精品解析：山东省烟台市蓬莱区2024-2025学年上学期八年级数学期末学业水平检测试题

卷1 蓬莱区2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 初三数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 第33届夏季奥林匹克运动会由法国巴黎举办，将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．下面图案是巴黎奥运会的部分比赛场馆标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：C． 2. 关于的代数式分解因式得，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解答． 根据菱形的判定解答即可． 【详解】解：A．由图可知，平行四边形的一个角为，一边与对角线夹角，则另一边与对角线夹角为，则平行四边形的邻边不相等，所以该平行四边形不是菱形，该选项不符合题意； B．平行四边形一条边为10，对角线的一半分别分为8，6，其满足勾股定理的逆定理：，所以对角线相互垂直，故是菱形，符合题意； C．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，缺少对角线互相垂直的条件，故不是菱形，不符合题意； D．由图可知，故对角线不垂直，所以不是菱形，不符合题意； 故选：C． 5. 如果一组数据，，……的平均数是2，方差是2，则另一组数据，，，……的平均数和方差分别是（ ） A. 2，2 B. 2，6 C. 4，4 D. 4，18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的计算公式计算即可得解，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：∵一组数据，，……的平均数是2，方差是2， ∴， ， ∴， ∴另一组的平均数为， 另一组数据的方差为： ， 故选：D． 6. 已知凸边形有条对角线，正边形每个内角是，则边数为的多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线问题、正多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握多边形的对角线条数与边数的关系是解答的关键．先根据凸边形有条对角线列方程求得n值，再求得正边形的外角的度数，然后由正边形的外角为列方程得到m值，然后利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：∵凸边形有条对角线， ∴，解得， ∵正边形每个内角是， ∴正边形每个外角是， 由得， ∴， ∴边数为15的多边形的内角和是， 故选：B． 7. 如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）． 方案一 ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二 ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置． A. 唯方案一可行 B. 唯方案二可行 C. 方案一、二均可行 D. 方案一、二均不可行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，可利用平移解决问题． 【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可． 垂直于河岸，， 连接，与另一条河岸相交于M，作直线， 由平移的性质，知，且， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． 故方案一符合题意，方案二不是最短， 故选：A． 8. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得，， ， ， 由题意得，， 解得，， 实数的取值范围是：且． 故选：C． 9. 如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点F，点E是的中点，点P以每秒1的速度从点A出发，沿向点F运动；点Q同时以每秒2的速度从点C出发，沿向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ） A 2 B. 5 C. 2或 D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用是解题的关键． 由平行四边形，是的平分线，可得，则，由题意得，点P运动到时间为，点Q运动到时间为，当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可；当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，是的平分线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴点P运动到时间为，点Q运动到时间为， 当时，，，则，， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， 解得，， 当时，，，则，， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， 解得，， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2或， 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，找到公因式是解答的关键．先根据积的乘方化简，再提公因式即可分解因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式据此判断：①样本容量是；②样本的平均数是；③样本的众数是；④样本的中位数是．上面说法错误的是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的中位数、众数、平均数、样本容量，由方差算式得到这组数据为，再根据位数、众数、平均数、样本容量的定义求解即可判断，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据方差算式可得，这组数据为共个， ∴样本容量是，样本的众数是，样本的中位数是，故正确； 样本的平均数是，故错误； 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，利用整体思想求解是解答的关键．先由已知得到，再化简原式，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 14. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短及勾股定理，得到的最小值为的长是解答的关键．如图，过点D作于，连接，，证明四边形是矩形得到，要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长，利用三角形的等面积法求得即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于，连接，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 15. 如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键．根据确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，作出旋转中心，由坐标系写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形……依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，点坐标的规律，勾股定理等，解题的关键是找到点坐标的变化规律．根据旋转的性质，可得点的运动轨迹，发现规律：即点的位置每旋转次一个循环，然后找到正方形旋转次后点的位置，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次，点的坐标循环出现． 因为， 所以点的坐标与点的坐标相同． 如图：过点作轴，交于点轴，交于点， ∵正方形的边长为，， 故， 故点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2025 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．先根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 观察下面解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ．③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的的值． 【答案】（1）②，正确过程见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握分式的混合运算法则和解分式方程的步骤是解答的关键． （1）根据分式的混合运算法则化简原式，发现第②步出现错误； （2）根据所给求值后的值是4和化简式子可列分式方程，然后解方程即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ， ， 故解题过程中开始出现错误的是步骤②； 【小问2详解】 解：∵代入求值后的值就是4， ∴， ∴， 解得， 经检验：是方程的解， ∴图中被遮住的的值为． 19. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式； （2）若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 【答案】（1） （2）①为等腰三角形，理由见详解；② 【解析】 【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键． （1）将原式分组整理为，再运用完全平方公式可得，然后进一步分解因式即可； （2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，结合三角形三边关系可知，进而可得，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，根据非负数的性质解得的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，，分别为三边的长， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵，，分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 卷2 20. 