精品解析：湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

2025年邵阳市高一联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（ ）（参考数据： ） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 8. 已知函数的图象关于直线对称，，当时，都有设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 函数（且）的图象必过定点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的最小正周期是 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若．且，则 C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在区间内恰有一个零点，则 B. 若在区间内恰有一个零点，则或 C. 若在区间内有零点，则 D. 若在区间内有零点，则 三、填空题：本大题共3小题．每小题5分，共15分 12. 已知，则的取值范围为________． 13. 求值：________． 14. 已知，若存在实数a（且），，当时，都有，则实数b的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1） （2）已知，求． 16. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在0～6小时内随时间（单位：h）的变化曲线如图所示．当时，可选择用函数来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画随变化的规律． （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 17. 已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称． （1）求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程； （2）若，且，求的值． 18. 已知函数，是定义在R上的奇函数． （1）求实数a的值； （2）判断在R上的单调性，并证明你的结论； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围． 19. 阅读材料： 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念： 设连续函数的定义域为区间， 如果，都有，则称为区间上的凹函数； 如果，都有，则称为区间上的凸函数． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）： 若是区间I上的凹函数，则有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）； 若是区间I上的凸函数，则有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． 小组成员询问老师，得到了如下评注： 在运用琴生不等式求含有多个变量的式子的最值问题时，关键是构造函数． 解决下面问题： （1）已知A，B，C分别为的三个内角，直接写出的最大值（不用写出解题过程）； （2）判断二次函数在R上的凹凸性，并说明理由： （3）若是一组实数，且 （为定值），试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年邵阳市高一联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义计算判断. 【详解】因为集合， 则. 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解； 【详解】命题“”的否定是， 故选：C 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性、单调性即可判断； 【详解】由的图象关于原点对称，为奇函数， 对于A: ，排除A， 对于C，非奇非偶，排除， 对于D，易知在区间上单调递增，排除D． 通过排除法，符合条件的只有B， 故选：B 4. 用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将化成弧度结合选项即可求解； 【详解】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 5. 已知，“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性由“”得到，再判断“”是“”的既不充分也不必要条件即可. 【详解】利用指数函数的单调性由“”得到“”， 当时，满足，推不出来，故是不充分条件； 又当时，满足，推不出来，故是不必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法，令，再分情况讨论：当时，恒成立．当时，用分离参数法即可求得结果. 【详解】令，则．依题意得：，对恒成立． 显然时，恒成立．当时，． 而在上单调递减， ∴时，即时，，∴． 故选：A． 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（ ）（参考数据： ） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式及一杯的热水降至大约用时1分钟求得，再将数据代入得方程，利用对数的运算律计算即可得到答案. 【详解】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟， ∴，即； 设水温从降至，需要的时间为t分钟， ∴，即， ∴， ∴ ∴水温从降至，大约还需要10分钟． 故选：B． 8. 已知函数的图象关于直线对称，，当时，都有设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得函数在上单调递增．且函数是定义在R上的偶函数，再由，比较三个数的大小即可． 【详解】由题意可知，当时，， 由可得，则函数在上单调递增． 又函数的图象关于直线对称， 由函数图象平移变化可知，函数是定义在R上的偶函数， 则． 由于函数在单调递增，即比较三个数的大小． ， 注意到，因为，所以， ∴，∴． 因为，所以， ∴，∴，所以． ∴，即． 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 函数（且）的图象必过定点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的最小正周期是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A选项，设，将点代入求解判断；对B选项，由判断；对C选项，先由，得到函数的定义域判断；对D选项，利用周期公式求解判断. 【详解】对A选项，设，则，得．∴，故A错误； 对B选项，，故B正确； 对C选项，，则，单调增区间为，故C错误； 对D选项，的周期为，故D正确． 故选：AC 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若．