11.3 一元一次不等式组 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

11.3 一元一次不等式组 11.3.1 一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 2、一元一次不等式组的解集： （1）定义：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 方法总结：①找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． ②有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． （2）由两个一元一次不等式（其中a＞b）组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大取中间 无解（空集） 大大、小小无解 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 方法总结：解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集． 题型一、一元一次不等式组的概念 例1.下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 例2.判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ （1） （2） （3） （4） （5） 题型二、解一元一次不等式组 例1.解不等式组 例2. （1）解不等式组，并写出这个不等式组的最大整数解． （2）解不等式组：，并写出所有的整数解． 例3. 不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由. 题型三、解特殊的一元一次不等式组 例1.解下列不等式： （1）(3x-2)(x+3) ＞0　 　 （2） ＜0 （3）≤3 题型四、求解含参一元一次不等式组 例1.在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 例2.解不等式组 无解．则a的取值范围是 ( ) A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 例3.若关于x的不等式组的整数解恰有5个，求a的范围． 例4.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 例5.试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解． 例6.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值． 三、针对练习 1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2.下列不等式组：①，②，③，④，⑤． 其中一元一次不等组的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.下列各式中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 4.不等式组的最小正整数解为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5. 7x+1是不小于﹣3的负数，表示为（　　） A．﹣3≤7x+1≤0 B．﹣3＜7x+1＜0 C．﹣3≤7x+1＜0 D．﹣3＜7x+1≤0 6.不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7.不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 8.不等式组的所有整数和是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 9.已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．0≤a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1 10.不等式组的整数解有三个，则a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1≤a≤0 D．﹣1＜a＜0 11.已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5 12.不等式组的整数解有（　　） A．0个 B．5个 C．6个 D．无数个 13.不等式组的最小整数解是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 14.若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1≤a≤0 D．﹣1＜a＜0 15.不等式组的整数解的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个 16.不等式组：的最大整数解为（　　） A．1 B．﹣3 C．0 D．﹣1 17.关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（　　） A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜0 18.解不等式组 无解．则a的取值范围是 ( ) A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 19.已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是　 ． 20.不等式组的非负整数解是　 ． 21.不等式组的最小整数解是　 　． 22.已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是　 　． 23.不等式组的正整数解是 　． 24.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是　 　． 25.已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范是　 　． 26.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是　 　． 27.若不等式的整数解有5个，则m的取值范围是　 　． 28.不等式组的整数解 ． 29.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围． 11.3.2 一元一次不等式组的应用 一、知识要点 1、常见的一些等量关系 行程问题：路程＝速度×时间 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 数字问题：多位数的表示方法：例如：. 2、列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （4）解：解所列的不等式； （5）答：写出答案，并检验是否符合题意． 方法总结： （1）利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． （2）列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 二、典例分析 例1. 甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动．甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠．某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）．  （1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式。 （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？ （3）若该班级需要购买球拍4副，乒乓球12盒，请你设计出最佳购买方案。 例2.蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？ 例3.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？ 例4.某公司在甲、乙两座仓库分别设有农用车12辆和6辆。现需要调往A县10辆， 调往B县8辆。已知从甲仓库调运1辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运1辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。  （1）设从乙仓库调运A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式； （2）若要求总运费不超过900元，问一共有几种调运方案？ （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 例5.中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 例6. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，共有哪几种进货方案？ 例7. 为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案： 甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元； 乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元． 现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍． （1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？ （2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？ 三、针对训练 1.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位•千克） 600 100 原料价格（元•千克） 8 4 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg，则x应满足的不等式为（　　） A．600x+100（10-x）≥4200 B．8x+4（100-x）≤4200 C．600x+100（10-x）≤4200 D．8x+4（100-x）≥4200 2.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 3.西峰城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（　　） A．14.6﹣1.2＜5+1.2（x﹣3）≤14.6 B．14.6﹣1.2≤5+1.2（x﹣3）＜14.6 C．5+1.2（x﹣3）=14.6﹣1.2 D．5+1.2（x﹣3）=14.6 4.用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（　　） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 5.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器耗资不能超过34万元. 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日产量（个） 100 60 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 6.