专题03 正方形压轴五大模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题03 正方形压轴五大模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、正方形中心45°角模型 2 题型二、正方形对角线模型 5 题型三、正方形半角模型 6 题型四、正方形十字架模型 9 题型五、正方形外角平分线模型 10 压轴能力测评（10题） 12 模型一： 正方形中心45°角模型 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形， 模型二： 正方形外角平分线模型 模型三：正方形半角模型 模型四：正方形十字架模型 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。 类型一、正方形中心45°角模型 【典例1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）边长为4的正方形中，点是对角线上一点，过点作交射线于点，连结． (1)若点在边上（如图1）； ①求证：； 在解决上面问题时小明和小华有不同的思路： 小明：根据正方形的性质容易证明，若再证明，就可用“等角对等边”证明． 小华：根据正方形的性质容易证明，若通过作辅助线构造与线段、相关的全等三角形证得，便可得到． 请写出完整的证明过程（可以参照上面两种思路，也可以选择其他思路）． ②若，求的长． (2)若点在延长线上，，请规范画出符合条件的图形（不限作图工具）并直接写出的长． 【变式1-1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）在正方形中，，与相交于点O．如图，作射线与边相交于点E，将射线绕点O顺时针旋转，得到射线，射线与边相交于点F，连接交于点G． (1)直接写出四边形的面积是 ； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若，求的长． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 类型二、正方形对角线模型 【典例2】（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． (1)操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． (2)迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 【变式2-2】（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 类型三、正方形半角模型 【典例3】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【变式3-2】（24-25八年级上·山西大同·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 【变式3-3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边、上的点，且，把绕着点A顺时针旋转得到，请直接写出图中所有的全等三角形； （2）在四边形中，，． ①如图2，若E、F分别是边、上的点，且．求证：； ②若E、F分别是边、延长线上的点，且，先在图3中补全图形，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 类型四、正方形十字架模型 【典例4】（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 类型五、正方形外角平分线模型 【典例5】（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 【变式5-1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．    (1)［观察猜想］填空：与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）； (2)［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； (3)［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由． 1．（24-25八年级上·天津·期中）解答下列各题： (1)特例探究：如图①，正方形中，分别为上两点，，探究之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取．连接，易证，从而得到，再由证明，直接得出结论：_____； (2)一般探究：如图②，四边形中，与互补，，分别是上两点，且满足，探究之间的数量关系；说明理由． (3)实际应用：如图③，四边形中，，则四边形的面积为______（直接写出结果） 2．（2024·安徽六安·模拟预测）点是正方形的对角线上一点，过点作交于点，的延长线交于点，交于点． (1)如图1，证明：； (2)如图2，若，，求CF的长． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和之间的数量关系． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在正方形中，是对角线上的一动点（不与点，重合），连接，过点作交射线于点，连接． （1）发现问题 如图1，当点落在边上时，和的数量关系是________． （2）探究问题 如图2，当点落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． (1)如图①，连接，求证：； (2)如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； (3)如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 6．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，E为对线上一点，连接、，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长度． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边BC，CD交于点E，F（点E与点B，C不重合），则四边形的面积为__________． 问题解决 （2）如图2，有一个菱形菜园，AC，BD为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在BC上，点F在CD上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 8．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现： 如图1，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究： 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展 当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正方形压轴五大模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、正方形中心45°角模型 2 题型二、正方形对角线模型 11 题型三、正方形半角模型 18 题型四、正方形十字架模型 28 题型五、正方形外角平分线模型 32 压轴能力测评（10题） 39 模型一： 正方形中心45°角模型 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形， 模型二： 正方形外角平分线模型 模型三：正方形半角模型 模型四：正方形十字架模型 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。 类型一、正方形中心45°角模型 【典例1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）边长为4的正方形中，点是对角线上一点，过点作交射线于点，连结． (1)若点在边上（如图1）； ①求证：； 在解决上面问题时小明和小华有不同的思路： 小明：根据正方形的性质容易证明，若再证明，就可用“等角对等边”证明． 小华：根据正方形的性质容易证明，若通过作辅助线构造与线段、相关的全等三角形证得，便可得到． 