且，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，由分子分母同除以求解判断；对选项B，利用两角和的余弦公式求解判断；对选项C，利用二倍角的正弦公式求解判断；对选项D，利用两角和的正切公式求解判断. 【详解】对选项A，分子分母同除以得，即，故A正确； 对选项B，∵，∴， ∴， ∵，∴，∴．故B正确； 对选项C，， ，故C错误； 对选项D，， ，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在区间内恰有一个零点，则 B. 若在区间内恰有一个零点，则或 C. 若在区间内有零点，则 D. 若在区间内有零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】把零点转化为两个函数的交点，画出函数图象，数形结合根据交点个数分别求参即可. 【详解】对A选项，B选项，在内恰有一个解． 当时，显然不是的解， 当时，可化为与，恰有一个交点． 设与恰有一个交点，由图知， 或， ∴或，故B正确，A错； 对C选项，D选项在有零点在内有解， 与有交点，由图得：，故D正确，C错． 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题．每小题5分，共15分 12. 已知，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 13. 求值：________． 【答案】1 【解析】 【分析】由，切化弦，再由辅助角公式即可化简求值； 【详解】 ． 故答案为：1 14. 已知，若存在实数a（且），，当时，都有，则实数b的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题干构造函数，再利用分段函数的单调性即可求得结果. 【详解】由，得（假设）， 设， 由题意得存在a使在R上为增函数， 故，故， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分段函数的单调性需要：（1）当时，函数单调递增， （2）当时，函数单调递增，（3）在断开点时，函数也是单调递增.列出等式即可求得结果. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1） （2）已知，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据指数幂运算即可； （2）根据对数运算法则和性质即可求出，则得到答案. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 由题意得：，∴．故． ∴，即 16. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在0～6小时内随时间（单位：h）的变化曲线如图所示．当时，可选择用函数来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画随变化的规律． （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 【答案】（1） （2）3.50小时 【解析】 【分析】（1）通过已知函数模型代入点求参数即可； （2）通过方程，求解，相减即可； 【小问1详解】 由题意知，当时，函数过点，代入得． 所求曲线的函数解析式为 【小问2详解】 当时，令，解得． 当时，令，两边同时取常用对数得：， ∴，解得 ∴． 故病人一次性服用药物，持续有疗效时长约为3.50小时． 17. 已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称． （1）求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）对称中心的坐标为，对称轴的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期是，得到，再利用偏移变换得到，然后根据为奇函数求解； （2）若，则，由在上递增，在上递减，且，得到，即求解； 【小问1详解】 ∵函数的最小正周期是， ∴，则． 将的图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为， ∵为奇函数，，即． ∵，∴，∴ 令，则； 又令，则． ∴的图象的对称中心的坐标为， 对称轴的方程为． 【小问2详解】 若，则． 而在上递增，在上递减， 若且，则， 可得， ∴. 18. 已知函数，是定义在R上的奇函数． （1）求实数a的值； （2）判断在R上的单调性，并证明你的结论； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）在R上单调递增，证明如下： 任取，且 则． 由，及函数为增函数可得：， ∴，得， ∴在R上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解. （2）利用作差法，根据函数单调性的定义即可判断. （3）结合已知条件及函数的单调性将已知条件转化为关于x的方程有两个不等实根；再利用换元法令， 得出关于k的方程有两个大于1的不等实根；最后根据方程与函数的关系，借助函数图象即可求解. 【小问1详解】 ∵是定义在R上的奇函数， ∴，解得． 经检验时，是奇函数． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）的结论易知在上单调递增． 因为函数在上的值域为， 所以 即关于x的方程有两个不等实根． 令， 则关于k的方程有两个大于1的不等实根. 故函数与的图象有两个不同交点. 作出函数的图象 由图可知， 故实数t的取值范围为． 19. 阅读材料： 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念： 设连续函数的定义域为区间， 如果，都有，则称为区间上的凹函数； 如果，都有，则称为区间上的凸函数． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）： 若是区间I上的凹函数，则有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）； 若是区间I上的凸函数，则有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． 小组成员询问老师，得到了如下评注： 在运用琴生不等式求含有多个变量的式子的最值问题时，关键是构造函数． 解决下面问题： （1）已知A，B，C分别为的三个内角，直接写出的最大值（不用写出解题过程）； （2）判断二次函数在R上的凹凸性，并说明理由： （3）若是一组实数，且 （为定值），试求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，为凹函数；当时，为凸函数． 理由：任取， 当时，，由条件得，为凹函数； 当时，，由条件得，为凸函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由在上为凸函数，即可求解； （2）分别就时，时，理由凹凸函数的定义判断即可； （3）由时，为凹函数，即可求解； 【小问1详解】 , 理由如下：由在上的图像可知其为凸函数， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，时， 为上的凹函数， 由题意构造 则有： ， 当且仅当时，等号成立． 故的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $