6.4.3.1 余弦定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第一课时 余弦定理 学习目标 1.了解向量法证明余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其推论,并能用其解决一些简单的三角形度量问题. 3.能应用余弦定理判断三角形的形状. 新知讲解 导入 同学们熟悉三角形吗？你熟知的三角形哪些几何量吗？他们之间有什么关系？ ①、三边边长、三个内角的度数、面积等. ②、直角三角形(勾股定理)、锐角三角函数等. ③、判定三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS等 给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的 新知讲解 导入 同学们熟悉三角形吗？你熟知的三角形哪些几何量吗？他们之间有什么关系？ 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么呢？ 新知讲解—余弦定理 探究 如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ c b a 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的 数量积 来探究. ①把几何元素用向量表示： 设,,,那么 新知讲解—余弦定理 探究 如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ c b a ②进行恰当的向量运算： ③向量式化成几何式： 同理得：； . 新知讲解—余弦定理 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . 由余弦定理，我们可知：已知三角形的两边及其夹角，可直接求出第三边. 新知讲解—余弦定理 思考 你能用其它方法证明余弦定理吗？ 坐标法 在中，内角，，所对的边分别为如图以点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 () 由两点间距离公式得： = 即 新知讲解—余弦定理 思考 你还能用其它方法证明余弦定理吗？ 几何法 典例分析—余弦定理 例1 ：在△ABC 中，已知b=6 cm，c=3 cm，A=60°，求解a边. 课本P44 在△ABC 中，已知b=2，a=5，C= ，求c. ∵ =27 ∴ a = 学以致用—余弦定理 练习的内角的对边分别为， 若，则（ ） 解： ∵ 学以致用—余弦定理 练习2: 已知中，则 解：如图，∵ ，解得或 新知讲解—余弦定理 思考 已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？ 余弦定理的推论： 新知讲解—余弦定理 思考 余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系。特别的，当定理中的角为90°时，你能得到什么？ 当时，，则 . 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 新知讲解—余弦定理 思考 当角C为锐角时，这三者的关系如何？钝角呢？ 结论：当角为锐角时， 当角为直角时， 当角为钝角时， 余弦定理： 典例分析—余弦定理 例2： 在△ABC 中，若，， 课本P44 2. 在△ABC中，已知 解这个三角形. ∵ 学以致用—余弦定理 练习2. 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB . 学以致用—余弦定理 例3：在中，，，，解这个三角形. 解：∵ 解得或 当时, 当时, 典例分析—余弦定理 课本例5：在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 典例分析—余弦定理 课本例6：在∆ABC中，a=7，b=8，锐角C满足sinC=3√3/14，求B 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 利用计算器，可得 学以致用—余弦定理 练习：在中，若，，，求及. 解：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ 典例分析—判断三角形形状 解：∵ 即 例4：在中，若，则的形状为 . 典例分析—判断三角形形状 练习： 在中，若，试判断的形状. 解：∵ 则， 是直角三角形. 课堂小结 余弦定理及其推论： 利用余弦定理可以解决的问题： 1、已知两边和夹角求第三边。 2、已知三边求三角。 c2=a2+b2 - 2abcosC a2=b2+c2 - 2bccosA b2=c2+a2 - 2cacosB $$