请写出完整的证明过程（可以参照上面两种思路，也可以选择其他思路）． ②若，求的长． (2)若点在延长线上，，请规范画出符合条件的图形（不限作图工具）并直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，图见解析 【分析】（1）①小明：根据正方形的轴对称性可得，从而可得，再根据，可得，继而可得，根据等角对等边即可得； 小华：如图所示，过E作交于点G，交于点H，证明出四边形是矩形，得到，证明出，得到，即可得到； ②过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质结合四边形是矩形，得，为等腰直角三角形，继而可求得的长； （2）如图所示：过点E作，垂直为N，交于M，由正方形的对称性可得，从而得，继而由已知可得，可得，根据，可得，继而可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①小明：∵正方形关于对称， ∴， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 小华：如图所示，过E作交于点G，交于点H ∵正方形关于对称， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ②过点作于点，交于点， ∵， ∴是的中点 ∵，， ∴ ∵四边形为矩形， ∴ 又为等腰直角三角形， ∴． （2）如图所示：过点E作，垂直为N，交于M，    ∵正方形关于对称， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握相关定理与性质是解题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点H，连接，    ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）在正方形中，，与相交于点O．如图，作射线与边相交于点E，将射线绕点O顺时针旋转，得到射线，射线与边相交于点F，连接交于点G． (1)直接写出四边形的面积是 ； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)16 (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． （1）由“”可证可得，然后求出正方形面积的四分之一即可； （2）根据旋转的定义可知，再由（1）可得可得即可证明结论； （3）由面积关系可求，然后代入相关数据即可求的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵射线绕点O顺时针旋转，得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为16． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 类型二、正方形对角线模型 【典例2】（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可证明； （2）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于，过点作于，如图,    ∵四边形是正方形，，， ∴． ∴，． ∵即， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （2）解：能，理由如下： ①若点在线段上，如图，    ∵，∴． ∵，∴． 若为等腰三角形，则． ∴， ∴，与矛盾， ∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形． ②若点在线段的延长线上，如图．      若是等腰三角形， 此时， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，注意分类在解题中的应用． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． (1)操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． (2)迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 【答案】(1)是邻等对补四边形，见解析 (2)能构成，此时的长为2或 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）四边形是邻等对补四边形，过点P作于点E，于点F，根据及正方形的性质得，想证明四边形是正方形得，进而可证明和全等，则，由此可得出结论； （2）依题意分两种情况讨论如下：①当点P在线段上时，点Q在边的延长线上，时，四边形是邻等对补四边形，过点P作于点E，于点F，同①可证和全等得，则是等腰直角三角形，进而得，由此得，则四边形是邻等对补四边形，设，则，，，进而可得的长；②当点P在的延长线上时，时，四边形是邻等对补四边形，过点P作交的延长线于点E，于点F，同①可证和全等得，则是等腰直角三角形，进而得，，则四边形是邻等对补四边形，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下： 过点P作于点E，于点F，如图1所示： 依题意得：， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 即是的平分线， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； （2）当Q点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形， 分两种情况讨论如下： ①当点P在线段上时，点Q在边的延长线上，时，四边形是邻等对补四边形，理由如下：过点P作于点E，于点F，如图2所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得， ∴，，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ∴； ②当点P在的延长线上时，时， 四边形是邻等对补四边形，理由如下： 过点P作交的延长线于点E，于点F，如图3所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 此时， 综上所述：当以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形时，的长为或2． 【变式2-2】（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，再根据正方形的判定，即可证得答案； （2）连接，先证明，可证明，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，于点N， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：连接， 四边形和都是正方形， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 类型三、正方形半角模型 【典例3】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系．    【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 【答案】（1）小明：，见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，从而得结论． 【详解】解：（1）小明：，理由如下：连接，如图（2）      由旋转得：，，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 另一个思路： 小红：，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，使与重合，    由旋转得：，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）把绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，， 由旋转得：，，， ，，   ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 即， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 设， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形的面积为27 【分析】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据正方形的性质得出，，证明即可得证； （2）过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质可得，，，再证明得出，即可得证； （3）过点作于点，交延长线于，证明四边形是正方形，设正方形的边长为，根据勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：如解图①，过点作交的延长线于点， 由（1）可知： ∴，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如解图②，过点作于点，交延长线于， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 由（2）可得：， 设正方形的边长为， ， ，，， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 四边形的面积为． 