精品解析：2023年浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波中学中考数学强基招生试卷

全真考试卷（一） 浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波 中学中考数学强基招生考试试卷 数学 满分100分，考试时间60分钟 一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 1. 已知为正实数，，是方程的两个根，则(　　) A. B. C. D. 2. 已知，的值有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 大于2个但有限 D. 无数个 3. 如图，是等边三角形内切圆，半径为r，的内切圆切于点N，半径为，切于点M，则（　　） A B. C. D. 4. 已知，则在0，，，，中可以取得最大值是（　　） A 0 B. C. D. 5. （多选）如图，，,下列四个选项中哪四个点不可能共圆？（　　） A. A，B，C，D B. A，H，C，D C. A，B，E，C D. A，B，E，D 6. （多选）小明进行投篮游戏，第一个没进，已知投篮20次，命中了17个，其中20次投篮的命中概率为，则下列哪个数一定会在中出现？（　　） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 二、填空题（本题有5小题，每小题5分，共25分） 7. 如图，，，，，则的面积为 ____． 8. 若函数始终大于，则a的取值范围为 _______． 9. 一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成 _______个部分． 10. 函数，关于M中心对称，则M的坐标为 ______． 11. 4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第三只，第四只猴子以此类推，问桃子至少________个． 三、解答题（本题有3小题，共45分） 12. 如图，为半圆上的动点，，为等腰直角三角形，其中逆时针排列． （1）若为正三角形，求值； （2）求四边形面积最大值． 13. 已知． （1）求的最小值． （2）若，求的值． 14. 在平面直角坐标系中，横，纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形．在中，为坐标原点，在第一象限，其内心为点，三点都是整数点． （1）求直线的解析式． （2）当时，求整点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全真考试卷（一） 浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波 中学中考数学强基招生考试试卷 数学 满分100分，考试时间60分钟 一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 1. 已知为正实数，，是方程的两个根，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】先根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 2. 已知，值有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 大于2个但有限 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴①， ∵②， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的值有2个，为或2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解，差的立方公式，立方和公式，完全平方公式，实数的非负性，熟练掌握掌握公式，灵活分解因式，活用非负性是解题的关键． 3. 如图，是等边三角形的内切圆，半径为r，的内切圆切于点N，半径为，切于点M，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线长的关系求出，构造矩形，则，把放在中运用勾股定理，特殊角的三角函数等求，再求比值． 【详解】解：设与、的切点分别是Q、G、与、的切点分别是是T、S、连接、、、，,, 过点O作，交得延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，，，，， ∵，， ∴是的角平分线， ∵，， ∴P在上， ∵等边三角形， ∴， 中，，， ∴①， 中，，， ∴②， 得， ∴， 中， ， ， ∴, ∴, ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握特殊切线长定理，勾股定理，特殊角的三角函数，等边三角形的性质是解题的关键． 4. 已知，则在0，，，，中可以取得最大值是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则有，求出，即可求． 【详解】解：，， 当时，， 当时，， 当时， 成立； 令， ， 令， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化规律，会用错位相减法求和，灵活应用是解题的关键． 5. （多选）如图，，,下列四个选项中哪四个点不可能共圆？（　　） A. A，B，C，D B. A，H，C，D C. A，B，E，C D. A，B，E，D 【答案】AB 【解析】 【分析】A、反证法说明四个点不可能共圆； B、反证法说明四个点不可能共圆； C、找到一个圆使四点共圆； D、找到一个圆使四点共圆． 【详解】解：对于选项A：若A，B，C，D四点共圆， ∵， ∴B、C、D在以A为圆心；，, ∴， ∴B、C、D三点共线、C、D在圆上矛盾， ∴A，B，C，D四点不共圆， 故A选项符合题意． 对于选项B：若A，H，C，D四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴,与三角形中最多一个直角矛盾． ∴A，H，C，D四点不共圆 故B选项符合题意． 对于选项C：A，B，C三点确定一个圆，点E可以在上面， 故C选项不符合题意． 对于选项D：E可以落在以A为圆心，以为半径圆上， 故D选项不符合题意． 故选：AB． 【点睛】本题考查了四点共圆、反证法、存在性问题，在涉及“不可能”字眼时，一般用反证法，如果得不出矛盾，可以从正面寻找四点共圆． 6. （多选）小明进行投篮游戏，第一个没进，已知投篮20次，命中了17个，其中20次投篮的命中概率为，则下列哪个数一定会在中出现？（　　） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据第一个没进，依次对后面的投篮情况进行讨论即可． 【详解】解：因为第一个没进， 所以若第二个进了，则有． 若第二个没进，第三个没进，则有，，． 若第二个没进，第四个没进，则有，，，． 