1.2 30°， 45° ，60°角的三角函数值-【探究在线】2024-2025学年新教材九年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第1课时 正切 知识点② 新知在线 正切与梯子的倾斜度的关系 新课知识提前练 6. 如图所示,一架梯子斜靠在墙 1. 如图,在Rt△ABC中,如果锐角A确 上,若梯子下端到墙的距离 定,那么A的对边与邻边的比也随之 确定,这个比叫做A的 ,记 作tanA,即tanA一 则梯子的长度AB为 A.3米 B.4米 C.5米 D.6米 2. tanA的值越 _,梯子越陆. 7. 以下两组中,梯子AB和EF哪个更陆?你是怎样 3. 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为 判断的? (或坡比),坡面的坡度等于坡角的 ## ## 基础在线 。 知识要点分类练 知识点 正切 ② 1. Rt△ABC中,C=90{},a,b.c分别是 A.B C的对边,下列关系中正确的是 ( ) B tanA- D. tanA- a 2. 在正方形网格中:△ABC如图放置,则tan/CAB 知识点③ 坡度 . ) B D 8. 如图,在Rt△ABC中,C-90{*},AC-3,BC-4 A3 则斜坡AB的坡度为 ### B 9. 我市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图,已 第2题图 第4题图 知扶梯的长/为10米,该自动扶梯到达的高度 3.(铜仁市三模)△ABC中,C-90{,BC=12,AB$ 为6米,求自动扶梯的水平宽度AC与斜面AB的 -13,那么tanA的值等于 ( ) 坡度. A.5 过 B.11 }C D.10} 4. 如图,在Rt△ABC中, A-90{$AB-AC,BD是 AC边上的中线,则tan ADB=_. 5. 在Rt△ABC中,C=9o*,tanB- AC- ,△ABC的面积为 探究在线 九年级数学(下)·BS D易错点 对正切的概念理解不清 10. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐 ( 角A的正切函数值 ) A.不变 B.缩小为原来的3 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 能力在线 。 方法规律综合练 11. 一架5m长的梯子AB斜靠在墙上,梯子倾斜角 a的正切值为3,考虑到安全因素,现要求将梯子 的倾斜角改为30{},则梯子下滑的距离AA的长 度是 ##1 ) D.1 B.m C.2m ## 拓展在线 。 培优拔尖几练 16. 矩形ABCD中,AB-2AD,E为AD的中点,EF 第12题图 第11题图 1EC交AB于点F,连接FC 12. 如图,在Rt△ABC中,C=90{,AC=6,BC=8 (1)求tan DCE的值; ( (2)求证:△AEFoDCE AD平分/BAC,则tan/CAD的值是 D.} C2 A.1 B. (3)求△AEF与△DCE的相似比; (4)求tan ECF的值. 13. 已知正方形ABCD的边长为2,点P是直线CD 上一点,若DP=1,则tan PBC的值是 14. 如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高 为18cm,宽为30cm.为方便残疾人士,拟将台 阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点头 C.现设计斜坡BC的坡度为1:5,则AC的长度 是 cm. 15. 美丽的赤城湖水库是蓬溪县“天蓝水绿山青”的 真实写照,如图,赤城湖水库的大坝横截面是一 个梯形,项顶宽CD-4m,坝高3m,斜坡AD的 坡度为1:2.5,斜坡BC的坡度为1:1.5.若大项 长200m,求大坝所用的土方是多少 第一章 直角三角形的边角关系 第2课时 正弦和余弦 5.(深圳市光明区期末)在Rt△ABC中,若C一 新知在线 。 新课知识提前练 90{*.AC-2.AB-3,则cosB的值为 1. 如图,在RtABC中,如果锐角A确 A. B{ }C 3} 定,那么A的对边与斜边的比、邻边 与斜边的比也随之确定.A的 dC 与 的比叫做A的正 AC-.BC- 与 弦,记作 ,乙A的 进红 比叫做A的余弦:记作 .即sinA- .cosA= 2. 锐角A的 和 都是 dC 第6题图 A的三角函数 第7题图 知识点 3. 对于梯子与地面的夹角(锐角)A,sinA的值越 锐角三角函数及其应用 ,梯子越陆;cosA的值越 ,梯子越陆. 7.