2025年中考数学总复习课时练习11-19课时

课时训练（十九） 直角三角形及勾股定理 A 基础练 1．在中， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 1，1，2 C. 2，3，5 D. 4，5，6 【答案】A 3．[2023株洲]一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸.如图K19-1所示，已知 ，为边的中点，点，对应的刻度为1，7，则（ ） 图K19-1 A. B. C. D. 【答案】B 4．如图K19-2，在中， ，,,分别是边,,的中点.若，则的长为（ ） 图K19-2 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 5．如图K19-3，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，.若菱形的面积为12，则的长为（ ） 图K19-3 A. 10 B. 4 C. D. 6 【答案】C 6．[2023河北]如图K19-4，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形.若，则（ ） 图K19-4 A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 四边形是正方形，， .在中，是斜边的中点， ，即.在中，， .. 7．如图K19-5，在中， ，平分，.若，则点到的距离为________. 图K19-5 【答案】 8．[2023广西]如图K19-6，在中， ， . 图K19-6 （1） 在斜边上求作线段，使，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2） 若，求的长. 【答案】 （1） 解：所作线段如图所示： （2） ， ， . 又， . 是斜边上的中线. . . . B 提升练 9．[2023徐州]如图K19-7，在中， , ,,为的中点.若点在边上，且，则的长为（ ） 图K19-7 A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 【答案】D 【解析】 , ,，,为的中点，.，. ①当 时，如图①，易求. ②当 时，取的中点，连接，如图②所示.易求. 综上所述，或2. 10．如图K19-8，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为，，两点间的距离为，则螳螂爬行的最短路程为____________.（ 取3） 图K19-8 【答案】 11．在中， ，，，动点在边上，的垂直平分线交边于点.若是直角三角形，则的长为________________________. 【答案】或 【解析】 在中， ，，，. 的垂直平分线交边于点，. 设，则，. ①当 时，如图①. ，，. .，解得.. ②当 时，如图②. ，，. .，解得.. 综上，的长为或. 12．阅读材料，回答问题： （1） 中国古代数学著作《周髀算经》（如图K19-9①）有这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五.”这句话的意思是“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5”.上述记载表明了：在中，如果 ，，，，那么，，三者之间的数量关系是______________________. 图K19-9 （2） 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图②，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形）利用面积法进行了证明.参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：__________，，______________，， ______________ __________________， 整理得______________________. （3） 如图③，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长. 【答案】（1） （2） ；；；； （3） 解： 四边形是矩形， . 由折叠得. 设，则. 在中，由勾股定理，得， 解得，. C 综合练 13．[2024厦门同安区三模]如图K19-10是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设，，连接，.若与的面积相等，则__________. 图K19-10 【答案】 【解析】，， ，. 与的面积相等， ， ，， ， 解得（负值已舍去）. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十二） 反比例函数及其应用 A 基础练 1．[2024重庆A卷]已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】把代入，得 . 故选C. 2．[2023漳州二检]反比例函数在第一象限的图象如图K12-1所示，则的值可能是（ ） 图K12-1 A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 【答案】B 3．[2024广西]已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 反比例函数的图象位于第一、三象限.，.故选A. 4．[2022滨州]在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是图K12-2中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5．[2024泸州]已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 方程无实数根， ， 解得的图象经过第二、四象限. 函数的图象位于第一、三象限， 函数与函数的图象不会相交，即交点个数为0. 故选A. 变式．[2023陕西] 如图K12-3，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，.若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是____________. 图K12-3 【答案】 【解析】 四边形是矩形， 四边形是正方形，， 设，，.设反比例函数的表达式为， 点，在同一个反比例函数的图象上，，解得或（不合题意，舍去） 这个反比例函数的表达式是. 6．[2024遂宁]反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第__象限. 【答案】四 【解析】 反比例函数的图象在第一、三象限， ， ， 点在第四象限. 故答案为四. 