第97天 搞定复数（7考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第97天-搞定复数（7考点） 第97天寄语： 高考是一场逐梦之旅，每一滴汗水都在缩短你与梦想学府的距离。 外面的世界繁花似锦，等待你去拥抱。 识·必备知识 1. 虚数单位：，规定 2. 虚数单位的周期 3. 复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部 4. 复数的分类 5. 复数相等：若 6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；， 7. 复数的几何意义：复数复平面内的点 8. 复数的模：， 则 ； 明·直击考点 序号 考点 考点01 求复数的实部与虚部 考点02 复数相等 考点03 复数的分类及纯虚数概念考查 考点04 复数的几何意义 考点05 复数的模长 考点06 复数与模相关的轨迹问题 考点07 复数多选题 考点01 求复数的实部与虚部 通·模考通透 1．（2025·河南郑州·一模）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（      ） A． B．1 C． D．2 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·二模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 考点02 复数相等 通·模考通透 4．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）若是虚数单位），则的值分别等于（    ） A．4， B．4， C．0， D．0， 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点03 复数的分类及纯虚数概念考查 通·模考通透 7．（2024·江苏镇江·三模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．（2025·安徽合肥·一模）设，若为实数，则（    ） A． B． C． D．2 9．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（      ） A． B． C． D． 考点04 复数的几何意义 通·模考通透 10．（2025·广东·一模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2024·全国·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·四川成都·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 考点05 复数的模长 通·模考通透 13．（2025·安徽·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·山东潍坊·模拟预测）若，则（ ） A． B．1 C．3 D． 15．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．1 B．2 C．2 D．5 考点06 复数与模相关的轨迹问题 通·模考通透 16．（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（   ） A． B． C．7 D．8 17．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数且，则满足的复数的个数为（   ） A．0 B．2 C．1 D．4 18．（2024·湖北鄂州·一模）已知复数，满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 考点07 复数多选题 通·模考通透 19．（2025·江西·一模）已知为虚数单位，虚数满足，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·湖北·模拟预测）已知a，，，.下列结论正确的是（   ） A．若，则不是纯虚数 B．若，则的实部等于虚部 C．若，则的最小值为 D．若，则 21．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则 D．若，则，至少一个为 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东肇庆·二模）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2025·贵州黔东南·模拟预测）复数在复平面内对应点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·浙江·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西榆林·二模）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·广东茂名·一模）已知，则，（    ） A．0 B． C． D． 7．（2025·湖南邵阳·一模）已知复数满足：（，i为虚数单位），则（   ） A．5 B． C． D． 8．（2025·江西·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江西九江·一模）若复数，则（   ） A．2 B．4 C．5 D． 10．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则：（     ）. A．2 B． C． D． 二、多选题 11．（2025·浙江·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·吉林·二模）设复数，则（    ） A．在复平面内z对应的点位于第一象限 B． C． D．若z是关于x的方程的一个根，则 13．（2024·河南·模拟预测）已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 14．（2025·江西新余·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 15．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第97天-搞定复数（7考点） 第97天寄语： 高考是一场逐梦之旅，每一滴汗水都在缩短你与梦想学府的距离。 外面的世界繁花似锦，等待你去拥抱。 识·必备知识 1. 虚数单位：，规定 2. 虚数单位的周期 3. 复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部 4. 复数的分类 5. 复数相等：若 6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；， 7. 