(保定市曲阳县期末)如图,梯子(长度不变)跟地面 所成的锐角为 A,关于A的三角函数值与梯子 基础在线 。 的倾斜程度之间,叙述正确的是 知识要点分类练 ) A. sinA的值越大,梯子越陆 知识点 正弦 B.cosA的值越大,梯子越陆 1. 如图,在Rt△ABC中.ACB=90{},AB=5,BC=4. C. tanA的值越小,梯子越陆 ( 则sinA的值是 ) D.陆缓程度与/A的三角函数值无关 A B3 C. D3} 8.(教材P6“随堂练习”T1变式)如图,在Rt△ABC 中,C=90{,D为AC边上的一点,CD=3,AD BD一5.求A的三个三角函数值. .C 第1题图 第2题图 2.(教材P5例2变式)如图,在Rt△ABC中,/C一 90{,sinB-0.5.若AC-6,则AB的长为 ( ) C.6③ A.8 B.12 D.12/3 3.(广东省华师附中模拟)如图,△ABC中,B= ( 90*.BC-2AB,则sinC ) B C.25 5 D易错点 当直角顶点不确定时,忽略分类讨论而导 致出错 第3题图 第4题图 9. 在Rt△ABC中,AC-8,BC-6.则cosA的值等于 知识点② 余弦 ) 4. 如图,在Rt△ABC中,C=90{},如果AC-5,AB A. 17# -13,那么cosA的值为 C.12 D #C## A3 B12 ### 探究在线 九年级数学(下)·BS 能力在线 。 拓展在线 方法规律综合练 培优拨尖是升练 10.(中考·云南)在△ABC中,ABC-90*,若AC 15. 如图,根据提供的数据回答下列问题: (1)在图①中,sinA=__,cosA= ( __ sinA+cos{A-_: B.503 在图②中,sinA三 A.500 C.60 D.80 ,cosA= 3 sinA十cosA= 11.(张家口市一模)如图,在Rt△ABC中,C 通过以上两个特殊的例子,你发现了什么规 90”,tanB-tana= 律?用一个一般的式子把你发现的规律表示 一些作图,根据作图痕迹,可以得到cos2 出来,并加以证明: ( ) [sinA表示(sinA)?,cos{A表示(cosA)] C} A. 7 2} ## 图 图② (2)在图①中,tanA一 sinA __'cosA 第11题图 第12题图 在图②中,tanA-___'cosA sinA: 12.(中考·常州)如图,在△ABC中,AC=3,BC 4.点D,E分别在CA,CB上,点F在△ABC内. 通过以上两个特殊的例子,你发现了什么规 若四边形CDFE是边长为1的正方形,则 律?用一个一般的式子把你发现的规律表示 sin/FBA- 出来,并加以证明 13. 如图,已知sino-3. OA-6.点P是射线ON 上一动点,当△AOP为直角三角形时,则AP 14. 如图,在Rt△ABC中,C-90{},D是BC边上一 点,AC-2.CD-1,设 CAD-a. (1)求sina,coso,tano的值; (2)若/B=/CAD,求BD的长 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30{*},45^{*},60^{}角的三角函数值 知识点② ": 新知在线 已知特殊角的三角函数值求角 新课知识提前练 利用如图所示的一副三角板的数据,求出30^{①}。 45^{*}、60{}角的三角函数值并填写在下表中. _ B.45* A.30* C.50{ D. 60* 6. 在△ABC中.乙A.乙B都是锐角,且 sinA-, ,则△ABC的形状是 2 ) A.直角三角形 三角函数 B.钝角三角形 sing cos tarr C.锐角三角形 角度 D.不能确定 300 7. 如图,在Rt△ABC中, ABC=90*},AB-23. AC-4,则cos BAC= ,BAC一 45。 600 基础在线 。 知识要点分类练 第7题图 第8题图 知识点 30{,45^{},60{①}角的三角函数值 知识点 特殊三角函数值的简单应用 1.(中考·天津)tan30的值等于 1 8. 如图,某商场大厅自动扶梯AB的长为12m,它与 C.1 D.2 水平面AC的夹角 BAC=30{*,则大厅两层之间 的高度BC为m. 2. 下面结论中正确的是 9. 如图是赢立在公路边水平地面上的交通警示牌, B. tan60*-、3 经测量得到如下数据:AM-4m,AB-8m. D. cos30- MBC-30{。 MAD-45*,则警示牌的高CD为 3. 如图,△ABC中,AB-BC=AC,则cosA的值为 多少米?(结果精确到1m,参考数据.2~1.41 ③~1.73) ) A ### 多雾 D.③ 4. 