7．[2024陕西]已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则____0. 【答案】 【解析】 点和点均在反比例函数的图象上， ，. ，，. 故答案为 . 8．[2024凉山州]如图K12-4，正比例函数与反比例函数的图象交于点. 图K12-4 （1） 求反比例函数的解析式； （2） 把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接,，求的面积. 【答案】 （1） 解： 点在正比例函数的图象上， ，解得，. 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为. （2） 把直线向上平移3个单位长度得到直线， 令，则. 记直线与轴的交点为，则，连接，如图. 由题意，得， ,同底等高， . B 提升练 9．[2024自贡]一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图K12-5所示，则的取值范围是（ ） 图K12-5 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，得 解得， 的取值范围是. 故选C. 10．[2024福州二检]在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图K12-6所示.一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是（ ） 图K12-6 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知,,轴， . 11．[2024重庆A卷]如图K12-7①，在中，，，为上一点，，过点作交于点.点，的距离为，的周长与的周长之比为. 图K12-7 （1） 请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2） 在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3） 结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）. 【答案】 （1） 解：，， ，， ，，. 为上一点， ，. （2） 如图： 的性质：当时，随的增大而增大； 的性质：当时，随的增大而减小.（答案不唯一） （3） . 【解析】 （3） ，，，（舍去）或，. 12．[2024乐山]如图K12-8，已知点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点. 图K12-8 （1） 求，的值和一次函数的表达式； （2） 连接，求点到线段的距离. 【答案】 （1） 解： 点，在反比例函数的图象上， ，. 一次函数的图象过点，， 解得 一次函数的表达式为. （2） 如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为. ，， 轴，. 点，，， 点，，. 在中，. 又， 即， ， 即点到线段的距离为. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十七） 全等三角形 A 基础练 1．[2023长春]如图K17-1，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为，的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度.依据的数学基本事实是（ ） 图K17-1 A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 2．[2023凉山州]如图K17-2，点，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ） 图K17-2 A. B. C. D. 【答案】D 3．[2023台州]如图K17-3，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，.下列命题中，假命题是（ ） 图K17-3 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】由，得，而，，则，故，，故选项B，D均是真命题；由，，，得，故，故选项C是真命题；当时，不能证明，故选项A是假命题.故选A. 4．如图K17-4，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为，则点的坐标为（ ） 图K17-4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，过点C作轴于点. 四边形是正方形， ， . . 又 ， . 在和中， . ，. 点C在第二象限， 点C的坐标为. 5．[2023成都]如图K17-5，已知，点，，，依次在同一条直线上.若，，则的长为______. 图K17-5 【答案】3 6．如图K17-6，已知，. 图K17-6 求证： （1） ； （2） . 【答案】 （1） 证明：在和中， . . （2） ，, . 又，, . . 7．[2023泉州二检]如图K17-7，在中，为的中点，连接，延长交的延长线于点.求证：. 图K17-7 证明： 四边形是平行四边形， . ，. 为的中点，. 在和中， . B 提升练 8．如图K17-8，，，，点，，在同一条直线上，则的长为（ ） 图K17-8 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】如图，过点B作，，垂足分别为，， 则 ， . ，，. ， .. 在与中， . ，，. 9．如图K17-9，已知， ，点在线段上，点在线段上，，请探究,与之间的数量关系. 图K17-9 解：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， 则， ，，，. ， . ， . ,,三点共线. 在与中， . . 又， . 10．[2024郑州期末]某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图K17-10所示的三种方案. 图K17-10 甲：如图①，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的长即为，的距离. 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使______，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离. 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使______，这时只要测出的长即为，的距离. （1） 请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分. 