专题06 特殊平行四边形重难点题型归-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题06 特殊平行四边形重难点题型归 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，是等边三角形外一点，连接，，．若，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在矩形中，，，点在上，且，点是矩形所在平面内任意一点，且，连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结．则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级上·湖南永州·期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 10．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 11．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 12．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 13．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，，．下列结论：① ；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 14．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 16．（22-23八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边和上的动点，且始终满足，连接，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（  ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 19．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 21．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 24．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，在中，，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③； ．其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（    ） A．4 B． C．6 D． 26．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 27．（2024·浙江台州·模拟预测）在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 28．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（    ）． A．8 B．9 C． D． 二、填空题 29．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为 ． 30．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 31．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一点，，分别为线段上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 32．（24-25九年级下·福建南平·开学考试）如图，等腰中，，，点P在外，， ，，则的长为 ． 33．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是 ．    34．（24-25九年级下·四川泸州·开学考试）如图，点A在半径为2，圆心为的圆上运动，点B坐标为，以为边长作正方形，求的最小值 ．    35．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 36．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 三、解答题 37．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 38．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号）    （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 39．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 40．（24-25九年级上·广东江门·期末）【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 41．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 42．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 43．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，点的坐标为________，直线的解析式为________； (2)如图②，连接，动点从出发，沿线段以1个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，当时，求的值． 44．（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 45．（24-25九年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 46．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． 47．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图1，已知在正方形中，点E、F分别在边、上运动． 【尝试探究】 （1）如图1，当点E、F分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，并说明理由； 【模型建立】 （2）如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明； 【模型应用】 （3）如图3，已知是边长为5的等边三角形，，，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 48．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 49．（2024·湖北十堰·模拟预测）综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 50．（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案． （1）求证：是一个等腰直角三角形； 【类比论证】 （2）如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． 求证：； 【探究应用】 （3）菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至FE，作射线交的延长线于点G． 请直接写出线段与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 特殊平行四边形重难点题型归 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，是等边三角形外一点，连接，，．若，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，可将绕点C顺时针旋转，再利用勾股定理逆定理证明直角三角形，最后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转，则点B与点A重合，点D的对应点为点E，连接， 由旋转可知，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 又∵， 则， ∴是直角三角形，且， 过点C作的垂线，垂足为G， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 在中，， 过点A作的垂线，垂足为H，则， ∴， ∴， 故选：B． 2．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在矩形中，，，点在上，且，点是矩形所在平面内任意一点，且，连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结．则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角形的判定及性质．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 4．