第三章 圆-同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章 圆 一、选择题： 1.下列图形中的角是圆心角的是(    ) A. B. C. D. 2.在正方形中，以点为圆心，对角线长为半径作，下列说法正确的是 A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 点在圆内 3.已知的半径是，点在圆内，则线段的长可能是  (    ) A. B. C. D. 4.半径为，圆心角为的扇形面积为(    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 各边都相等的多边形是正多边形 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 6.如图，在中，弦的长为，圆心到的距离，则的半径长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，若是的直径，是的弦，，则度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，是的切线，交于点，如果，，那么的长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，若，则的周长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 10.上海海关大钟是目前上海世界上仅存的三座“大本钟”之一，名列亚洲第一、世界第三大钟的分针约长，从至，分针尖端走过的路程约是_________取 11.如图，与相切于点，，的半径为，则的长为          ． 12.如图，在中，，，则           13.如图，的半径为，点是弦上一动点，且点到圆心的最短距离为，则弦的长为             ． 14.有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”一种直角曲尺，可以画直角过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______． 15.墨经是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转，则重物“甲”上升了______绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留． 16.如圖，、、在上，為平分線，，則________度． 17.如图，在中，，，，若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为______，最大值为______． 18.如图，与四边形各边都相切．若，，，则长为          ． 三、解答题： 19. 在圆柱形包装盒的侧面上设计商品的名称时，为了获得较好的视觉效果，名称的总长度截面的弧长所对的圆心角一般定为如图已知一个圆盒的底面半径为，要在它的侧面设计“草莓冰淇淋”的字样，商标纸的长应为多少？取 20.如图，，，，是上的四点，，与全等吗？为什么？ 21.如图，为内一点，利用尺规作一条弦，使过点，并且． 22.如图，在圆内接四边形中，为圆心，，求的度数． 23.如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，是的直径，连接并延长交直线于点． 求证：； 延长交的延长线于点若的半径为，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为顶点在圆心的角为圆心角， 所以选项正确． 故选：． 利用圆心角的定义对各选项进行判断． 本题考查了圆心角的定义：顶点在圆心的角为圆心角． 2.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ， ， 以点为圆心，对角线长为半径作， 则点是圆心，点在上，点、在内， 选项A符合题意； 故选A． 3.【答案】  【解析】的半径是，点在圆内， 的长． 4.【答案】  【解析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，扇形的面积为：； 故选D． 5.【答案】  【解析】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故不符合题意； C、各边都相等且各角也都相等的多边形是正多边形，故不符合题意； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故符合题意； 故选：． 分别利用确定圆的条件、三角形的内心的性质、圆周角定理、正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了正多边形与圆，确定圆的条件、三角形的内切圆与内心，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6.【答案】  7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理得出，由圆周角定理可知，则和互余，由此得解． 【解答】 解：是的直径， ， ； 又， ． 故选B． 8.【答案】  【解析】解：连接， 为的切线， ， ，， ，则， 故B． 故选：． 直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出的长． 此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键． 9.【答案】  【解析】解：，分别是的切线， ， 、分别为的切线， ， 、分别为的切线， ， 三角形的周长． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆的有关概念有关知识，从：到分针正好转了圈，又因分针长米，即分针所经过的圆的半径是米，从而利用圆的周长公式即可求出分针走过的路程 【解答】 解： 答：分针尖端走过的路程约是 11.【答案】  12.【答案】．  【解析】根据等弧所对的弦相等求得，从而判定是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角；最后由三角形的内角和定理求的度数即可． 【详解】解：在中，， ， 是等腰三角形， ； 又， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于，连，根据垂线段最短得到，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，即可得到． 【解答】 解：过点作于，连， 如图， ，， 在中，， ， ． 故答案为． 14.【答案】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等  【解析】解：这种四等分圆周的方法的道理是：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 故答案为：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 根据圆周角定理解答即可． 本题考查了作图应用设计作图，正多边形和圆，熟记在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由弧长公式可得，， 即重物“甲”上升了， 故答案为：． 根据弧长公式求出半径为，圆心角度数为所对应的弧长即可． 本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的关键． 16.【答案】  【解析】解：为平分线，， ， ． 故答案为 17.【答案】；  【解析】【分析】 本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点的运动轨迹为一段优弧．根据，，作的外接圆，连接，当、、三点共线时，的值最小或最大．将问题转化为点圆最值．可证得为等边三角形，，，由勾股定理可求得的长，最后求得的最值． 【解答】 解：如图，作的外接圆，因为是求线段长度的最小值，故圆心在的右侧，连接，当、、三点共线时，的值最小． ， 是的直径， 连接， ，， 是等边三角形， 在中，，， ， ， 作于， ， ， 是的中位线， ， 在中，，，， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，为． 如图，作的外接圆，因为是求线段长度的最大值，故圆心在的左侧，连接，当、、三点共线时，的值最大． 同理证得，，， ， 当、、三点共线时，最大，为． 故答案为：；． 18.【答案】  【解析】根据切线长定理可得，即可求的长度． 【详解】与四边形各边相切， ， ，，， ， 故答案为． 19.【答案】解：商标纸的长． 因此，商标纸的长约为． 20.【答案】解：与全等．理由如下： ，， ， 即，． 又， ≌． 21.【答案】解：如图所示． 作法：连接并延长． 过点作的垂线，交于点，． 线段为所求的弦．   22.【答案】解：，，，，四点共圆，，．  23.【答案】证明：连接，如图． ，是的切线，，是的半径， ，， ，  ， ， ， ． 又， ． 解：连接，，如图． 在中，． 设，，则，． 在中，，即，解得． ，． 是的直径， ． ，， ． ， ． 【解析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等，熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键． 连接，利用切线的性质和切线长定理得到，，利用等腰三角形性质和等量代换得到，利用等量代换即可证明； 连接，，在中，利用，得到设，则，在中，利用建立等式算出的值，进而得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形的性质即可求出． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$