乙：____________；丙：________________. （2） 请你选择其中一种方案进行说明. 【答案】（1） ； （2） 解：选甲：在和中， . 选乙：，， . 在和中， . . 选丙：在和中， . C 综合练 11．如图K17-11，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动.当点的运动速度为____时，能够在某一时刻使与全等. 图K17-11 【答案】6或7 【解析】，为的中点， . 设点，的运动时间为，点的运动速度为， 则，. ，. ，， 与全等共有两种情况： ①当时，，， ，，，， 故点的运动速度为； ②当时，，， ，，，， 故点的运动速度为. 综上所述，满足条件的点的运动速度为或. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十三） 二次函数的图象与性质 A 基础练 1．[2023南平一检]下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2．[2024贵州]如图K13-1，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） 图K13-1 A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，随的增大而减小 D. 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【解析】选项A， 二次函数图象的顶点坐标为， 二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误.选项B，点关于直线对称的点为， 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误.选项C，由图象可得当时，随的增大而增大,故选项C错误.选项D，设二次函数的解析式为.将代入，得，解得，.令，得， 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确.故选D. 3．[2023南充]若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4．[2023大连]已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，函数的最大值在处或处取到.当时，；当时， 当时，函数的最大值为2. 5．[2023安徽]已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图K13-2所示，则函数的图象可能为图K13-3中的（ ） 图K13-2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于正半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 函数的图象开口向上，对称轴为直线.由图象可知，反比例函数与一次函数的图象有两个交点和，， 对于函数，当时， 函数的图象过点 反比例函数与一次函数的图象有两个交点， 关于的方程有两个不相等的实数根. 当时， 函数的图象不过原点. 符合以上条件的只有A选项. 6．[2024滨州]将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为____________. 【答案】 7．[2023龙岩一检]用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： … 1 2 3 4 … … 0 0 3 … 根据以上信息，当时，______. 【答案】3 【解析】由题中表格可知函数图象经过点和点， 对称轴为直线 当时的函数值等于当时的函数值. 当时，， 当时，. 8．[2023宁波]如图K13-4，已知二次函数的图象经过点和. 图K13-4 （1） 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2） 当时，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】 （1） 解：把点和的坐标分别代入，得解得 二次函数的表达式为. ， 函数图象的顶点坐标为. （2） . 【解析】 （2） 如图，由题意得点关于对称轴即直线的对称点为， 结合图象可知，当时，的取值范围是. B 提升练 9．[2024泸州]已知二次函数（是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设二次函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为,，由题意可得 解得. 故选A. 10．[2024眉山]如图K13-5，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：；；；④若，则.其中正确结论有（ ） 图K13-5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 函数图象开口向上，, 抛物线与轴交点在轴负半轴，，,故①错误； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， 当时，，,，,故②正确； 对称轴为直线，，,故③正确；，，，，.，，,故④正确.综上所述，正确的有②③④，故选C. 11．若二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点和. （1） 用含的代数式表示； （2） 若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式. 【答案】 （1） 解： 二次函数的图象过点，， 对称轴为直线. . . （2） 当时，. 又 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称. . . 二次函数的图象与轴只有一个交点， . . 该二次函数的解析式为或. C 综合练 12．[2024宁德一检]如图K13-6，已知为抛物线上一动点，且在对称轴右侧，直线与抛物线有且只有一个交点，且与轴交于点，点的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，. 图K13-6 （1） 用含的代数式表示. （2） 求证：. （3） 在点的运动过程中，是不是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】 （1） 解：令， 整理，得. 直线与抛物线有且只有一个交点， ， . （2） 证明：联立解得 点的坐标是. 又 点的坐标是，点的坐标是， ，， . （3） 在点的运动过程中，是定值. 设直线的表达式为. 将点的坐标代入， 得，即. 联立 解得 点的坐标是，. 