计算: (1)6tan45*-2cos60{ (2)sin60.tan3o. (③)tan45*+/2cos45” 探究在线 九年级数学(下)·BS 16. 2021年4月29日,在我国海南文昌航天发射场. 能力在线 。 方法规律综合练 长征五号B遥二运载火箭搭载“天和”核心舱发 10. 若一个三角形三个内角度数的比为1:2;3,则这 射升空,开启了星辰大海的全新征程,火箭在上 - 个三角形的最小角的余弦值为 升阶段需要地面雷达观测站的实时观测,如图 #A.1 火箭从地面A处发射,当火箭到达B点时,从地面 D处的雷达站测得BD的距离是4km,/ADB 11. 如图,在菱形ABCD中,AB-8,BAD=120* 30{}当火箭到达C点时,测得 ADC-45{}求火箭 点O是对角线BD的中点,OE1CD于点E,则 从B点上升到C点的高度BC.(结果保留根号) OE的长为 C - A.2③ B.③ C.4 D.2 ##### _ 第11题图 第14题图 12. 身高相同的甲、乙、丙三人放风筝,每人放风筝的 线长分别为30m,25m和20m,线与地面所成 的角度分别为30{},45^{和60{},假设放飞线是拉直 的,在三人所放风筝中 ) A.甲的最高 B.乙的最高 C.丙的最高 D.丙的最低 13. 在Rt△ABC中,C=90{},CD是AB边上的高, 拓展在线 .: 培优拨父是升练 若CA-10,AD-5,则B-. $7. 如图,在△ABC中,BAC-90{*},AB=AC-2 14. 如图,正方形OBCD的边长为2,点B在y轴的 正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形 OBCD绕点O逆时针旋转30*至正方形OBC'D 的位置,BC'与CD相交于点M,则点M的坐标 , 15.计算: (1)cos60{-3tan30*+tan60”+2sin?45*; 2tan60+2sin60°: _ 第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的计算 知识点② 根据三角函数值用计算器求角度 新知在线 新课知识提前练 5. 已知sinA-0.1736,则锐角A的度数大约为 1. 用科学计算器求三角函数值,要用到 A.8{ B.9{ C.10{ 和___键. D.11{* 2. 已知三角函数值求角度,用计算器要用到 6. 在△ABC中,C=90{},BC=5,AB=13,用科学 计算器求A约等于 和 键. ) C.67*23' A. 24'38' B.65^22 3. 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成 D. 22*37' 的锐角称为 _;当从高处观测低处的目标 7. 利用计算器求下列各式的锐角:(精确到度) (1)sin=0.6841.a~ 时,视线与水平线所成的锐角称为 (2)tan-0.7817,~ 基础在线 。 (3)cos③-0.283.~ 知识要点分类练 8. 等腰三角形ABC中,AB-AC,若AB-3,BC-4 知识点 用计算器求锐角的三角函数值 则A的度数约为 .(用科学计算器计 1. 用计算器求sin50的值,按键顺序正确的是 算,结果精确到0.1) A.osin= 9. 如图,菱形ABCD的一条对角线AC-8m.tan BAO B.sin回E C. SHIFTsin5回= (角度精确到1^{},长度精确到0.1m). D. sin回SHIFT 2.(中考·东营)如图,在△ABC中,C一90}.B -42{*,BC一8,若用科学计算器求AC的长,则下 ( 列按键顺序正确的是 ) A.⑧sin④②曰 B.8cos④②= C.8图tan④②曰 D.⑧区tan④②E 第2题图 第4题图 3. 用计算器求锐角三角函数值(精确到0.001); (1)tan55*~ (2)cos35*~ (3)sin50{26'18”~ (4)tan15*15'~ 能力在线 。 4. 如图,为绿化环境,在山坡上植树,根据要求,株距 方法规律综合练 10. 下面四个数中,最大的是 C (相邻两树间的水平距离)应为5米,测得斜坡的坡 ) A.5一③ 角为21{},则相邻两树间坡面距离约为 B. sin88* (精确到0.1来) C. tan46{ D1 2 探究在线 九年级数学(下)·BS -, 11. 用计算器验证,下列等式正确的是 ) A.E.B.C在同一平面内) A. sin18*24'+sin35*36'-sin54 (1)求仰角a的大小(精确到1); B. sin65'54'-sin35'54'-sin30" (2)求B.C两点之间的距离(结果精确到1m). C. 2sinl5*30'-sin31 D. sin72*18'-sin12*18'-sin47*42' 12. 