【变式3-2】（24-25八年级上·山西大同·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 【答案】（1），（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）延长到点，使，连结，可证，可得，，再证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，由（2）方法可得，可得，即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使，连结， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的线段，，之间的数量关系还成立；理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，， ， 同（1）理：， ，， ， ， ，又， ， ， ， ； （3）如图3，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， △的周长． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 【变式3-3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边、上的点，且，把绕着点A顺时针旋转得到，请直接写出图中所有的全等三角形； （2）在四边形中，，． ①如图2，若E、F分别是边、上的点，且．求证：； ②若E、F分别是边、延长线上的点，且，先在图3中补全图形，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①见解析；②，理由见解析． 【分析】（1）由旋转的性质知，据此得，，再证得； （2）①思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． ②按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么． 本题考查了四边形的综合问题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：（1），；理由如下： 由绕着点顺时针旋转得到知， ，， 四边形是正方形， ，即， ， ， ，即， 则， ， ， 故图中全等的三角形有：，； （2）①证明：如图2，将△绕着点顺时针旋转， 使与重合，得△， ，， ， ，即、、共线； 由旋转得：， ，，， ， ， ， ， ， 又， ； ②；理由如下： 如图3，将绕着点顺时针旋转，使与重合，得， ，， 点在上，由旋转的性质得： ，，． ， ， ， 又， ， ， 又， ． 类型四、正方形十字架模型 【典例4】（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)3 (3)，理由见详解 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是根据正方形的性质证明全等． （1）由正方形的性质得出，，结合直角三角形的性质推出，即可证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）根据正方形的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）过点作于点，先证明，利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （3）解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ． 类型五、正方形外角平分线模型 【典例5】（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 【答案】（1）135，；（2），见解析；（3）5或 【分析】（1）取的中点G，连接，求出，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上取一点，使，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（）问的结论，当是边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）取的中点G，连接， 证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴， ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：成立． 证明：如图，在上截取，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图1，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 由（2）知，； 当点是直线上的一点时，如图4，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 【变式5-1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．    (1)［观察猜想］填空：与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）； (2)［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； (3)［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析； (3)成立，证明见解析． 【分析】（1）取中点，连接，求出，求出，再求出，根据推出和全等即可； （2）在上截取，连接，求出，得出，求出，再求出，根据推出和全等即可； （3）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定 ，即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，取中点，连接， ∵四边形是正方形，平分， ∴，， ， ∵是边的中点，为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：成立，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同（1）可得， 在和中， ， ∴ ， ∴； （3）解：成立． 证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·天津·期中）解答下列各题： (1)特例探究：如图①，正方形中，分别为上两点，，探究之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取．连接，易证，从而得到，再由证明，直接得出结论：_____； (2)一般探究：如图②，四边形中，与互补，，分别是上两点，且满足，探究之间的数量关系；说明理由． (3)实际应用：如图③，四边形中，，则四边形的面积为______（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)32 【分析】（1）如图①：延长到点使，连接，先证明可得、，再证可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键； （2）如图：延长至，使，连接．先由同角的补角相等得出，由证明，得出，由已知得到，再次利用证明可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键； （3）如图③：延长，截取，连接，证明，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图①：延长到点使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ∴， ，， ， 在和中 ∴， ， ； 故答案为． （2）解：，理由如下： 如图②，延长至，使，连接． ，， ． 