平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． （1）进行如下操作（只画出图形）： ①画出以为旋转中心，顺时针旋转的； ②画出关于原点成中心对称的； （2）已知点为中其中一边上任一点，若点在（1）①中边上的对应点为，则点的坐标为__________． 【答案】（1）①图见详解；②图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标—旋转，中心对称图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）①分别得出点A、B、C绕点O顺时针旋转的对应点坐标，进而问题可求解；②根据中心对称图形的性质可进行作图； （2）根据（1）①中点的坐标特征可进行求解． 【小问1详解】 解：①所作如图所示； ②所作如图所示： 【小问2详解】 解：如图， 由图可得， ∴； 故答案为． 21. 6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图． 平均数/分 中位数/分 众数/分 一班 ___________ ___________ 90 二班 ___________ 80 ___________ （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）补全上面表格； （3）请从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩，并对这次竞赛成绩的结果进行分析． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 （3）从平均数方面看，两班的成绩相同，从中位数方面看，一班的中位数为90分，二班的中位数为80分，所以一班比二班成绩好． 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求平均数，中位数和众数： （1）用总人数减去其它等级的人数，求出等级的人数，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可； （3）利用平均数和中位数进行分析即可． 【小问1详解】 解：等级的人数为：，补全条形图如图： 【小问2详解】 解：一班的平均数为：， 第13个数据为，故中位数为：90； 二班的平均数为：， 等级所占比例最大，人数最多，故众数为：100， 补全表格如图： 平均数/分 中位数/分 众数/分 一班 87.6 90 90 二班 87.6 80 100 【小问3详解】 解：从平均数方面看，两班的成绩相同，从中位数方面看，一班的中位数为90分，二班的中位数为80分，所以一班比二班成绩好． 22. 如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形和平行四边形的性质定理与判定定理，过点F作交于点G，再利用全等三角形的判定定理与性质定理结合平行四边形的性质定理与判定定理即可得解． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 23. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 【答案】（1）B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元 （2），最少值为元，购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）购买a个A种书架，则购买个B种书架，由题意知，，可求得；，即，由，可知当时，最少，最少值为元，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足要求； ∴B种书架的单价为元，A种书架的单价为元； 【小问2详解】 解：购买a个A种书架，则购买个B种书架， 由题意知，， 解得，； ，即， ∵， ∴当时，最少，最少值为元， ∴费用最少时的购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个． 24. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形． （1）判断四边形的形状，并证明． （2）若测得四边形的面积为，点，之间的距离为，求边的长． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理， （1）如图，连接、，过点分别作于点，作于点，证明四边形是平行四边形，再根据等积法即可得证； （2）由（1）知是菱形，求出的长，再根据勾股定理即可求出的长， 正确作出辅助线，证明四边形是菱形是解题关键． 【小问1详解】 解：四边形是菱形． 证明：如图，连接、，过点分别作于点，作于点， ∵两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴边的长为． 25. 如图1，在中，，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，点H在线段上（不含端点），且，连接交于点N，判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再由旋转的性质得到，，则，据此证明，即可证明． （2）先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是正方形，接着证明得到，则可证明，得到，最后证明，得到，则． 小问1详解】 证明：如图1中， ∵，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：结论：． 理由：如图2中，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵，，， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，平行四边形的性质与判定、矩形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷1 蓬莱区2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 初三数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 第33届夏季奥林匹克运动会由法国巴黎举办，将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．下面图案是巴黎奥运会的部分比赛场馆标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的代数式分解因式得，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C D. 4. 如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一组数据，，……的平均数是2，方差是2，则另一组数据，，，……的平均数和方差分别是（ ） A. 2，2 B. 2，6 C. 4，4 D. 4，18 6. 已知凸边形有条对角线，正边形每个内角是，则边数为的多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）． 方案一 ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二 ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置． A. 唯方案一可行 B. 唯方案二可行 C. 方案一、二均可行 D. 方案一、二均不可行 8. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点F，点E是的中点，点P以每秒1的速度从点A出发，沿向点F运动；点Q同时以每秒2的速度从点C出发，沿向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ） A. 2 B. 5 C. 2或 D. 5或 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解：______． 12. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式据此判断：①样本容量是；②样本的平均数是；③样本的众数是；④样本的中位数是．上面说法错误的是______． 13 若，则______． 14. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 15. 如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形……依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ．③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的的值． 19. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式； （2）若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 卷2 20. 平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． （1）进行如下操作（只画出图形）： ①画出以为旋转中心，顺时针旋转的； ②画出关于原点成中心对称的； （2）已知点为中其中一边上任一点，若点在（1）①中边上的对应点为，则点的坐标为__________． 21. 6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图． 平均数/分 中位数/分 众数/分 一班 ___________ ___________ 90 二班 ___________ 80 ___________ （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）补全上面表格； （3）请从平均数和中位数方面比较一班和二班成绩，并对这次竞赛成绩的结果进行分析． 22. 如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，求的长． 23. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 24. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形． （1）判断四边形形状，并证明． （2）若测得四边形的面积为，点，之间的距离为，求边的长． 25. 如图1，在中，，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，点H在线段上（不含端点），且，连接交于点N，判断与的位置关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $