第89天 搞定函数的基本性质（11考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第89天-搞定函数的基本性质（11考点） 第89天寄语： 今天的每一道题，都在为明天铺路。 识·必备知识 1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 单调性 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 4. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 明·直击考点 序号 考点 考点01 根据函数的奇偶性求参数值 考点02 根据函数单调性、奇偶性解不等式 考点03 根据函数单调性、奇偶性比较函数值大小关系 考点04 构造函数比较函数值大小关系 考点05 函数周期性的综合应用 考点06 函数对称性的综合应用 考点07 周期性对称性的综合应用 考点08 周期性奇偶性的综合应用 考点09 奇偶性对称性的综合应用 考点10 函数性质的全部综合应用 考点11 函数性质的多选题 考点01 根据函数的奇偶性求参数值 通·模考通透 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可. 【详解】由， 得， 因为为偶函数，所以， 即， 所以，解得. 故选：. 2．（2024·广西南宁·一模）已知为奇函数，则（    ） A．3 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】确定函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称，可求得a的值，验证后即可确定答案. 【详解】由题意可得， 即，且，且， 由于为奇函数，故其定义域关于原点对称， 故， 此时，定义域关于原点对称，满足， 即为奇函数，符合题意，故， 故选：B 3．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 故 所以， 故或（舍去）， 故选：D 考点02 根据函数单调性、奇偶性解不等式 通·模考通透 4．（2024·河南·模拟预测）已知，则的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据定义判断奇偶性，由解析式判断对数复合函数的单调性，综合运用奇函数、单调性解不等式即可. 【详解】由，且定义域为R， 根据在上递增，则在上递增， 又在上递增，则在上递增， 结合奇函数性质且函数在R上连续，则在R上递增， 由， 所以，解集为或. 故选：D 5．（2025·广东·一模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断是偶函数，判断函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】，， 又 ，所以函数是偶函数， 当时，，易得单调递增， 不等式，即， 等价于， ，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质，可得，进而根据奇偶性的定义可判断为偶函数，根据对勾函数的单调性以及复合函数单调性原则可得的单调性，即可求解. 【详解】，由于， 故为偶函数， 当时，则在单调递增，因此在单调递增， 因此在单调递减， 由可得，解得， 故选：A 考点03 根据函数单调性、奇偶性比较函数值大小关系 通·模考通透 7．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 8．（2024·宁夏·模拟预测）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，然后结合的单调性，即可得到结果. 【详解】因为且，所以， 令且，则， 当时，，故函数单调递增， 当时，，故函数单调递减； 所以， 所以在上单调递增， 令，则， 所以在上单调递减，， 即，则，即. 故选：D 9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数为偶函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由偶函数定义待定，再将自变量取值由对称性转化至，然后由指对函数性质比较自变量取值的大小，借助函数单调性可比较大小. 【详解】因为函数为偶函数， 则即， 即对于恒成立，所以，即． 当时，. 而， 因为在内单调递增，则， 又在定义域内单调递增，则， 在上单调递增，又， ，即． 故选：A． 考点04 构造函数比较函数值大小关系 通·模考通透 10．（2024·江西新余·模拟预测）已知定义在上的函数处处导数存在，，则下列情况一定成立的是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造函数法，结合导数来对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 令，则， 故单调递增，又， 所以，即， 移项可得A选项正确，B选项错误； 另外，，，由于与0的大小关系不确定， 故C、D无法判断. 故选：A 11．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性比较三个数的大小. 【详解】构造函数， 则，故函数在上递增， 所以, 又，，， 所以， 又是偶函数，则 ， 所以，，，. 故选：B. 12．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得. 【详解】令，由是定义在上的奇函数， 可得是定义在上的偶函数， 又因为时，， 所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数， 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 由，可得， 故，所以； 设，则， 所以在单调递增， 故，所以，即 所以，所以， 故选：D 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数研究其单调性，进而比较；对作差，运用对数的运算性质和基本不等式可得的大小关系.综合可得三者之间的大小关系. 【详解】设， 则在上恒成立， 所以在单调递减， 所以， 即， 所以， 因为 ， 所以， 综上：. 故选：A． 考点05 函数周期性的综合应用 通·模考通透 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得函数的一个周期为12，利用周期性求值. 【详解】根据题意，，显然，所以， 所以，所以函数的一个周期为12， 所以. 故选：B. 15．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解. 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 16．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的周期性、赋值法等知识求得正确答案. 【详解】取，代入， 得，解得， 令，则， 故， 所以是周期为的周期函数， ， ， 所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：求解抽象函数求值有关问题，可考虑利用赋值法、函数的周期性等知识来进行求解.对于一个函数，如果存在一个非零实数，使得对所有都满足，那么这个函数就是周期函数，是它的周期. 考点06 函数对称性的综合应用 通·模考通透 17．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由题意可得，代入展开后，结合等式恒成立，即可求得答案. 