若第二个没进，第五个没进，则有，， 后续情况无需讨论， 由此可见0.5一定会在中出现； 因为， 如果前五次有三次没进，则，，，…… 由此可见这一种情况中0.6没有出现； 因为， 如果前10次有一次或二次没进，则或， 由此可见这种情况下0.7没有出现； 因为， 如果前五次只有第一次没进，则， 如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则， 如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则， 如果前五次有三次没进，则， 由此可见0.8一定会在中出现． 故选AD． 【点睛】本题考查概率问题，分类讨论思想的应用，正确的对没进的球进行讨论是解题的关键． 二、填空题（本题有5小题，每小题5分，共25分） 7. 如图，，，，，则的面积为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据求出，然后在中求出，的长，再在中求出的长，利用已知条件证得，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 又， ， ， 即， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算方法，解直角三角形以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质是解题的关键． 8. 若函数始终大于，则a的取值范围为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】在函数图象上只要的最小值大于即可． 【详解】解：∵，， ∴当，即：时，有最小值为， ∵函数始终大于， ∴当的最小值大于即可， 即：当时，； ①当，即：时， 则：，解得：， ∴； ②当，即：时， 则：，解得：， ∴； 综上：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数和绝对值的综合题，在函数图象上只要的最小值大于即可．解题的关键是掌握绝对值的非负性和分类讨论思想． 9. 一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成 _______个部分． 【答案】44 【解析】 【分析】先求出前几个的值，再找出规律求解． 【详解】解：1个圆最多可以把平面分成个部分， 2个圆最多可以分成个部分， 3圆可以把平面分成个部分， ……， 7个圆最多可以将平面分为：， 故答案为：44． 【点睛】本题考查了圆认识，找到变化规律是解题的关键． 10. 函数，关于M中心对称，则M的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】设，将函数变形为，根据函数的特点求出，找出与的关系即可． 【详解】解：设， ∴ 即， ∴， ， ∴， 即， ∴关于成中心对称， ∴点M的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查成中心对称的函数的对称中心，要求某个函数的对称中心，只要看函数否满足．掌握证明函数图象关于某点中心对称的证明方法即可． 11. 4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第三只，第四只猴子以此类推，问桃子至少________个． 【答案】253 【解析】 【分析】设第四只猴子分过后每份桃子有个，则由题意可知：第四只猴子所分的桃子有个，第三只猴子所分的桃子有个，第二只猴子所分的桃子有个，第一只猴子有个，再由“是正整数，是正整数”求出的最小值，从而得出结论． 【详解】解：设第四只猴子分过后每份桃子有个，则第四只猴子所分的桃子有个， 第三只猴子所分的桃子有个，即个， 第二只猴子所分的桃子有个，即个， 第一只猴子所分的桃子有个，即个， ∵，且，是正整数， ∴正整数， ∴是27的倍数， ∴的最小值是26， 此时． 故桃子至少253个． 故答案为：253． 【点睛】此题考查了列代数式应用类问题，属于逆向推理问题，考查学生能够运用所学知识推断一些简单的逻辑问题的能力，同时还培养了学生公平、公正的生活作风． 三、解答题（本题有3小题，共45分） 12. 如图，为半圆上的动点，，为等腰直角三角形，其中逆时针排列． （1）若为正三角形，求的值； （2）求四边形的面积最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据为正三角形且可得，，再根据为等腰直角三角形可得为的垂直平分线，在中，，可得，，在中，，可得，从而得到； （2）过点作于点，设，得出四边形的面积最大，当，即时，取得最大值，从而得到四边形的面积． 【小问1详解】 如图，连接，交于点， 为正三角形， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， 垂直平分． ， ， 中，，， ，， 在中，， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 设， 则 ∴ ∴ ∴当，即时， 取得最大值 【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形、等腰三角形的性质,解直角三星就等，熟练掌握基本知识点并能灵活应用是解题的关键． 13. 已知． （1）求的最小值． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2），，，或，，， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 的最小值为． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 14. 在平面直角坐标系中，横，纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形．在中，为坐标原点，在第一象限，其内心为点，三点都是整数点． （1）求直线的解析式． （2）当时，求整点个数． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）根据是的内心，得到，如图，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，可证，得到，由，得到，则，设，则，在中，由勾股定理，得，由此列式，得到，运用待定系数法即可求解； （2）如图，在直线上取一点，使得，过点作轴于点，，，设，，则，且，由此即可求解． 【小问1详解】 解： 是的内心， ∴平分， ， 如图，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得，即， 解得， ∵， ， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，在直线上取一点，使得，过点作轴于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ，， ， ∴直线的解析式为， 设， 是的内心，的半径为，如图所示， ∴，， ， ， ， ， ， ， 不可能均小于， ， 共有（个）整点． 【点睛】本题主要考查三角形内心，勾股定理，等腰三角形的性质，切线长的性质，待定系数法求解析式，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$