用计算器求sinl5{},sin25{}、sin35{*、sin45*}sin55{ sin65*,sin75*、sin85{的值,研究sin的值随锐角 a变化的规律,根据这个规律判断,若<sina< ### A.30{ 。-60” B.30{90* C.0*乙<60 D.60{<a<90{ 13.(教材P15习题T4变式)如图,无人机于空中A 处测得某建筑顶部B处的仰角为45^{*},测得该建筑 底部C处的俯角为17*,若无人机的飞行高度AD 为62m,则该建筑的高度BC约为_m.(结 果保留整数 ## 第13题图 第14题图 14. 要加工形状如图的零件,根据图示尺寸(单位:mm 拓展在线 计算斜角。的度数为 .(精确到1”) 。 培优拨尖是升练 15. 用计算器求下列各式的值 17.(1)用计算器计算并验证sin25{十sin46*与sin71* (1)cos78{33'32"+tan50'36” 之间的大小关系; (2)若g,③.a十8都是锐角,猜想sina十sin?与 sin(a十的大小关系; (3)请借助下面的图形证明上述猜想 (2)sin42*25'+cos74*13'-tan32.7* 16.(中考·贵阳改编)随着科学技术的不断进步,无 人机被广泛应用到实际生活中,小星利用无人机 来测量广场B,C两点之间的距离,如图所示,小 星站在广场的B处遥控无人机,无人机在A处距 离地面的飞行高度是41.6m,此时从无人机测得 广场C处的俯角为63{},他抬头仰视无人机时,仰 角为g,若小星的身高BE-1.6m,EA-50m(点 第一章 直角三角形的边角关系 微专题1 确定三角函数值的方法 专题解读 方法2 特殊角法 锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间 5. 如图,在△ABC中,ACBC.ABC-30{点D是 的关系,对于斜三角形,要把它转化为直角三角形求 CB延长线上的一点,且AB-BD,则tan DAC的 值为 解,在求锐角的三角函数值时,首先要明确是求锐角 ) 的正弦值、余弦值还是正切值,其次要弄清是哪两条 边的比. 专题训练 A.3/3 B.2V3 C.2+③ 方法1定义法 D.2-③ 1. 如图,在△ABC中.A=90{*,若AB=8,AC=6. 6. 阅读下面的材料,再回答问题: 则sinC的值为 C ) 三角函数中常用公式sin(A+B)=sinAcosB+ A. B.}# C3 D cosAsinB,求sin(A+B)的值. 例如:sin75{*-sin(45{}+30})- sin45{cos30*+ cos45sum0一1+-×-+ ##t2 4 第1题图 第2题图 试用公式cos(A+B)=cosAcosB一sinAsinB,求 2. 在菱形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O. cos750的值. AB-4.BD-6.则cos BAC= ) A.3 B.7 C.27 3.(中考·宜宾)如图,在△ABC中,点O是角平分 线AD,BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则 tanOBD的值是 ) # B.2 方法3参数法 7. 如图,在△ABC中,ACB=90{,CD1AB于点D D 若BD:AD-1:4.则tan BCD的值是 ### B 4. 如图,在菱形ABCD中,AE BC,垂足为E,对角 D.2 (1)边AB的长; 8.(中考·广东改编)如图,在Rt△ABC中,A (2)求ABE的正弦值. 90{*},作BC的垂直平分线交AC于点D,若AD 探究在线 九年级数学(下)·BS 9. 已知在△ABC中,A.B,C的对边分别是a, 12..在如图所示的正方形方格纸中,每个小四边形都 b,c,关于x的方程x+2br十a十一0有两个相 是相同的正方形,A.B,C,D都在格点处,AB与 等实根. CD相交于点O,求tanBOD的值 (1)试判断△ABC的形状; (2)若3-a+3c.求cosA 方法4 等角替换法 10. 如图,A,B.C三点在正方形网格线的交点处,若 将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△ACB'. tanB的值为 A B. 方法5 利用同角或互余两角的三角函数关系 C. # 11. 如图所示:在△ABC中,AD是BC上的高,点E 14. 对于同一锐角a有sina十cos^{}a-1,现锐角A满 是AC的中点,BC-14.AD-12,sinB-.