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 18．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 19．（2024·甘肃·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得. 【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称． 函数满足，则函数的对称中心为， 所以，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出的对称中心为，再结合直线过定点即可求得结果. 考点07 周期性对称性的综合应用 通·模考通透 20．（2025·江西景德镇·二模）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】由题意可得函数的周期与对称轴，可得函数在自变量取整数时的函数值，可得答案. 【详解】∵，， 则， ∴的最小周期为4．令，解得． ∵为偶函数，由函数的图象可由函数的图象向左平移个单位， ∴关于直线成轴对称．∴，∴， ∴．又，∴，， ∴. 故选：A． 21．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 【答案】C 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示，    由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 22．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，故，求导得到，两边求导得到，从而得到，故，故是的一个周期，其中，根据周期性求出答案. 【详解】由于，则， 两式相加得， 故， 所以， 故，即， 其中两边求导得，， 故， 故， 将替换为得， 又， 故， 将替换为得， 则， 故是的一个周期， 其中， 故， 故. 故选：D 【点睛】结论点睛： 设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 考点08 周期性奇偶性的综合应用 通·模考通透 23．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当 时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，结合奇偶性可得，可得函数的周期为8的周期函数，进而可求. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 又因为是奇函数，， 所以，所以， 所以，所以函数的周期为8的周期函数， 所以. 故选：B. 24．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，， 可得，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 可得， 又因为当时，， 可得，所以. 故选：C. 25．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质得到，然后通过求导得到，再结合为奇函数得到的周期，根据为奇函数和得到，最后利用周期性计算即可. 【详解】由为奇函数可得， 两边分别求导可得， 即，故，所以， 又为奇函数，所以，可得， 故，从而， 故是的一个周期， 在中，分别令和可得：，， 所以． 由为奇函数可得， 故，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：周期性的相关结论： ①，则周期； ②，则周期； ③，则周期. 考点09 奇偶性对称性的综合应用 通·模考通透 26．（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】构造函数，证明为奇函数，从而得到，即可求出的值. 【详解】令，定义域为， 因为在上的最大值和最小值分别为，， 所以在上的最大值和最小值分别为，， 因为， 所以为奇函数，的图象关于原点对称， 所以的最大值和最小值互为相反数，即， 所以， 故选：A. 27．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用图象变换求得函数的图象关于对称，进而得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称， 因为，所以且，解得. 故选：A. 考点10 函数性质的全部综合应用 通·模考通透 28．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 29．（2024·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则计算即可. 【详解】因为为奇函数，则，即， 两边求导得， 所以关于直线对称， 即，∴① 又因为为奇函数，则， 即，可知关于点对称， 即②， 由①②得，，，即8为的周期． 注意到， 所以， . 故选：D． 30．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数，结合导数运算，由为奇函数，得到，通过整理可得，进而分析得到,,从而得出结果. 【详解】为奇函数，. 即，两边求导得， 则，可知关于直线对称， 又为奇函数，所以， 即，可知关于直线对称， 令，可得，即， 由，可得， 由，可得，即， 可得，即， 令，可得； 令，可得； 且，可知为的周期. 可知,, 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 31．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 32．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，得到的一个周期是，再根据函数的周期性和奇偶性，求得的值，进而得到答案. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且， 令，得，所以； 令，得，所以，所以是偶函数， 令，得①，所以②， 由①②知，所以， 所以，所以的一个周期是， 由②得，所以，同理，所以， 又由周期性和偶函数可得： 所以， 所以. 故选：B. 考点11 函数性质的多选题 通·模考通透 33．（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得. 【详解】因为所以所以， 取，由可知，，故A错误； 取，由知，， 所以，故B正确； 令，由知，，即， 又因为，所以，故C错误； 由得，， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 34．（2024·湖北·一模）已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数为周期函数 B． C．的图像关于点中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据表达式化简计算可得，即A正确，因为偶函数在原点处的取值不确定，可判断B错误，由对称中心定义可判断C正确，利用累加法计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，即的周期为2，A正确. 对于B，因为为偶函数，令可得无法确定，B错误， 对于C，因为为偶函数，所以， 可得， 因此关于点中心对称，即C正确； 对于D，，， 累加可得，所以，即D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：在求解对称中心问题时，要充分利用定义将表达式化简得出相应结论即可. 