又，， ∴． ，． ． 又 ， ． ， 又，， ∴． ， ． （3）解：如图③，延长，截取，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； 故答案为32． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）点是正方形的对角线上一点，过点作交于点，的延长线交于点，交于点． (1)如图1，证明：； (2)如图2，若，，求CF的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了正方形中的证明和计算，解题关键是应用正方形的性质． （1）由四边形是正方形，可证，即可得； （2）先证，可得，即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接． 四边形是正方形， 点，关于对称， ，． ， ， 又， ， ， ； （2）由四边形是正方形， 得，，． 由， 得，， 得，即， 得， 得， 得． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②； (2)当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）①利用同角的余角相等即可得到结论；②在上截取点G，使得，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，则，即可得到； （2）当点E在线段的延长线上时，证明，则，证明，则，得到；当点E在线段的上时，证明，则，证明，则，即可得到． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下；在上截取点G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线交直线于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）当点E在线段的延长线上时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的上时，如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 综上可知，当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在正方形中，是对角线上的一动点（不与点，重合），连接，过点作交射线于点，连接． （1）发现问题 如图1，当点落在边上时，和的数量关系是________． （2）探究问题 如图2，当点落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点E分别作、的垂线，垂足分别为M、N，证明四边形是正方形，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）过点E分别作、的垂线，垂足分别为G、H，证明，得出． 【详解】解：（1）如图所示，过点分别作、的垂线，垂足分别为、， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）（1）中结论仍然成立， 理由如下：如图所示，过点分别作、的垂线，垂足分别为、， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． (1)如图①，连接，求证：； (2)如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； (3)如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定； （2）过点作于，于，证四边形是正方形，得到，再用判定，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题； （3）过点作于，的延长线交于，于，根据（2）中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ； （2）解：如图②，过点作于，于，   ， 四边形是矩形， 平分，于，于， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图③，过点作于，的延长线交于，于，    由（2）可知四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，E为对线上一点，连接、，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见详解； (2)2； 【分析】（1）过作交于Q，交于P，结合正方形性质得到是正方形，从而得到，即可得到答案； （2）延长交于点H，过E作交于点K，根据勾股定理求出，证明，结合正方形的性质求解即可得到答案； 【详解】（1）解：过作交于Q，交于P， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：延长交于点H，过E作交于点K， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∵四边形是正方形； ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 【点睛】本题考查正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线根据正方形的性质得到是正方形，从而得到及． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边BC，CD交于点E，F（点E与点B，C不重合），则四边形的面积为__________． 问题解决 （2）如图2，有一个菱形菜园，AC，BD为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在BC上，点F在CD上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【答案】（1）；（2）需要篱笆 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． （1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）找的中点，连接，证明，可得储藏间的面积为菱形面积的，即可求得菱形菜园的面积，即可解答． 【详解】解：（1）四边形是正方形，边长为4， ，，，，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：4； （2）解：如图，找的中点，连接， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ， ， ， 储藏间的面积等于三角形的面积， 菱形的面积， 设为，则， ， 可得方程， 可得（负值舍去）， 菱形菜园围一圈篱笆需要． 8．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】（1）如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断； （3）过作于点，过作于点，勾股定理求得，根据已知条件得出，进而求得，勾股定理求得，进而根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， 又点是正方形对角线上的一点，平分， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 矩形为正方形， ，． 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ． 在中， ． （3）解：如图所示，过作于点，过作于点， ∵正方形的面积为， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现： 如图1，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究： 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展 当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)＝ (2)的结论不变，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （3）解：当点在点的右下方时： 过点H作于点J，作，交的延长线于点K， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 当点在点的左下方时：如图：过点H作于点J，作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$