又 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， ， . 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十一） 一次函数的实际应用 A 基础练 1．[2024三明二检]某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为.如图K11-1所示，设矩形一边长为，另一边长为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（ ） 图K11-1 A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 【答案】B 【解析】由题意，得， 所以与是一次函数关系. 2．[2024泉州多校联考二模]如图K11-2，一种弹簧秤最大能称的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） 图K11-2 A. B. C. D. 【答案】B 3．[2024湖北]铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例.一个体积为的铁块，它的质量为__. 【答案】79 【解析】 铁的质量与体积成正比例， 关于的函数解析式为. 当时，. 故答案为79. 4．[2024上海]某种商品的销售额（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额为1000万元，当投入90万元时销售额为5000万元，则投入80万元时，销售额为____万元. 【答案】4500 【解析】设. 把，代入，得 解得 . 当时，， 即投入80万元时，销售额为4500万元. 故答案为4500. 5．[2024陕西]我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图K11-3所示. 图K11-3 （1） 求与之间的关系式； （2） 已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 【答案】 （1） 解：设. 将，代入， 得解得 . （2） 令，则. . 答：王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的. 6．[2021福建T20]某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元. （1） 已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2） 经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】 （1） 解：设该公司当月零售农产品箱,批发农产品箱. 依题意,得解得 所以该公司当月零售农产品20箱,批发农产品80箱. （2） 设该公司零售农产品箱,获得总利润元，则批发农产品的数量为箱， 依题意,得,. 因为,所以随着的增大而增大, 所以当时,取得最大值49000， 此时. 所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大,最大总利润是49000元. B 提升练 7．[2024眉山]眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元. （1） 求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元； （2） 已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元. 【答案】 （1） 解：设A款文创产品每件的进价是元，则B款文创产品每件的进价是元. 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. . 答：A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元. （2） 设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，总利润为元.根据题意，得 ， 解得， . ，随的增大而增大， 当时，利润最大，. 答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元. 8．[2024龙东地区]为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元. （1） 购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2） 若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ （3） 若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】 （1） 解：设购买一个甲种品牌毽子需元，购买一个乙种品牌毽子需元. 由题意,得 解得 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元. （2） 设购买甲种品牌毽子个，则购买乙种品牌毽子个. 由题意,得 解得. 和均为正整数， ，62，64. 当时，， 当时，， 当时，， 共有3种购买方案. （3） 设商家获得的利润为元，则 ， 即. ， 随的增大而减小， 当时，. 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十六） 三角形基础知识 A 基础练 1．[2024福州二检]三角形三边的长可以是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 2．[2023南平二检]在等边三角形中，,分别是边,的中点.若的周长为12，则的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 3．[2023达州]如图K16-1，，平分， ， ，则（ ） 图K16-1 A. B. C. D. 【答案】B 4．[2024凉山州]如图K16-2，在中， ， ，是边上的高，是的平分线，则的度数是__________. 图K16-2 【答案】 【解析】是边上的高， . ， ， ， .是的平分线， ， .故答案为 . 5．[2024福州多校联考]如图K16-3，在中，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，是的中点，则的长为______. 图K16-3 【答案】1 【解析】根据折叠，可知，， . 是的中点，,是的中位线， . B 提升练 6．已知在中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 【答案】D 【解析】设第三边长为，则， . 的第三边长是偶数， 或6， 此三角形的周长为或. 7．