11.1 不等式 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

11.1不等式 11.1.1 不等式及其解集 一、知识要点 1、不等式的定义：一般的，用符号“ ”（或“ ”）“”(或“ ”)连接的式子叫做不等式。 2、常用的不等号： 种类 符号 实际意义 读法 小于号 < 小于、不足 小于 大于号 > 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不少于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等号 ≠ 不相等 不等于 3、列不等式： 不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤： （1）分析题意，找出题中的各种量； （2）寻找各种量之间的相等或者不等关系； （3）用代数式表示各种量； （4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。 二、典例分析 例1. 2月1日某市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天气温变化范围t（℃）是（　　） A．t＞8 B．t＜2 C．﹣2＜t＜8 D．﹣2≤t≤8 例2.式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例3.下列各式是不等式的有（　　）个． ①﹣3＜0 ②4x+3y＞0 ③x=4 ④x+y ⑤x≠5 ⑥x+2＞y+3． A．1 B．2 C．3 D．4 三、针对练习 1.下列式子 ①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2中，不等式有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．1 2.下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0；⑤3x﹣2=0．其中是不等式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11.1.2 不等式的性质 1、不等式的基本性质： 性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）． 2、不等式的其他性质 （1）对称性，也叫互逆性：若 ，则 。 （2）传递性：若， ，则 。 （3）若a≥b，且b≥a，�则a=b； 若a2≤0，则a=0； （4）不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c. （5）若a＞b，则 ac2≥bc2；若ac2＞bc2，则a＞b；若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）。 （6）若ab＞0或，则 同号，反之，若 同号，则ab＞0或 ； 若ab＜0或 ，则 异号，反之，若 异号，则ab＜0或。 （7）任意两个实数a、b的大小关系：若 ，则，反之，若，则；若 ，则 ，反之，若，则。若 ，则 ，反之，若，则。 二、典例分析 例1.如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1 例2.下列判断中，正确的序号为　 　． ①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c． 例3．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　） A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2 例4．比较a+b与a﹣b的大小，叙述正确的是（　　） A．a+b≥a﹣b B．a+b＞a﹣b C．由a的大小确定 D．由b的大小确定 例5.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；　 　； （2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；　 　； （3）若a＞b，则 ac2＞bc2；　 　； （4）若ac2＞bc2，则a＞b；　 　； （5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．　 　； （6）若a＞b＞0，则＜．　 　； 　 例6.根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x﹣2＜3x﹣3； （2）﹣x+2＜x﹣6； （3）3x+3＜0； （4）﹣2x+1＜x+4． 三、针对练习 1.下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b| C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2 2.如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（　　） A．a﹣c＞b﹣c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．＞ 3.若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b 4.若﹣2a＜﹣2b，则a＞b，则根据是（　　） A．不等式的基本性质1 B．不等式的基本性质2 C．不等式的基本性质3 D．等式的基本性质2 5.若x＞y，则下列式子中错误的是（　　） A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞ 6.若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（　　） A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y2 7.如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x　 　﹣y（填“＜、＞、或=”） 8.若a＞b，则a+b　 　2b．（填“＞”、“＜”或“=”） 11.1不等式 11.1.1 不等式及其解集 一、知识要点 1、不等式的定义：一般的，用符号“ ”（或“ ”）“”(或“ ”)连接的式子叫做不等式。 2、常用的不等号： 种类 符号 实际意义 读法 小于号 < 小于、不足 小于 大于号 > 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不少于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等号 ≠ 不相等 不等于 3、列不等式： 不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤： （1）分析题意，找出题中的各种量； （2）寻找各种量之间的相等或者不等关系； （3）用代数式表示各种量； （4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。 二、典例分析 例1. 2月1日某市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天气温变化范围t（℃）是（　　） A．t＞8 B．t＜2 C．﹣2＜t＜8 D．