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于①，过点E作，交于点H，根据正方形的性质可逐步推得，再根据全等三角形的判定，可证明，即得结论成立； 对于②，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明结论成立； 对于③，连结，，证明，可得，再根据等腰三角形三线合一性质，即得结论成立； 对于④，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】解：过点E作，交于点H， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， ， ， 故②正确； 连结，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故③正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答． 【详解】解：过点D作，交于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 6．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的平行线交于点，交于点，设，则，由正方形的性质可得，，，，即得四边形为矩形，得到，，利用勾股定理可得，进而得到，即得，由旋转的性质得，，再根据余角性质得到，可得，得到，即可得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：过点作的平行线交于点，交于点，如图， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转交的延长线于点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质， 本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点F与点C重合时，， ∵， ∴线段的最小值为； 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵都是定值， ∴是定值， ∴是定值， 故①错误，②正确， 故选：D． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 9．（24-25八年级上·湖南永州·期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键．由四边形是正方形得， ，，再将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质及证明 ，然后根据全等三角形的性质判断①②③；再证明 ，可得，，，然后说明 ，最后根据全等三角形的面积相等判断④即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ，． 将绕点逆时针旋转得到，则共线，在上取一点，使．    根据旋转的性质可知，，． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴ ， ∴， ∴的周长 ． 故①②③正确； ∵，，， ∴ ， ∴． ∵，，， ∴ ， ∴， ∴． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C． 10．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：如图，过作于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 综上，结论正确的序号有①③④， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， ∴是中位线， 且， 当点在上除点、的位置时，为中点， ∴是中位线，是中位线， ，， ∴点在线段上， 点的运动轨迹是线段， 当时，取得最小值， 矩形中，，，为的中点，为中点， ∴，， 、、为等腰直角三角形， ，， ∵， ， ， ，即， 的最小值为的长， 在等腰直角中，， 的最小值是． 故选：D． 12．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】如图：连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 如图：连接，由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图：过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得∶， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三线合一的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，，．下列结论：① ；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；③利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积，从而可得答案． 【详解】解：①， ． ， 在正方形中，，， ． 在和中， ， ， 故①正确； ③， ， 又，， ． 即，故③正确； ②过点作的延长线于点，如图， ，， ． 又， ． ， ． ， ， 即点到直线的距离为，故②正确； ④，， 在中，， ， 故④不正确． 综上所述，正确结论的序号为①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正方形面积的计算，勾股定理等知识，等腰直角三角形的性质，证明 ，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键． 14．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠—有关角的计算、角的和与差．首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得，根据邻补角的定义可以求出，从而可求，再根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：四边形是长方形纸带， ， ， 如图所示， ， ， 如图所示， ． 故选：A． 15．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作于，则四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故选：． 16．（22-23八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边和上的动点，且始终满足，连接，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称−最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，连，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证，得出，然后根据两点之间，线段最短即可得解，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，连， ∵∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（  ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题意易证四边形为矩形，得出，．又易证为等腰直角三角形，得出，再结合勾股定理即得出，可确定④正确；根据正方形为轴对称图形，对角线也为对称轴，即得出，从而得出，可确定①正确；由题意易证，得出，可确定②正确；根据，结合对顶角相等可求出，即得出，可判断③正确． 【详解】解：如图，延长交于点G，延长交于点H， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，故④正确； ∵四边形为正方形，即为轴对称图形， ∴， ∴，故①正确； ∵为正方形对角线，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故③正确． 综上可知正确的为①②③④． 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由可证得，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，由，得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得的最小值． 【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示：    ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长． ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的最小值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，连接，，根据折叠的性质得到垂直平分，可证，推出，从而得到四边形是菱形，设，则，再利用勾股定理求出，，最后利用即可求得． 【详解】解：如图，设交于点，连接， 由折叠可知，垂直平分 四边形是矩形 在和中 四边形是平行四边形 又 平行四边形是菱形 ，， 设，则 在中， 在中，，即 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的面积公式的运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 21．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于M，交于N，交于O，作于T交于R．证明，得到，再证明，得到，再证明，，则，由勾股定理得到，则，，证明四边形是矩形，得到，则，则． 【详解】解：如图，设交于M，交于N，交于O，作于T交于R． ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 22．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据图形找出全等三角形是解题关键．根据正方形的性质，证明，得到，可判断①结论；证明，可判断②结论；证明是等腰直角三角形，得到，而与的数量关系无法确定，可判断③④结论；证明，可判断⑤结论． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，①结论正确； 在和中， ， ， ，②结论正确； ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 与的数量关系无法确定， 不成立，③结论错误； ∴不成立， 不成立，④结论错误； ，， ，，， ， ， ， ，⑤结论正确； 正确的个数有3个， 故选：B 23．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 【答案】D 【分析】本题分为五个阶段，开始与点O重合、远离点O、位于线段中点、逐渐靠近终点和到达终点．根据矩形的性质得，，则有，由轴对称性得．则有和，可判定，则四边形是平行四边形；当E，F，O三点重合时，，则有，故四边形是菱形；当E，F分别为，的中点时，设，则，，可证明是等边三角形，结合勾股定理和对称性可得，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，则四边形是矩形；当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形． 【详解】解：如图2所示，当E，F，O三点重合时，， ∴，即， ∴四边形是菱形． 如图1中， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴， ∵对称， ∴． ∵对称 ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 如图3所示，当E，F分别为，的中点时，设，则，， 在中，，，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵E为中点， ∴，， ∴． 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 四边形是矩形． 当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、对称性、平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理逆定理和等边三角形的性质，解题的关键是熟悉对称性和利用动态思维解题． 24．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，在中，，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③； ．其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由旋转得，则∴，，根据题意得，有，进一步有，可证明；由，则与不相似；由得，由旋转可知得，根据三角形三边关系得；根据题意得，由旋转可知：，有，则． 【详解】解：∵绕A顺时针旋转后得到， ∴， ∴，， ∵在直角三角形中，， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确， ∵， ∴与不相似，②错误； ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴，③错误； ∵在中，， ∴，， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴，④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换、等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键． 25．（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过点作于，如图所示，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 将边绕点逆时针旋转至点， ， 由等腰三角形三线合一性质可得是线段的垂直平分线，则， 在正方形中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ，则， 在中，，， 则由勾股定理可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键． 26．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于的对称点，即连接，，，，连接交于，根据菱形的性质和轴对称的性质，可得，，再结合，可得点为中点，垂直平分，故，继而结合题意证明为等边三角形，且，，再利用勾股定理算出，再算出，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：作关于的对称点，连接，，，连接交于点，连接交于， ∵关于的对称点为， ∴ ∴ 又∵四边形为菱形， ∴， 又∵为公共边 ∴， ∴， 又∵， ∴点为中点， 又∵， ∴垂直平分， ∵点在对角线上 ∴， ∵四边形为菱形，其边长为，， ∴，，， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 即 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴则的最小值为， 即的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．（2024·浙江台州·模拟预测）在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质；证明两三角形全等并得到是解题的关键；证明，根据全等三角形的性质得到，从而推出，根据勾股定理得到，由，两边平方得①；由空白部分面积为13，得，即②；解①、②组成的方程组消去即可求得． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 在与中， ， ， ； ； 在中，，则， ， ， ①； ， 即②； 得：， ； 故选：C． 28．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（    ）． A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接交于O，连接，由菱形的性质可得、、、、,再由勾股定理可得；再证明是的中位线，进而得到、三点共线、；然后证明可得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O，连接， ∵菱形和菱形，，， ∴，，，,, ∴， ∵， ∴ ∵, ∴是的中位线， ∴, ∵, ∴三点共线，,， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴． 故选C． 二、填空题 29．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】连接，延长到，使得，连接，证明，得到，即点在与成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得． 【详解】解：连接，延长到，使得，连接， ∵是等边三角形，点是的中点， ， ， 根据旋转可得， ，即， 在和中， ， ， ， ∴点在与成的直线上运动， ∴当时，有最小值为：， 即：， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即． 30．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接，由矩形的条件和旋转的性质可得，，可说明四边形是矩形，然后由正方形的性质可得到，，从而说明是的垂直平分线，进一步推导出，当点，，三点共线时，取最小值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是直线上一动点， ∴， ∴当点，，三点共线时，取最小值， 在中，，， ， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点关于的对称点是解题的关键． 31．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一点，，分别为线段上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，可证，得到，延长至点，使，连接，则，，得，即得当三点共线时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, 延长至点，使，连接， 则，， ∴， 当三点共线时的值最小，最小值为的长， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 32．