35．（2024·山西·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BCD 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A错误； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B正确； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：BCD. 36．（2025·云南昆明·模拟预测）函数及其导函数的定义域均为R，是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可. 【详解】对于A，由函数是R上的奇函数，得，A正确； 对于B，由，令，得， 而，解得，B错误； 由，两边求导得， 令，得，则， 即，于是， 即，因此， 即，则，且， 函数都是周期为的周期函数，， 对于C，，C正确； 对于D，，而，则， 即，因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质. 37．（2024·广东韶关·一模）若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，令求解即可；对于B，令得即可判断；对于C，令得，判断出为偶函数即可做出判断；对于D，通过赋值法，分别求出，发现具有周期性，再利用周期性求解即可. 【详解】原式移项得， 即 对于A，令，则由可得， 故（舍去）或，故A正确： 对于B，令，则，故. 由于，令，则，所以，即有，故B正确： 对于C，令，则，即， 因为，所以，所以为偶函数， 对左右两边同时求导得，所以为奇函数，故C错误； 对于D，由A选项，若， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 由此可得的值有周期性，且周期为6， 且， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：若，的定义域均为，且，则： （1）若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，反之未必成立. （2）若为周期函数，则也是周期函数，且周期相同，反之未必成立. 练·抢分演练 一、填空题 1．（2025·四川内江·一模）若函数为奇函数，则实数m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据函数是定义在R上的奇函数，应用计算求参. 【详解】函数为定义在R上的奇函数, 所以，所以. 故答案为：2. 二、单选题 2．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由奇偶性及周期先确定，进而得到，即可求解； 【详解】由题故．又，，故． 结合周期性可知， 故． 故选：C 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由可得，代入到，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】由题意函数知，函数定义域为R， 则， 故，所以为奇函数， 而在R上单调递增，则在R上单调递增， 由，得， 则， 则， 当时，取最小值， 故选：C 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性的性质，即可求解. 【详解】是定义在上的奇函数，有， 是定义在上的偶函数，有， 的值域为，故， 则有，得， 所以， 与有相同的值域， 因此的最小值为， 故选：C 5．（2025·陕西咸阳·一模）已知是定义域为R的偶函数，且，则（   ）． A．2025 B．5050 C．6024 D．6075 【答案】D 【分析】根据题意结合偶函数的定义分析可知的一个周期为4，利用赋值法可得，，进而可得结果. 【详解】因为是定义域为R的偶函数，且， 则，即， 可得，可知的一个周期为4， 对于，令，可得，即， 对于， 分别令，可得， 即， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 6．（2025·辽宁·模拟预测）设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由和得，进而得，故的周期为.由函数的图象关于直线对称得的对称轴为，赋值后根据周期性可得. 【详解】由，得， 两式相加得， 两边取导数得，即， 则，所以是以6为一个周期的周期函数， 由函数的图象关于直线对称，得， 则，所以直线是图象的一条对称轴， 由，两边取导数得， 则， 令，得，又，所以； 令，得；令，得； 令，得；令，得. 所以， 因为， 所以. 故选：B 三、多选题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且.则（   ） A． B． C． D．可能为增函数 【答案】ABD 【分析】利用赋值可求出特殊值，从而判断AB选项，利用举特例函数，来检验CD选项即可. 【详解】因为，， 所以令，可得，故A正确； 再令，可得，又因为， 所以， 又令，可得，所以，故B正确； 不妨取，则， ， 此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误； 但由于此时在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 8．（2025·云南昭通·一模）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确； 【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则， 又因为，令则，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误； 对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确； 对于C：在上也单调递增，故C错误； 对于D：则 而在上也单调递增，则，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心. 9．（2025·陕西榆林·二模）对于，满足，，且对于任意，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】抽象函数，对于ACD选项采用赋值法求解，B选项倒序相加即可； 【详解】A选项：因为，所以取得，，A选项正确； B选项：令，则， 两式相加得， 解得，B选项错误； C选项：因为，所以取得，，由， 取得，，解得， 因为，所以，，，，，C选项正确； D选项：因为，，且， 所以，即，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可. 10．（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B．为周期函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数的性质，并结合导数来判断各个选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】令，代入可得： ，即，所以， 令，则，即， 令得， 以替换，则， 以替换，则，所以函数是周期为的周期函数. 令，则，即， 所以是偶函数，A选项正确. 因为是周期为的周期函数，对两边求导得： ，即. 替换，则. 以替换，则， 所以是周期为的周期函数，B选项正确. 由的周期为，且，，，. ，C选项错误. 