﹣2≤t≤8 【解析】由题意得﹣2≤t≤8．故选：D． 例2.式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，∴共4个不等式．故选C． 　 例3.下列各式是不等式的有（　　）个． ①﹣3＜0 ②4x+3y＞0 ③x=4 ④x+y ⑤x≠5 ⑥x+2＞y+3． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】根据不等式的定义可知，符号不等式定义的有①②⑤⑥．故选D． 三、针对练习 1.下列式子 ①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2中，不等式有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．1 【解析】①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2是不等式，故选：C． 2.下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】其中是不等式的有：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．共4个．故选C． 　 3.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0；⑤3x﹣2=0．其中是不等式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】不等式有：：①3x＞5；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0共3个．故选B． 11.1.2 不等式的性质 1、不等式的基本性质： 性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）． 2、不等式的其他性质 （1）对称性，也叫互逆性：若 ，则 。 （2）传递性：若， ，则 。 （3）若a≥b，且b≥a，�则a=b； 若a2≤0，则a=0； （4）不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c. （5）若a＞b，则 ac2≥bc2；若ac2＞bc2，则a＞b；若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）。 （6）若ab＞0或，则 同号，反之，若 同号，则ab＞0或 ； 若ab＜0或 ，则 异号，反之，若 异号，则ab＜0或。 （7）任意两个实数a、b的大小关系：若 ，则，反之，若，则；若 ，则 ，反之，若，则。若 ，则 ，反之，若，则。 二、典例分析 例1.如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1 【解析】选：D． 例2.下列判断中，正确的序号为　 　． ①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c． 【解析】答案为：①④⑤． 例3．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　） A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2 【解析】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误； C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b∴m﹣a＞m﹣b，故C正确； D、∵m2≥0，a＜b∴am2≤bm2，故D错误；故选：C． 例4．比较a+b与a﹣b的大小，叙述正确的是（　　） A．a+b≥a﹣b B．a+b＞a﹣b C．由a的大小确定 D．由b的大小确定 【解析】解：∵a+b﹣（a﹣b）＝a+b﹣a+b＝2b，∴当b≥0时，2b≥0，a+b≥a﹣b； 当b＜0时，2b＜0，a+b＜a﹣b．故选：D． 例5.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；　 　； （2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；　 　； （3）若a＞b，则 ac2＞bc2；　 　； （4）若ac2＞bc2，则a＞b；　 　； （5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．　 　； （6）若a＞b＞0，则＜．　 　； 【解析】答案为：√、×、×、√、√、√． 　例6.根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x﹣2＜3x﹣3； （2）﹣x+2＜x﹣6； （3）3x+3＜0； （4）﹣2x+1＜x+4． 【解析】（1）x﹣2＜3x﹣3两边同时加上2，得：x＜3x﹣1，两边同时减去3x，得：﹣2x＜﹣1 两边同时除以﹣2，得：x＞； （2）﹣x+2＜x﹣6两边同时减去2，得：﹣x＜x﹣8，两边同时减去x，得：﹣2x＜﹣8 两边同时除以﹣2，得：x＞4； （3）3x+3＜0，两边同时减去3，得：3x＜﹣3，两边同时除以3，得：x＜﹣1； （4）﹣2x+1＜x+4，两边同时减去1，得：﹣2x＜x+3，两边同时减去x，得：﹣3x＜3 两边同时除以﹣3，得：x＞﹣1． 三、针对练习 1.下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b| C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2 【解析】选：C． 2.如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（　　） A．a﹣c＞b﹣c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．＞ 【解析】选：A． 3.若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b 【解析】选：B． 4.若﹣2a＜﹣2b，则a＞b，则根据是（　　） A．不等式的基本性质1 B．不等式的基本性质2 C．不等式的基本性质3 D．等式的基本性质2 【解析】将不等式﹣2a＜﹣2b两边都除以﹣2，得：a＞b，其依据是不等式基本性质3，故选：C． 5.若x＞y，则下列式子中错误的是（　　） A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞ 【解析】选：C． 6.若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（　　） A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y2 【解析】选D. 7.如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x　 　﹣y（填“＜、＞、或=”） 【解析】如果2x﹣5＜2y﹣5，两边都加5可得2x＜2y；同除以（﹣2）可得：﹣x＞﹣y． 8.若a＞b，则a+b　 　2b．（填“＞”、“＜”或“=”） 【解析】不等式的两边都加b，不等号的方向不变，得a+b＞2b，故答案为：＞． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$