（24-25九年级下·福建南平·开学考试）如图，等腰中，，，点P在外，， ，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质勾股定理、直角三角形的特征，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 把绕点A逆时针旋转得到，由题意可知，进而计算，再证明，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：把绕点A逆时针旋转得到， ∵， 则此时点B与点C重合，过点A作于点， ∵， ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6 33．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是 ．    【答案】8 【分析】作点D关于的对称点，连接，则，那么，由于，即，当且仅当共线时，取得最小值，即为，然后在运用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，则，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，即， 当且仅当共线时，取得最小值，即为， ∴在中，， ∴， 即，即的最小值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，正确运用转化思想是解题的关键． 34．（24-25九年级下·四川泸州·开学考试）如图，点A在半径为2，圆心为的圆上运动，点B坐标为，以为边长作正方形，求的最小值 ．    【答案】/ 【分析】连接，将绕点逆时针旋转至，连接，，，先证明，再证明过点作轴于点，证明，确定，则，由，得到． 【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转至，连接，，，    ∵正方形， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在线段上时，取得最小值，且为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的综合问题，两点间距离公式，三角形的三边关系求最值，正确构造全等三角形是解题的关键． 35．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当时， 最小，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为． 36．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，取中点，连接，，由点A、B的坐标可得，，由勾股定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由三角形的中位线定理可得，由三角形三边之间的关系可得，于是得解． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，， 点A、B的坐标分别为、， ，， 由题意可知：， ， 是中点， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， 的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系等知识点，作辅助线构造，由三角形三边之间的关系得出是解题的关键． 三、解答题 37．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分 【分析】(1）如图1，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图2，过作于N，于M，根据图形的面积得到，于是得到结论； （3）如图3，过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为． （2）解：如图2，过作于N，于M， ， ， ， ， ，． ， （3）解：如图3，过作，，则，， ， ， ， ， ，， ，解得米， 米， 当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 38．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号）    （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）②④（2）见解析（3） 【分析】（1）由菱形和正方形的对角线相互垂直可得答案； （2）运用两次勾股定理，再运用等量代换可解决问题； （3）先根据手拉手模型很容易得到，连接,,可得到四边形是垂美四边形，由（2）的结论算出即可. 【详解】（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，而矩形和平行四边形的对角线不一定垂直， ∴只有正方形和菱形是垂美四边形， 故选②④. （2）∵， ∴,,,, ∴， , ∴. （3）如图所示，连接,.    在 中，，， 由正方形可知，， ∴， 同理可得：， 由正方形和正方形可知， , ∴, 即, ∴, ∴, 又 ∴, ∴ ∴四边形是垂美四边形. 由（2）的结论可得： 解得： 【点睛】本题主要考查了新定义的概念，勾股定理的应用，一元二次方程解法等知识点，解决此题的关键是要合理的利用由垂美四边形得到的结论. 39．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①点在上时，的值最小；②点在上时，的值最小，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，得，根据， ，得； （2）①连接交于点O，当M点落在O点时，A、M、C三点共线，的值最小；②连接，根据，得，根据，，得是等边三角形．得．当M点位于上时，， 的值最小． （3）过E点作交的延长线于F，则，设正方形的边长为x，则．，根据，解得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，正方形中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小； ②如图，连接， 当M点位于上时，的值最小． 理由如下： 连接，由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴，最短， ∴当M点位于上时，的值最小， 即等于的长． （3）解：过E点作交的延长线于F， 则． 设正方形的边长为x， 则，， 在中，∵，且， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形性质，是解题的关键． 40．（24-25九年级上·广东江门·期末）【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转性质得，，，，，则可求得，是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，，，， 为等边三角形 ， 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， ， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）如图３，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，，，，， ，是等边三角形， ，， ∵， 、、、四点共线， 过作交延长线于H，则， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 41．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 (5)或或 【分析】（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； （3）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，为等边三角形； （4）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，过点作的垂线，交于点，交于点，为等边三角形； （5）分三种情况画出图形，进行计算即可． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图，即为所求； （5）解：第一种情况如图所示： ； 第二种情况如图所示： ； 第三种情况如图所示： ； 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论，尺规作图，折叠的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 42．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 43．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，点的坐标为________，直线的解析式为________； (2)如图②，连接，动点从出发，沿线段以1个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）如图①所示：过点作轴于，先依据勾股定理求得的长，从而可得到的长，于是可得到点的坐标，最后，再利用待定系数法求解即可； （2）首先证明≌，从而可得到，，然后再求得点的坐标，从而可得到的长，然后再用含的式子表示的长，最后，依据三角形的面积公式列出函数关系式即可； （3）连接交于，则，先求得的长，然后再证明为等腰直角三角形，从而可得到的长，设，过点作轴于，在中，依据勾股定理可取得的值，从而得到点的坐标，然后再求直线和的解析式，从而可求得点的坐标，于是可求得的长，从而可求得的值． 