求 EDC的三角函数值 (1)sinAcosA的值; (2)sinA-cosA的值 第一章 直角三角形的边角关系 10温整提杀：情做完后再看苦最！ 名正供余磁里过、大个 61年图.过A点作AD上C于点D: 蓝德在选 反A气.n1,号r6 过E点作FAD于意F, 1.A三D1,D4,AB且62T7,A 在△AD中，∠A=45 :∠D-∠F-∠fE=, 参考答案及解析 &在△UC中， Daf-AM=nl“-mh 同边用BDE为更形 ,0-.0-5,=,和0=√可-L 在利△中，∠-，(3=if:n9 ,苏=E=L垂L M=A1+AH=4十81m) ÷AP-Al球=LG-L6=0川m1 第一章直角三角形的边角关系 义k=AD+D=8. 1,1锁角三角函数 六A-,+度-，+可-4 M-2×号4，gm≥ 在△EF中心AF是-号吉 第1表时正切 ,D-M-=纸2-3m. 博m一吉，m一西的 新知在候 答，警示痒的商(1D为1m 上正现 会离器二大人技度无彻值 能力在提 (2在k△F中，管-，m-0(m aDHA已B风可L(-2等万 在R△D中，∠AD=,AD=山.4m: 基础在国 Lu三.1非义04824系C 能力在线 m心铝 7,卧中，，山一=2，.样手A指F一样规 D1LB信僵，5孩 武子2原武-一+子 T=1.6+wmg'21.2(m, .在△AD中，∠t-, '一D+p-+21,以 1L在△A中， -2.-1,∴AD=,A+7-5 AB-是D-是×4-k, 容：B,C有点之具的影肉约为1m 棒千F更限. 树展在联 LA 头利帽句聚定用求得C-8m一CAB-景- a需 .AD-BD-AIF -24(: 1T.tIw2十intin7T ,∠AD=3,∠A=,∠C-5 t2如+过h(a+, .ACAD2/k...BCAC-AB(-2)km (3,(,AB十度A 即料真A的坡度为产 m福清-源m是- 答，火常从B点上邦圳C点的高度为已不一Dm 9.A 在△A食中mB-签即w一文女 佑展在线 能力在战 又e+十i+m, 六4六D-度-D4一1w8 13,5∠'-r,AN-A-2.六∠H-∠- ,D2且山寸减受比的 纯帽在线 即-1-E湍径2 微专微」确定三角函数值的方法 5,粒丽期承，过点D,C计铜向 反情寻1日最1 .△An△风置÷∠LLD=CE 4,41鉴接AC交BD十点0. AB作看线，意是分明为E, :∠=∠AE+∠(DE-∠D+∠D. 规伸，对任意视角，有帽a十a=L ”四边形A段D为菱形， F,网LE=F=手m,F= E明：您图，在△A风中，∠=g 乙AnE-∠-.an∠a成-mtr-得 .(M-OC (4 m DEYAE-112.5.AEn7.5 m 1,3三角函数的计算 0-tmT0- ,CFF=111.既m45越 m叶wa一业- 斯如在级 治w,⅓0=L 1A5m7.5+4+4.3=1队m, L司▣南置品回 .A=,T+=5 5×6+×3=3Xm配以 专子芸号 又你角能角 41,四边影A食D为菱形，以)-.A一2， 基道在线 ,大刻长好m,∴所需上方为的火润一80m. 发时于任童担…有m一治 LB 2.D 品K5,品寸C,即=·正雨AE 答，这个大搅年用崎上方是30配 (1)1.4第42419 1民71间，2力 正副，H,在△AC中，∠= 后震在线 L54米五C4,D ME-含5.AE-盖-+ 6.)四边形A段D为矩形， 7(1)43 12135(3)74 3.C ∠A7∠D-.AB=D,AD- ”w-者名-若m R BR 5 无0%7=0445十3中=60w”·Jr-nl了·30 又”AB-2AD,E为D的中点 D-nE-aEnE帶- L.2,45,0角的三角面数值 R“边形A服D是菱形，ML0,特一号C一4国 4 香划在城 在心中，∠)票 2用.：∠-m,F1, 气如图，连接D,设段的看直平分线交 ∠+A管=，∠+∠笔- =aM,n∠Ai0-K-aml 联于点F,期=TU ∠A于-∠LE又∠A=∠D,△ERIE 授A=m-. .A-,+=/w64(m 义0D-D,÷.A=AD44D-4 :△ABA△相恤世-被-景- Van∠HO手，4∠E5L 在R△MD中， u春R△中，n∠F景-克 由效形的件图句∠风D一∠具D-2∠Bw2.6 A小-F=√一下=8万 第2表时正伍释余伍 1加，渊A=∠Aw7了 .菱形的边长的为风4m,四个内角分别为1四了，T, 怨是一反 斯加在域 么11由题数，周-W一一2- 上动边4边边4器 基建在线 1四，7 1,A品B3A 颗九在线 6-u一甲且，世十。 A位器者 .C1L,D1.A1L14.22y'1 .△A是直角三角鳃 国边 13》厚式■2 5.1原式=031,2)象式42 D3动4+，e动-2 一深究在现·九年级数学（下）· 13