第8章 实数（单元测试·培优卷）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第8章 实数（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·重庆·期末）若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 5．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 6．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知正整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　） A． B． C． D． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于实数a，b，定义：当时，；当时，．例如：．已知，且a和b为两个连续正整数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则的值是 ． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）若a，b为实数，且满足，则 ． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 16．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 17．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 18．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的x (1) (2) 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 22．（本小题满分10分）（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，点A表示． 设点B所表示的数为m． (1)实数m的值为______； (2)求的值； (3)若在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·周测）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为． (1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______； (2)实数满足关系式，求的“青一区间”． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B A B D C C 1．C 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数就是无限不循环小数进行计算即可． 【详解】解：无理数就是无限不循环小数，是无限不循环小数， 故选C． 2．C 【分析】此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可． 【详解】A.当时，，有平方根，故选项不符合题意； B.当时，，有平方根，故选项不符合题意；     C. ，则一定没有平方根，故选项符合题意； D. 当时，，有平方根，故选项不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 5．B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，即，计算求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算是关键．根据, 即可得, 再相加得解. 【详解】解：, 又, 故选：B. 8．D 【分析】本题考查的是实数与数轴，设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可． 【详解】解：设C点表示的数为x，则 1， 解得：． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴， ， ， ， ， ∴以三个数为一组循环， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义下的实数运算，正确根据题意得到，并且估算出是解题的关键． 根据新定义可得，再估算出，根据和为两个连续正整数得到，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵和为两个连续正整数， ， ， 故选：C． 11．或 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．根据平方根的定义求出、的值，即可求解． 【详解】解：，， ，， ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 12．4 【分析】本题考查平方根的性质，根据正数的平方根互为相反数求出x值是解题的关键． 由正数的平方根互为相反数，可得，即可求得x的值，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴ 解得：， ∴ ∴这个正数是． 故答案为：4． 13．0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 14． 【分析】本题考查非负性，求一个数的立方根和算术平方根，根据非负性求出的值，再根据乘方运算法则和算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15． 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 17． 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 18． 【分析】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式．依照例题计算即可求解； 【详解】解∶ ， 去分母，， 移项，， 两边平方，， 整理，， 故答案为∶． 19．(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：． （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 20．(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值的性质和立方根、平方根的定义是解题关键． （1）先根据绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义进行化简，再合并即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义及绝对值的性质进行化简，再计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 21．(1)，， (2)4 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法代数式求值等知识点． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值； （2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵c是的整数部分，， ∴； （2）解：将，，代入得：， ∴的算术平方根是4． 22．(1) (2) (3)的立方根为2 【分析】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． （1）通过，在数轴上表示的数进行运算． （2）化简绝对值进行运算． （3）根据非负数的意义进行解答． 【详解】（1）解：点在点右侧2个单位处， 点所表示的数为：，即． 故答案为：． （2）解：，则，， ； 的值为2． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：，， ， 的立方根为2． 23．(1)， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 即， 所以，所以． 因为，所以的“青一区间”为． 24．(1)的长在2和3之间 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$