【详解】（1）如图①所示：过点作轴于． ∵点的坐标为， ∴，， 在中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线经过，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：． （2）∵四边形是菱形， ∴，，， ∴≌， ∴，， ∵直线 解析式为，令，， ∴， ∴，． （3）如图所示：连接交于，则，． 在中，， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，，． ∵在直线上， ∴设． 过点作轴于， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴，（舍） ∴． 设直线的解析式为， ∵点在上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵它的图象经过，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 过点作轴于， ∴，，，． ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、待定系数法求一次函数的解析式、菱形的性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识点是解题的关键． 44．（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得：，解出可解答； （2）如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答； （3）如图③，过作轴于，设，根据勾股定理列方程得，求得，然后利用待定系数法求得的解析式为． 【详解】（1）解：如图①，由折叠得：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ； （2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即， 过作轴于， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是15； （3）解：如图③，过作轴于， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 设的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 的解析式为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键． 45．（24-25九年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 【答案】[操作发现]，；[深入探究] ；；[迁移探究]线段的长． 【分析】[操作发现]由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [深入探究]由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [迁移探究]分当在上时和当在上时两种情况分析即可求解． 【详解】解：[操作发现] ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴直线与的夹角度数为， 故答案为：，； [深入探究] ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； [迁移探究] 如图，当在上时，连接，交于点， ∵，，四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在上时，延长，交延长线于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， 由（）可得三点共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得：， 综上可知：线段的长． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 46．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）①②③④   （2），见解析（3） 或 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； （3）仿照（2）的解题思路，分点E在上和的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴；， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④． （2）解：连接，延长交于点G， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故的长度为 或 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 47．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图1，已知在正方形中，点E、F分别在边、上运动． 【尝试探究】 （1）如图1，当点E、F分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，并说明理由； 【模型建立】 （2）如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明； 【模型应用】 （3）如图3，已知是边长为5的等边三角形，，，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论不成立．，理由见解析；（3）10 【分析】（1）把绕点顺时针旋转至△，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立．，理由如下： 如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， （2）中的结论不成立，、和的数量关系为； （3） 是边长为5的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，解此题的关键是根据旋转的性质正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 48．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）4或2 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或； 故答案为：4或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 49．（2024·湖北十堰·模拟预测）综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3）．理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，证出，得出，则可得出结论； （2）①延长至，使，连接，，证出，则，由等边三角形的性质可得出结论； ②证出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，，同（2）可知是的中位线，得出，证出，得出， 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 50．（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案． （1）求证：是一个等腰直角三角形； 【类比论证】 （2）如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． 求证：； 【探究应用】 （3）菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至FE，作射线交的延长线于点G． 请直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3），理由见解析 【分析】（1）先证明，可得， 从而得到， 由此可得答案； （2）过点作交于点，结合正方形的性质和旋转的性质证明， 可得，， 从而得到， 进而得到是等腰直角三角形，即可证明结论； （3）过点作， 与的延长线交于点， 可证得，从而得到，， 进而得到， ， 继而得到结论． 【详解】（1）证明： ∵矩形和矩形是全等矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是为等腰直角三角形； （2）证明： 如图， 过点作交于点， ∵四边形是正方形， ， ， 由旋转的性质得：， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3），理由如下： 过点作，与的延长线交于点， 由旋转的性质得：， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∵， ∴， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形、矩形、菱形的性质以及旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$