5.5.2简单的三角恒等变换课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

简单的三角恒等变换 教材例题 例8.求证： (1) 证明：(1)因为 将以上两式的左右两边分别相加，得： 即 思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 教材例题 教材P226页 练习4题 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 教材例题 教材P226页 练习4、5题 积化和差公式： sin αcos β＝ ； cos αsin β＝ ； cos αcos β＝ ； sin αsin β＝ . 教材例题 例8.求证： (1) (2) 证明(证法一)：(2)由(1)可得 ① 设那么 把的值代入①，即得 . 思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？ 教材例题 例8.求证： (2) 证法二：∵ ∴ 构造角 新知探索&例析 例8.求证： (1) 积化和差 (2) 和差化积 例8的证明用到了换元的方法.如把看作看作从而把包含的三角函数式转化成的三角函数式.或者，把看作看作把等式看作的方程，则原问题转化为解方程(组)求它们都体现了化归思想. 教材例题 教材P226页 练习4、5题 教材例题 和差化积公式 sin θ＋sin φ＝ ； sin θ－sin φ＝ ； cos θ＋cos φ＝ ； cos θ－cos φ＝ . 教材例题 教材P226页 练习4、5题 积化和差公式： sin αcos β＝ ； cos αsin β＝ ； cos αcos β＝ ； sin αsin β＝ . 课堂小结&作业 积化和差公式： 和差化积公式 旧知复习 积化和差公式： 和差化积公式 补充例题 例1： 例2　求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值. 补充例题 方法一　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° 补充例题 方法二　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° 补充例题 方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°， B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°. 则A＋B＝2＋sin 70°， A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°) 辅助角公式 其中 教材例题 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 教材例题 例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解：在中， 在中， 所以 设矩形的面积为，则 三角恒等变换在几何中的应用 教材例题 例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解： 由得 所以当即时， 因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程蕴含了化归思想. 课堂小结&作业 积化和差公式： 和差化积公式 思考题 由已知，得sin A＋sin B＝－sin C， ① cos A＋cos B＝－cos C. ② 所以cos2A＋cos2B＋cos2C [sin(α＋β)＋sin(α－β)] [sin(α＋β)－sin(α－β)] [cos(α＋β)＋cos(α－β)] －[cos(α＋β)－cos(α－β)] 2sin cos 2cos sin 2cos cos －2sin sin [sin(α＋β)＋sin(α－β)] [sin(α＋β)－sin(α－β)] [cos(α＋β)＋cos(α－β)] －[cos(α＋β)－cos(α－β)] 答案：①；②． ＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin(－30°)] ＝＋(cos 100°－cos 40°＋sin 70°) ＝＋(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°) ＝＋(－sin 70°＋sin 70°)＝. ＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°) ＝(1－cos 40°)＋cos 50°(sin 40°＋sin 20°) ＝(1－cos 40°)＋cos 50°·2sin 30°cos 10° ＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10° ＝(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°)＝. ＝－sin 70°－， 两式相加得2A＝，即A＝， 故sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝. 1.已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝. 所以2sin cos ＝－sin C， ③ 2cos cos ＝－cos C. ④ 因为当cos ＝0时，sin C＝cos C＝0不成立， 所以cos ≠0. ＝＋[2cos(A＋B)cos(A－B)＋cos 2C] ＝＋＝. ③÷④，得tan ＝tan C. 所以cos(A＋B)＝＝＝cos 2C. ①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1，即cos(A－B)＝－， ＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B＋1＋cos 2C) $$