如图K16-4， ，点，分别在，上运动（不与点重合），平分，的反向延长线与的平分线交于点，在，的运动过程中，的度数（ ） 图K16-4 A. 变大 B. 变小 C. 等于 D. 等于 【答案】D 【解析】平分，平分， ，. 根据外角的定义，得， . ， . 根据外角的定义得， . 8．[2023北京]如图K16-5，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，， ，，连接，设，，，给出下面三个结论：；；. 图K16-5 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】如图，过点D作于点，则四边形是矩形，，.故①正确； ，，，， . .是等腰直角三角形. 由勾股定理得.，.故②正确； 由勾股定理得，即， .故③正确.故选D. 9．如图K16-6，在中，是边上的高线，的平分线交于点，当，的面积为2时，的长为______. 图K16-6 【答案】1 【解析】如图，过点作于点. 平分，且，. ， 即， . 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十四） 二次函数的实际应用 A 基础练 1．[2024天津]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是.有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】①在中，令，则，解得，， 小球从抛出到落地需要，故①正确. ， 当时，有最大值，最大值为45， 小球运动中的高度可以是，故②正确. ③当时，；当时，， 小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误. 故选C. 2．某商场将进价为20元/件的玩具以30元/件售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具每件的售价每上涨1元，平均每天就少售出10件.设每件玩具涨价元，则下列说法错误的是（ ） A. 涨价后每件玩具的售价是元 B. 涨价后平均每天少售出玩具的数量是件 C. 涨价后平均每天销售玩具的数量是件 D. 每天的最大利润为3750元 【答案】D 3．[2024朔州模拟]如图K14-1①是太原晋阳湖公园一座抛物线形拱桥，建立如图②所示的坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，水面宽米，则抛物线所对应的函数表达式为（ ） 图K14-1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设抛物线所对应的函数表达式为. ， 设点B的坐标为. 当水位上升5米时，水面宽米， . 把，分别代入， 得 解得 抛物线所对应的函数表达式为. 故选B. 4．[2024厦门二检]某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在，，这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为，，.根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（ ） A. 12：20前，直杆的影子逐渐变长 B. 13：00后，直杆的影子逐渐变长 C. 在13：00到14：10之间，还有某个时刻直杆的影长也为 D. 在12：20到13：00之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短 【答案】C 【解析】以12：00为原点，以时刻为轴，影长为轴，建立平面直角坐标系，画出过题中三点的二次函数图象的简图，如图所示： 由图得，前，直杆的影子随时间的增加而逐渐变短，故A错误； 13：00后，直杆的影子先变短后变长，故B错误； 在13：00到14：10之间，还有某个时刻直杆的影长也为，故C正确； 在13：00到14：10之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短，故D错误. 故选C. 5．[2024广西]如图K14-2，壮壮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是.若实心球落地点为，则________. 图K14-2 【答案】 【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系. 由题意可知，，，，其中为抛物线的顶点.设抛物线的解析式为.将，代入，得，解得， 抛物线的解析式为 .令，得，解得，（不合题意，舍去），.故答案为. 6．[2024甘肃]如图K14-3①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车__完全停到车棚内（填“能”或“不能”）. 图K14-3 【答案】能 【解析】当点，，共线时，，， 点的横坐标为.在中，当时，， 货车能完全停到车棚内.故答案为能. 7．[2024湖北]如图K14-4，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）. 图K14-4 （1） 直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）. （2） 矩形试验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由. （3） 当的值是多少时，矩形试验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） 解：与之间的函数解析式为，与之间的函数解析式为. （2） 能.由题意，令，则， 解得，. 当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意， 的值为25. （3） 由题意，得，， 解得. . ,， 当时，取得最大值，最大值为800. 答：当的值是20时，矩形试验田的面积最大，最大面积是. B 提升练 8．[2024厦门集美区二模]某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量（单位：万件）随销售价格（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图K14-5所示. 图K14-5 （1） 求双曲线的函数解析式； （2） 已知该款移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由. 【答案】 （1） 解：设双曲线的解析式为， 由图可知双曲线经过点， ， . （2） 2024年该公司不可能收回研发成本. 理由：当时，， . 当时，设线段的解析式为， 解得 线段的解析式为. 设销售利润为万元. 当时， . 当时，利润最大，为（万元）. 当时，， 当时，利润最大，为1440万元. ， 年该公司不可能收回研发成本. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十五） 线段、角、相交线与平行线 A 基础练 1．一副三角板按如图K15-1所示的方式摆放，则的补角的度数为（ ） 图K15-1 A. B. C. D. 【答案】D 2．如图K15-2，小亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） 图K15-2 A. 两点确定一条直线 B. 经过一点有无数条直线 C. 经过两点，有且仅有一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】D 3．如图K15-3， ， ， ，则下列说法错误的是（ ） 图K15-3 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， ， . .故选项A，B不符合题意； ， ，.故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意.故选D. 4．[2023张家界]如图K15-4，已知直线，平分， ，则的度数是（ ） 图K15-4 A. B. C. D. 【答案】A 5．[2024福州多校联考]将一副三角板按如图K15-5所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ） 图K15-5 A. B. C. D. 【答案】C 6． __度__分__秒； ______度. 【答案】57； 19； 12； 10.11 7．[2023通辽]将一副三角尺如图K15-6所示放置，其中，则____度. 图K15-6 【答案】105 8．如图K15-7，直线，将一副三角板放置在，之间，两三角板的斜边在同一直线上，含 角的三角板的一直角边在上，则 的度数为________. 图K15-7 【答案】 【解析】如图： 直线， . ，且 ， . B 提升练 9．如图K15-8所示，将矩形沿线段折叠到四边形的位置，若 ，则的度数为（ ） 图K15-8 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由翻折知， ， . . 10．如图K15-9，， . 图K15-9 （1） 与是否平行？请说明理由； （2） 若平分，于点， ，求的度数. 【答案】 （1） 解：. 理由如下：， . ， . （2） 平分， . 由（1）知，. ， . ， . . 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时训练（十八） 等腰三角形 A 基础练 1．[2023眉山]如图K18-1，在中，， ，则的度数为（ ） 图K18-1 A. B. C. D. 【答案】C 2．如图K18-2，在中，， ，的垂直平分线交于点，交于点.下列结论错误的是（ ） 图K18-2 A. 平分 B. 是线段的中点 C. D. 的周长等于 【答案】B 3．如图K18-3，在等腰三角形中，为的平分线， ，，，则（ ） 图K18-3 A. B. C. D. 【答案】C 4．[2024宁德二检]如图K18-4，在等边三角形中，为的中点，于点，，则的长是__. 图K18-4 【答案】20 5．[2023重庆B卷]如图K18-5，在中，，是边上的中线.若，，则的长度为______. 图K18-5 【答案】4 6．[2023丽水]如图K18-6，在中，的垂直平分线交于点，交于点，.若，则的长是______. 图K18-6 【答案】4 【解析】，，. 是的垂直平分线，. 7．若某等腰三角形的底边和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是__. 【答案】10 8．如图K18-7，在中，点，分别在边，上，，平分. 图K18-7 （1） 求证：； （2） 若，，求的度数. 【答案】 （1） 解：证明：平分， . ，. . （2） ，， . 设. ，. . . . B 提升练 9．[2023东营一模]如图K18-8，等腰三角形的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点，.若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为__. 图K18-8 【答案】13 【解析】如图，连接， 是等腰三角形，是边的中点， . ，解得. 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为. 的长为的最小值. 的周长的最小值. 10．如图K18-9，和都是等边三角形，点在上，交于点.若，，则的长是______________. 图K18-9 【答案】 【解析】和都是等边三角形， ， .，..设，则， ，，，即,解得（负值已舍去）. 的长是. 11．[2023南平一检]在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，且腰长为5，则的长为多少？现给出以下四个结论： ；； ；. 其中正确的是____.（只填正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】由题意，分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形，符合题意. ②当时，是等腰三角形，符合题意. 当时， 易知.设点的坐标为，， ，解得或或（舍去）或或（舍去）. 当时，，则； 当时，，则. 综上，或或.故答案为①②③. C 综合练 12．如图K18-10，是等边三角形，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点，分别在线段，的延长线上，且.当点从点运动到点的过程中，有下列结论： 图K18-10 ①与始终全等； ②的大小始终不变； ③的周长始终不变； ④的周长先变小后变大. 其中正确的是____（写出所有正确结论的序号）. 【答案】①②④ 【解析】是等边三角形， ， . ，. 又 ， ， . ， ， . 在和中， ，即①正确； ， ， ， 则的大小始终不变，即②正确； ， ，，和的周长相同， 的周长周长. 在点从点运动到点的过程中，的长不变，的长先变小后变大， 在点从点运动到点的过程中，和周长的变化规律是先变小后变大，即③错误，④正确. 故答案为①②④. 13．[2024漳州二模]如图K18-11，和都是等腰直角三角形，点在边上， . 图K18-11 （1） 求证：； （2） 探索，，的数量关系，并证明； （3） 若平分，且，求的面积. 【答案】 （1） 解：证明：和都是等腰直角三角形， ， . ,， . ， ， . （2） . 证明：如图①，过点作交于点， 则 . 和都是等腰直角三角形， ，. 由（1）得， ， ， . ， ， ， . 在中，， . （3） 如图②，过点作于点. 平分，. 由（1）得， . ，， . 在中， ，， ， . 在中，. 在中，，,, ， 的面积为. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$