1.2.1 直角三角形的性质与判定 课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 一 学习目标 1.会证明直角三角形两锐角互余,且有两角互余的三角形都是直角三角形. 2.理解并掌握勾股定理及其逆定理. 3.了解逆命题及逆定理的概念,能写出一个命题的逆命题并判断其真假. 二 重难点 重点：理解并掌握勾股定理及其逆定理. 难点：勾股定理及其逆定理的证明和运用. 1.知识回顾 三 教学过程 什么是直角三角形? 直角三角形有哪些性质? 解：有一个角是直角的三角形叫直角三角形. 性质:直角三角形的两个锐角互余;在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.探究新知 问题1：(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系? 为什么? (2)如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么? 解：(1)直角三角形的两个锐角和为 90°.理由如下: 如图在△ABC中, ∠C= 90°.因为三角形的内角和是180°,∠C= 90°, 所以另外两个锐角和为180°-90°=90°. (2)如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形. 理由如下: 如图在△ABC中,∠A+∠B=90°,则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°.所以△ABC 是直角三角形. 【知识归纳】(1)直角三角形的两个锐角互余. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. 问题2：我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.反过来,在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论. 你能证明这个结论吗? 已知:如图,在△ABC 中,AB2+AC2=BC2.求证△ABC是直角三角形. 【分析】构造一个直角三角形与△ABC全等. 证明：如图,作 Rt△A′B′C′,使∠A′= 90°,A′B′=AB,A′C′=AC, 则 A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理). ∵ AB2+AC2=BC2 ,∴BC2 =B′C′2. ∴ BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A =∠A′= 90°(全等三角形的对应角相等). 因此,△ABC 是直角三角形. 【知识归纳】(1)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. (2)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 问题3：观察前面第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系? 上面两个定理呢? 解：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件. 再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等;如果两个角相等,那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧;如果小明发烧,那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等;一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 解：每组中两个命题的条件和结论也有这样的关系:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件. 【知识归纳】在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 问题4：写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题. 它是真命题吗? 解：它的逆命题是:如果两个有理数的平方相等,那么它们相等.不是真命题. 【知识归纳】一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 3.例题精讲 例 已知:在△ABC 中,AB=12cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=13cm.求证:△ABC 是直角三角形. 证明：如图, ∵ BC=10cm,AD是BC边上的中线, ∴ BD=CD=5cm. 又∵ AD=13cm,可得 52+122=132.即 BD2+AB2=AD2. ∴ △ABC 是直角三角形. 4.巩固练习 完成教材课后同步练习 5.课堂小结 1.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.直角三角形的判定:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. $$