第8章 实数（单元测试·基础卷）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第8章 实数（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列四个实数中，无理数的是（   ） A． B．3.14 C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是的平方根，则的正的平方根是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若与是同类项，则的平方根为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）若x满足则x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或1或2 D．0或 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，数轴上A，B两点所表示的实数分别是和，C是线段的中点，则线段的长度是（   ） A． B．2 C． D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则；若，则．若要使，则需满足（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如，则当时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 9．（2025七年级下·全国·专题练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是16，则输出的y的值是（   ） A． B． C．2 D．4 10．（2021·湖南永州·中考真题）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）比较大小： 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值的算术平方根是 ． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知．当分别取，，，，时，所对应值的总和是 ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）的立方根与的平方根的和为 ． 16．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知为正整数，若，则 ． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：．例如，则 ． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果，那么叫作的次方根．例如：因为，所以16的四次方根是2和．由此可知，81的四次方根是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知的平方根为，的立方根是3． （1）求的值． （2）求的平方根． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探究并解决问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）数学吴老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是________． （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值． （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C C A B C A C 1．D 【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数解答本题． 解：为整数，为分数，都为有理数， 为无理数， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查平方根和算术平方根，注意：一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个．先利用平方根求出，再代入求算术平方根即可． 解：是的平方根， ， 的值为或， 的正的平方根是或， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了同类项的定义和平方根的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义和平方根的定义．根据同类项的定义即可求出，的值，最后代入求平方根即可． 解：与是同类项， ，， ， 的平方根为， 故选：D． 4．C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．利用立方根定义计算即可得到结果． 解：∵即立方根等于本身的实数是，0，1． 或0或1， 或1或2， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了实数、数轴和线段的中点，根据数轴上两点之间的距离公式先求出线段的长，再根据线段的中点的定义求出的长即可得解． 解：∵数轴上A，B两点所表示的实数分别是和， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是掌握相关知识．结合平方根和立方根的定义求解即可． 解：， ， 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根，根据题意列出方程，是解题的关键．根据题意先得出，，再根据列出方程，解方程即可． 解：根据题意得：， ， ∵，， ∴， 解得：， 故选：C． 9．A 【分析】此题主要考查了算术平方根和有理数的定义，利用算术平方根的定义计算，直至结果不是有理数即可． 解：由所示的程序可得：16的算术平方根是4，4是有理数； 4再取算术平方根是2，2是有理数； 2再取算术平方根是，不是有理数，输出． 故选：A． 10．C 【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得． 解：原式， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键． 11． 【分析】本题考查了实数大小比较，两个数分别平方，比较平方数的大小，即可得出答案，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．2 【分析】本题主要考查了非负数的性质，直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质进而得出的值． 解：， ∴ ∴ ∴， ∵4的算术平方根是2， ∴的值的算术平方根是2， 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简等知识点，掌握算术平方根的性质：是解题关键．先化简求出的表达式，再分类化简绝对值，再将的取值代入求和即可得． 解：， 当时，， 当时，， 则所求的总和为： ， 故答案为：． 14．4或6/6或4 【分析】本题考查了算术平方根的性质，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根的有关性质，根据算术平方根等于它本身的数有0和1计算即可． 解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或6． 15．或 【分析】本题考查算术平方根、立方根的定义，分别求出的立方根与的平方根，再把它们相加即可． 解：的立方根为， ∵， ∴的平方根为3或， 则的立方根与的平方根的和为或， 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法，找出与相邻的两个平方数，即可得到答案，掌握无理数的估算的方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果． 解：根据题意得， ∴． 故答案为：． 18．3和 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题干提供的新定义进行计算即可． 解：∵， ∴81的四次方根是3和． 故答案为：3和． 19．（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握立方根定义，算术平方根定义，是解题的关键． （1）根据立方根定义，算术平方根定义进行求解即可； （2）根据立方根定义，实数的性质进行化简，再计算求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 20．（1）；（2） 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 解：（1）解：整理，得， 所以， 所以． （2）两边开立方，得， 所以， 所以． 21．（1）；（2） 【分析】本题主要考查平方根，立方根的运算，掌握以上知识及其运算是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的运算即可求解； （2）代入求值，再根据求一个数的平方根的运算即可求解． 解：（1）解：∵的平方根是， ∴，解得，， ∵的立方根是3， ∴，且， ∴，解得，， ∴，； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴4的平方根为， ∴的平方根为． 22．的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 23．（1）①4；0；a；②3；5；；；（2） 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出，； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果． 解：（1）解：，， 探究：对于任意非负有理数a，； ，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，； （2）解：观察数轴可知： ，，， ． 24．（1）3；（2）1；（3）19. 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的方法进行求解即可； （2）由题意可得，，再代入求解即可； （3）由题意可得，，再代入所求的式子运算即可． 解：（1）解：， ∴的整数部分为3，小数部分为：； 故答案为：3； （2）解：∵a为的小数部分，b为的整数部分， ，， ； （3）解：，其中x是一个正整数，， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$