精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

江苏省扬州中学 2024-2025 学年第二学期 2 月自主学习效果评估 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知是幂函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解. 【详解】由题意得，得． 故选：B. 2. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件必要条件的定义，结合正切函数的性质，作出判断． 【详解】当时,此时，的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为， 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为：“”. 故选：D. 4. 已知角顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 5. 若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得的范围． 【详解】解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 要使函数在上单调， ，或，解得，或，即， 故选：． 6. 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ） A. B. 2，3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解. 【详解】由函数， 根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数， 所以函数在至多有一个零点， 又由依次确定了零点所在区间为， 可得，即，解得. 故选：A. 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得，即， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：C． 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造定义在上的函数，由函数的奇偶性和单调性将题设不等式转换为，再由函数的定义域、奇偶性和单调性列出不等式组计算即可得解. 【详解】令， 则函数定义域为关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以不等式 ， 因为函数和在上均为增函数， 所以函数为定义在上的增函数， 所以， 所以不等式的解集是. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题，有，则的否定：，有 B. 若，则 C. 当时，则，使得成立 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，由对数运算得到；C选项，由根的判别式进行判断；D选项，由抽象函数定义域求解方法得到，故，求出定义域. 【详解】A选项，的否定：，有，A正确； B选项，若，则，B错误； C选项，当时，，故，使得，C正确； D选项，由题意得，解得，故定义域为，D错误. 故选：AC 10. 已知且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，由基本不等式结合指数幂的运算性质即可求解；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案． 【详解】当时，时，，不等式不恒成立， 故A错误； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确； 当时，不等式即为，当时，，， 原不等式不恒成立，故D错误． 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点举例解决不等式恒成立问题，以及对数的运算性质的运用． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为_____ cm. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式和弧长公式求解即可. 【详解】设弧长为，半径为，则，所以. 故答案为： 13. 设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】由，所以， 依题意可得，解得，所以的最小值为. 故答案为： 14. 设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】作出函数的图象如图， 令，函数恰好有四个零点． 则方程化为， 设的两根为， 因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内． 令 所以，解得：， 综上：实数的取值范围为 故答案为： 【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解集合，再由并集概念即可求解； （2）由条件得到，构造不等式求解； 【小问1详解】 时， ∴ 【小问2详解】 ∵“”是“”的必要条件 ∴ ∴ ∴ 16. 计算： （1）； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数法则计算出答案； （2）指数式化为对数式，换底公式得到，由换底公式进行化简，代入求值. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 由，得，由得， . 17. 已知函数 的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为. （1）求的解析式及其单调递增区间. （2）若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若 ，求的值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积可得周期，根据经过的可得即可求解解析式，由整体法即可求解单调区间. （2）根据平移和伸缩变换可得进而根据同角关系即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数，可得的高为2，的面积为， 即 ，可得， 则， 图象与y轴交于点，可得，即 ， 故的解析式为 令 解得 故的单调递增区间为 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度，可得 ， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得 函数 由 即 ，则 ， 所以. 18. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）设，对，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）方程组法去求解与的解析式即可解决； （2）对，使得，即为函数的值域为为函数的值域的子集，讨论解之. 【小问1详解】 由题意 ①， 所以 ， 函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数， 所以 所以 ②， 由①②解得，； 【小问2详解】 ， 由，则 ， 所以的值域为， ， ， 设，根据知为增函数，若，则， 则， 若，则在上单调递增， 则，即， 因为对，使得， 则，所以，解得， 所以； 若， 则，即， 则，解得，所以， 综上所述，若对，使得，则 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； 【小问2详解】 由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时零点也全是的零点，综上. 【小问3详解】 由， 因为函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省扬州中学 2024-2025 学年第二学期 2 月自主学习效果评估 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知是幂函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 已知角顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 5. 若函数在上单调，则实数取值范围是（ ）． A B. C. D. 6. 若在用二分法寻找函数零点过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ） A. B. 2，3 C. D. 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题中为真命题是（ ） A. 命题，有，则的否定：，有 B. 若，则 C. 当时，则，使得成立 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 11. 若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为_____ cm. 13. 设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为______. 14. 设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 16. 计算： （1）； （2）已知，试用表示. 17. 已知函数 的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为. （1）求的解析式及其单调递增区间. （2）若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若 ，求的值. 18. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）设，对，使得，求实数的取值范围. 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$