复数的几何意义：复数复平面内的点 8. 复数的模：， 则 ； 明·直击考点 序号 考点 考点01 求复数的实部与虚部 考点02 复数相等 考点03 复数的分类及纯虚数概念考查 考点04 复数的几何意义 考点05 复数的模长 考点06 复数与模相关的轨迹问题 考点07 复数多选题 考点01 求复数的实部与虚部 通·模考通透 1．（2025·河南郑州·一模）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（      ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的运算化简判断. 【详解】由， 得，其虚部为 故选：C. 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为复数满足，则， 因此，复数的虚部为. 故选：A. 3．（2025·江西景德镇·二模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的模及乘方求出，再根据复数的虚部的定义即可得解. 【详解】，， 则，∴，则复数的虚部为. 故选：B． 考点02 复数相等 通·模考通透 4．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）若是虚数单位），则的值分别等于（    ） A．4， B．4， C．0， D．0， 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案． 【详解】，，． 则，的值分别等于4，． 故选：B． 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数除法运算及复数相等得，然后利用复数的除法运算求解即可. 【详解】. 故选：D 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据条件得出，再根据复数的乘法运算可得出，然后即可求出的值． 【详解】解：，， ，，. 故选：C. 考点03 复数的分类及纯虚数概念考查 通·模考通透 7．（2024·江苏镇江·三模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用纯虚数的定义和复数的运算求解即可. 【详解】， 复数为纯虚数，故且，则. 故选：C 8．（2025·安徽合肥·一模）设，若为实数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先计算化简，结合为实数求解. 【详解】因为 为实数， 可得 故选：A. 9．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，将四个选项代入检验，得到答案. 【详解】由题意得， A选项，当时，，不合题意，A错误； B选项，当时，，不合要求，B错误； C选项，当时，，故C正确； D选项，当时，，D错误. 故选：C 考点04 复数的几何意义 通·模考通透 10．（2025·广东·一模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数的除法法则计算结合复数的几何意义即可求解. 【详解】对应的点坐标是位于第四象限， 故选：D 11．（2024·全国·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出复数，再利用复数的除法计算得解. 【详解】依题意，，所以． 故选：A 12．（2024·四川成都·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义得出对应不等式即可得结果. 【详解】复数，其对应的点在第二象限， 则，解得． 故选：A 考点05 复数的模长 通·模考通透 13．（2025·安徽·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的四则运算结合模长公式即可求解； 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D 14．（2025·山东潍坊·模拟预测）若，则（ ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算及模的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 15．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．1 B．2 C．2 D．5 【答案】C 【分析】先对复数进行化简，将其整理成（）的标准形式，再根据复数的模的计算公式来计算的值. 【详解】化简复数 , 计算. 可得：， 根据复数模的计算公式，可得. 所以. 故选：C. 考点06 复数与模相关的轨迹问题 通·模考通透 16．（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】设，，复数在复平面内对应的点为，，，复数在复平面内对应的点为，依题意可得、的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得的最大值. 【详解】设，，，， 因为，， 所以，， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又表示点与的距离， 所以的最大值是， 故选：D. 17．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数且，则满足的复数的个数为（   ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】由可得复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又的几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，则由圆心到直线的距离为，即可得到复数的个数. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又可以变形为， 即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为， 又圆心到直线的距离为， 而，所以满足条件的不存在. 故选：A. 18．（2024·湖北鄂州·一模）已知复数，满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，设相关点，分析可知点的轨迹表示为焦点分别为的椭圆，结合椭圆的对称性分析求解. 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为 ， 由题意可知：， 可知点的轨迹表示为焦点分别为的椭圆， 则长半轴长为，半焦距，短半轴长为， 且该椭圆的长轴所在直线为，短轴所在直线为． 因为点在上，且， 若使得最小，则需取得最小值， 即点为第一象限内的短轴端点，此时． 故选：D. 考点07 复数多选题 通·模考通透 19．（2025·江西·一模）已知为虚数单位，虚数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先对式子进行因式分解，解得，再分别对每个选项逐个计算得答案. 【详解】由得，， 所以或(舍) 选项A，因为，所以，A 正确； 选项B, ，B错误； 选项C, ， 所以C正确；选项D，，所以D错误. 故选：AC 20．（2025·湖北·模拟预测）已知a，，，.下列结论正确的是（   ） A．若，则不是纯虚数 B．若，则的实部等于虚部 C．若，则的最小值为 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数相等建立方程组求得参数值，再利用乘法运算以及复数的相关概念，可得AB的正误；根据模长公式可得参数的等量关系，利用二次函数的性质以及对数的运算，可得CD的正误. 【详解】对于AB，由，则，可得，解得， 所以，显然是纯虚数，故A错误，B正确； 对于CD，由，则，可得， 所以， 且，故C正确，D错误. 故选：BC. 21．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则 D．若，则，至少一个为 【答案】BC 【分析】设，结合共轭复数定义和复数运算即可判断选项A，利用复数运算即可判断选项B，设，，结合共轭复数与复数的模的概念和复数运算即可判断选项C，以特例利用排除法即可判断选项D. 【详解】对于A项，设， 则，，所以， 当时，，A项错误； 对于B项，由，得， 即，所以，B项正确； 对于C项，设，， 由，得，即， 所以，又，所以，C项正确； 对于D项，取，， 满足，但，均不为，D项错误. 故选：BC 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用复数的四则运算，得，再利用复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以的虚部是， 故选：A. 2．（2025·广东肇庆·二模）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：C. 3．（2025·贵州黔东南·模拟预测）复数在复平面内对应点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解. 【详解】由题意可得, ， 故复数在复平面内对应点为， 因为是第四象限的点， 故选：D 4．（2025·浙江·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】， 又，所以. 故选：D 5．（2025·陕西榆林·二模）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】化简后由复数相等的条件可求得结果. 【详解】由，得， 所以，. 故选：C 6．（2025·广东茂名·一模）已知，则，（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法运算法则运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 7．（2025·湖南邵阳·一模）已知复数满足：（，i为虚数单位），则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用复数的除法求得复数，从而求出其模长. 【详解】∵， ∴，∴， ∴. 故选：C. 8．（2025·江西·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用复数的乘除法运算即可. 【详解】因为，所以． 故选：D. 9．（2025·江西九江·一模）若复数，则（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】应用复数除法求复数，再求共轭复数，进而求复数的模. 【详解】， ，. 故选：A 10．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则：（     ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的四则运算、共轭概念、模长公式代入计算即可. 【详解】， 所以 则，其模为， 故选：C. 二、多选题 11．（2025·浙江·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设出复数的代数形式，由模的意义求出，再逐项判断得解. 【详解】设，由，得，解得， 对于A，不是实数，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得；由，得，，因此，D错误. 故选：BC 12．（2025·吉林·二模）设复数，则（    ） A．在复平面内z对应的点位于第一象限 B． C． D．若z是关于x的方程的一个根，则 【答案】AC 【分析】A项结合对应点坐标可得；B项由复数除法运算可得；C项由复数乘法运算可得；D项将代入方程，化简整理由复数相等条件可待定. 【详解】A项，复数对应点位于第一象限，故A正确； B项，，故B错误； C项，，故C正确； D项，若z是关于x的方程的一个根， 则，化简得， 所以有，解得，故D错误. 故选：AC. 13．（2024·河南·模拟预测）已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由复数的几何意义可得在复平面所对应的点的轨迹方程为，由双曲线的几何性质即可判断AB，由复数的定义结合双曲线的标准方程代入计算，即可判断CD. 【详解】设，则其在复平面所对应的点坐标为， 由可得， 即， 由双曲线的定义可得，对应的点的轨迹是以为焦点的双曲线， 且焦点在轴上，，，， 则双曲线的标准方程为， 对于A，表示双曲线上的点到坐标原点的距离， 则双曲线上的点到坐标原点的距离最小值为顶点到原点的距离，即， 所以，故A正确； 对于B，由可得，且， 所以，， 则，故B错误； 对于C，若，则，所以，则，故C正确； 对于D，因为，则，又，所以， 由可得，则，故D正确； 故选：ACD 14．（2025·江西新余·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【分析】根据复数不能比较大小判断A，应用加法及模长公式计算判断B，应用共轭复数及复数得乘法计算判断C，结合除法运算律及对应点的坐标判断D. 【详解】虚数不能比较大小，A选项错误； 复数，则，则，B选项正确； ，C选项错误； 对应点为，D选项正确. 故选：BD. 15．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 故选：BC. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$