11.1 不等式 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

11.1不等式

11.1.1 不等式及其解集

一、知识要点

1、不等式的定义：一般的，用符号“ ”（或“ ”）“”(或“ ”)连接的式子叫做不等式。

2、常用的不等号：

3、列不等式：

不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤：

（1）分析题意，找出题中的各种量；

（2）寻找各种量之间的相等或者不等关系；

（3）用代数式表示各种量；

（4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。

 

二、典例分析

例1. 2月1日某市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天气温变化范围t（℃）是（　　）

A．t＞8           B．t＜2      C．﹣2＜t＜8         D．﹣2≤t≤8

例2.式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（　　）

A．2个   B．3个   C．4个   D．5个

例3.下列各式是不等式的有（　　）个．

①﹣3＜0  ②4x+3y＞0  ③x=4  ④x+y  ⑤x≠5  ⑥x+2＞y+3．

A．1     B．2     C．3    D．4

 

三、针对练习

1.下列式子 ①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2中，不等式有（　　）个．

A．2     B．3      C．4     D．1

2.下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（　　）

A．2个        B．3个       C．4个       D．5个

3.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0；⑤3x﹣2=0．其中是不等式的个数有（　　）

A．2个         B．3个    C．4个      D．5个

 

11.1.2 不等式的性质

1、不等式的基本性质：

性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．

性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．

性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．

2、不等式的其他性质

（1）对称性，也叫互逆性：若 ，则 。

（2）传递性：若， ，则 。

（3）若a≥b，且b≥a，则a=b；  若a2≤0，则a=0；

（4）不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.

 （5）若a＞b，则 ac2≥bc2；若ac2＞bc2，则a＞b；若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）。

（6）若ab＞0或，则 同号，反之，若 同号，则ab＞0或 ； 若ab＜0或 ，则 异号，反之，若 异号，则ab＜0或。

（7）任意两个实数a、b的大小关系：若 ，则，反之，若，则；若 ，则 ，反之，若，则。若 ，则 ，反之，若，则。

 

二、典例分析

例1.如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（　　）

A．a2＞b2         B．1﹣a＞1﹣b      C．1+a＞1﹣b     D．1+a＞b﹣1

例2.下列判断中，正确的序号为　   　．

①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．

例3．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　）

A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2

例4．比较a+b与a﹣b的大小，叙述正确的是（　　）

A．a+b≥a﹣b B．a+b＞a﹣b 

C．由a的大小确定 D．由b的大小确定

例5.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．

（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；　  　；    （2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；　  　；

（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；　  　；    （4）若ac2＞bc2，则a＞b；　  　；

（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．　  　； （6）若a＞b＞0，则＜．　  　；

　

例6.根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．

（1）x﹣2＜3x﹣3；        （2）﹣x+2＜x﹣6；

（3）3x+3＜0；            （4）﹣2x+1＜x+4．

 

 

 

 

三、针对练习

1.下列不等式变形正确的是（　　）

A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2          B．由a＞b，得|a|＞|b|

C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b          D．由a＞b，得a2＞b2

2.如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（　　）

A．a﹣c＞b﹣c        B．c﹣a＞c﹣b        C．ac＞bc        D．＞

3.若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）

A．a﹣2＜b﹣2    B．＞     C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b

4.若﹣2a＜﹣2b，则a＞b，则根据是（　　）

A．不等式的基本性质1         B．不等式的基本性质2