因为的周期为，，所以. 又，两边求导得，即， 所以. 而，令， 可得，即，. 对两边求导得，令，得. 对两边对求导， 得， 即 令， 可得，所以，则，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于抽象函数性质的研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的奇偶性、周期性等关键性质. 函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的性质，反之亦然. $$第89天-搞定函数的基本性质（11考点） 第89天寄语： 今天的每一道题，都在为明天铺路。 识·必备知识 1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 单调性 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 4. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 明·直击考点 序号 考点 考点01 根据函数的奇偶性求参数值 考点02 根据函数单调性、奇偶性解不等式 考点03 根据函数单调性、奇偶性比较函数值大小关系 考点04 构造函数比较函数值大小关系 考点05 函数周期性的综合应用 考点06 函数对称性的综合应用 考点07 周期性对称性的综合应用 考点08 周期性奇偶性的综合应用 考点09 奇偶性对称性的综合应用 考点10 函数性质的全部综合应用 考点11 函数性质的多选题 考点01 根据函数的奇偶性求参数值 通·模考通透 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．（2024·广西南宁·一模）已知为奇函数，则（    ） A．3 B． C．0 D． 3．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 考点02 根据函数单调性、奇偶性解不等式 通·模考通透 4．（2024·河南·模拟预测）已知，则的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2025·广东·一模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 考点03 根据函数单调性、奇偶性比较函数值大小关系 通·模考通透 7．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·宁夏·模拟预测）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数为偶函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点04 构造函数比较函数值大小关系 通·模考通透 10．（2024·江西新余·模拟预测）已知定义在上的函数处处导数存在，，则下列情况一定成立的是：（     ）. A． B． C． D． 11．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点05 函数周期性的综合应用 通·模考通透 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 16．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点06 函数对称性的综合应用 通·模考通透 17．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 18．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·甘肃·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 考点07 周期性对称性的综合应用 通·模考通透 20．（2025·江西景德镇·二模）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 21．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 22．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 考点08 周期性奇偶性的综合应用 通·模考通透 23．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当 时，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 25．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 考点09 奇偶性对称性的综合应用 通·模考通透 26．（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 27．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 考点10 函数性质的全部综合应用 通·模考通透 28．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 29．（2024·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（   ） A． B． C．0 D．1 30．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 考点11 函数性质的多选题 通·模考通透 33．（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 34．（2024·湖北·一模）已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数为周期函数 B． C．的图像关于点中心对称 D． 35．（2024·山西·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 36．（2025·云南昆明·模拟预测）函数及其导函数的定义域均为R，是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C． D． 37．（2024·广东韶关·一模）若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 练·抢分演练 一、填空题 1．（2025·四川内江·一模）若函数为奇函数，则实数m的值为 ． 二、单选题 2．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 5．（2025·陕西咸阳·一模）已知是定义域为R的偶函数，且，则（   ）． A．2025 B．5050 C．6024 D．6075 6．（2025·辽宁·模拟预测）设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D．0 三、多选题 7．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且.则（   ） A． B． C． D．可能为增函数 8．（2025·云南昭通·一模）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 9．（2025·陕西榆林·二模）对于，满足，，且对于任意，恒有，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B．为周期函数 C． D． $$