)顺时针能转时 商x4时4-)Y-1=3, 用线段了A, 品岗地物线的解析式为一寸广+十 ”a=3,常物线开口月上，函数闻小销为一1 五一会“会大如 .P7-w.A-=2 3会-h.1 ,有1<上<4时，y的取物意用量一C<议 基硅在就 7(w,n3,An十2，w, L(1)当m=1时- 1.C已A314 当An+2w在影称收上H.有一(+2y+号 点E为时行物上一点，使31n,则DE, 点AK-3.1,40-2 ,有线程D绕点E顾什方向曲转自州线段E, 设物线的函数表达式为 0-寻 23+1-州，解得w一3上，17： ①当点6在x轴的上直时.月1一w.》 2y-40-1-u-30+m80m 把直，2)代人： :点F恰好在该抛物线上， 5CL1,5, ÷时-一子行+》十颜用m-一1中/10， 能力在城 1当一3一/7一1友一1+7w时.我假 箱物徒的表达式为一 SA RA (了A'与装物线具有一个公北点. 种=一1一10（不合题意，含去， (IH-r 05rI 就时乐，而一1， 其对存轴为直线x一一1. (年图，延长P交AU于点 巴当点E雀x轴的下有时，F门一w (2位m物线的表达式Ny一+3wa一1》 ?正方用A度D的边长为， ":点F恰好在该地物线上： 无0o,代人得-2据特。者 下为的中点，国边形PDN为其 B,4M-,E=1 色1a制 m,作FE1上轴干点E深上于点 第课已三点确二次数的表达式 4PW度，F-F-a-a.黑 斯如在缓 解得=一1币《不合题意.余去1，：一一1-而， '=r,=1一，M=议=L 1a,6,1三一4,6，待定系数法 段E=4.F=, △汉代△ 基础在战 线段虑的长为可中1或，而+1. LD2DDy=212 微专题↓零二次函数表达式的七种方法 票0早gm-g-2 7(D二次丽数y=42十十e的图象经过A一t,0) 专题调感 B-冬÷底川1-餐 ,DN=hM=G11-Wi=4-(2-2r)=1r+2 3,01,cX4,51点 1.1=3形度A=6 鹏8=aM:W=(4=)2r42)=一2+6x+,其 ∴g0.0,B3,01,A-1,0 起点P代人程例线的表选式-到 中 将-1,0,3，m,X0代人 a:8-护t+8--一圣)+2， .二浅函数的解新式是y一一2一1 a-r-0 2 又1一解 小- a=一2c0,:此箱指线开口向下 2)端物线的对际精为直线：一高-，且开口月上， 2 六当工时以商：的稀大自烟大 又仁-C,当=1时y联是小值，甲4=一： 一抛物成的解所式为y”一十山十反 对于直线y=当==2时，y=2,再2,2白： :行的眼直直围为长1 雪x一一2时，y取量大值.即一一写 如图，过从P作上轴，交仪于点( 设夏粒物0的解新式为y一一2尸十2 当x1时，矩无N的面积最大 y的范周是一45 ,意X0.,3-00, 算夏点(0,0)代人，得10一2+2■中， U球点P与山B意合，比时最大有为 精力在城 授仪的解听式为x一：.代人的中，周 4c ac ias B.-4-+1 解得。一一立·期p的物线的新新式为 5=一2+6+8=12. 局属在线 1在平面直角第标餐中，球出手点，量商点相时四坐标 y2-↓+a 品直线配的解析式为y=一色+6 分捌为1(-4，一1+智)K0,02.3-1, 名1由相微得州4,2， 段点PN,一2扩十十41，用点G生标为(，一2十6 sy-0时，-学十多- 设浙登解析式为y一a, 授用求的次属数表达 解得r三4成了=0，同M4,, 式为y-a+r+, ”娘抛物此造射线方内平移。 优人A点坐怀：影樱4=博产一甘 一深究在我·九年级拔学（下）·S 17