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 7.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）该校初三年级共有多少人参加春游? （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案． 8.“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？ 9.为了抓住保国寺建寺1000年的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ 10.倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买． （1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？ （2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？ 11.某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元． （1）求A、B两种商品的进价分别是多少元？ （2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？ 11.3 一元一次不等式组 11.3.1 一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 2、一元一次不等式组的解集： （1）定义：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 方法总结：①找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． ②有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． （2）由两个一元一次不等式（其中a＞b）组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大取中间 无解（空集） 大大、小小无解 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 方法总结：解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集． 题型一、一元一次不等式组的概念 例1.下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【解析】选D 例2.判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ （1） （2） （3） （4） （5） 【解析】综上，可知（3）（5）是一元一次不等式组． 题型二、解一元一次不等式组 例1.解不等式组 【解析】解：解不等式①，得x≥1； 解不等式②，得x＜4； 所以，不等式组的解集是1≤x＜4． 例2. （1）解不等式组，并写出这个不等式组的最大整数解． （2）解不等式组：，并写出所有的整数解． 【解析】（1）由①，得：x＞﹣1，由②，得：x≤2， 所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，所以不等式组的最大整数解是2． （2）由①得，4x+4≤7x+10，﹣3x≤6，x≥﹣2， 由②得，3x﹣3≤x﹣3，x≤0， 所以，不等式组的解集是﹣2≤x≤0，所以，原不等式的所有的整数解为﹣2，﹣1，0． 例3. 不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由. 【解析】解：解不等式（1），得：x＜2；解不等式（2），得：x-3；解不等式（3），得：x-2； 在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集： ∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2. ∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1. 题型三、解特殊的一元一次不等式组 例1.解下列不等式： （1）(3x-2)(x+3) ＞0　 　（2） ＜0 （3）∣∣≤3 【解析】解：（1）由(3x-2)(x+3)＞0,得① 或② 由①得；由②得x＜-3. ∴原不等式的解集是或x＜-3. （2）由，得① 或② 由①得无解；由②得. ∴原不等式的解集是 . （3）原不等式可以变形为：； ，；∴原不等式的解集为． 题型四、求解含参一元一次不等式组 例1.在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（　　） A． B． C． D． 【解析】选C 例2.解不等式组 无解．则a的取值范围是 ( ) A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 【解析】解不等式组 ，可得：，在数轴上表示如图1. 要使该不等式组无解，只有图2所示情形。容易看出，故选B. 例3.若关于x的不等式组的整数解恰有5个，求a的范围． 【解析】 由①得x≥a， 由②得x＜2， ∵关于x的不等式组的整数解恰有5个， ∴a≤x＜2，其整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1, ∴a的取范围是﹣4＜a≤﹣3． 例4.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 【解析】解方程，得：，解得：； 将代入①得：，解得； 则该方程组的解为：，由可得解得：. 例5.试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解． 【解析】解：由不等式，分母得3x+2(x+1)＞0， 去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞． 由不等式去分母得3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a． 所以原不等式组的解集为，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：≤１． 例6.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值． 【解析】解：解不等式①，得解集， 解不等式②，得解集， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴，即，又为自然数，∴或1或2． 三、针对练习 1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【解析】选A 2.下列不等式组：①，②，③，④，⑤． 其中一元一次不等组的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】故有①②④三个一元一次不等式组；故选B． 3.下列各式中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【解析】故选：D． 4.不等式组的最小正整数解为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】不等组的解集为﹣1≤x＜4，因而不等式组的最小整数解是1．故选A． 5. 7x+1是不小于﹣3的负数，表示为（　　） A．﹣3≤7x+1≤0 B．﹣3＜7x+1＜0 C．﹣3≤7x+1＜0 D．﹣3＜7x+1≤0 【解析】由题意得：﹣3≤7x+1＜0，故选：C． 6.不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】原不等式组的解集是x≤﹣3；故选A． 　 7.不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【解析】不等式组的解集为：﹣2≤x＜2，选B． 8.不等式组的所有整数和是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解析】不等式解得：﹣2＜x≤1，整数解为﹣1，0，1，即整数解之和为﹣1+0+1=0，故选B． 9.已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．0≤a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1 【解析】不等式组的解集为a＜x＜2，∴0≤a＜1．选B． 10.不等式组的整数解有三个，则a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1≤a≤0 D．﹣1＜a＜0 【解析】选A 11.已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5 【解析】不等式组的解集为a＜x＜1， ∵不等式组有6个整数解，∴﹣6≤a＜5．故选B． 12.不等式组的整数解有（　　） A．0个 B．5个 C．6个 D．无数个 【解析】不等式组的解集为﹣3＜x≤2，∴整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个，故选B． 　 13.不等式组的最小整数解是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 【解析】不等式组整理得：，解得：﹣＜x≤4，则不等式组的最小整数解是0，故选A． 14.若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1≤a≤0 D．﹣1＜a＜0 【解析】不等式组的解集是a﹣1＜x＜1．∴﹣2≤a﹣1＜﹣1，解得：﹣1≤a＜0．故选A． 15.不等式组的整数解的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个 【解析】选C． 　 16.不等式组：的最大整数解为（　　） A．1 B．﹣3 C．0 D．﹣1 【解析】选：C． 17.关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（　　） A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜0 【解析】原不等式组的解集为﹣1≤m＜0，故选C． 18.解不等式组 无解．则a的取值范围是 ( ) A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 【答案】B 19.已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是　 ． 【解析】解不等式①得x≥a，解不等式②得x＜2，因为不等式组有5个整数解， 则这5个整数是1，0，﹣1，﹣2，﹣3，所以a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3． 20.不等式组的非负整数解是　 ． 【解析】由不等式1﹣x＞0得x＜1，由不等式3x＞2x﹣4得x＞﹣4， 所以其解集为﹣4＜x＜1， 则不等式组的非负整数解是0．故答案为：0． 　 21.不等式组的最小整数解是　 　． 【解析】，由①得x＞﹣；由②得3x≤12，即x≤4； 由以上可得不等式组的解集是：﹣＜x≤4，所以不等式组的最小整数解是0． 22.已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是　 　． 【解析】不等式组解得：a≤x≤2， ∵不等式组的整数解有5个为2，1，0，﹣1，﹣2，∴﹣3＜a≤﹣2．故答案为：﹣3＜a≤﹣2． 23.不等式组的正整数解是 　． 【解析】，解①得：x≤2，解②得：x＞﹣1， 则不等式组的解集是：﹣1＜x≤2，则正整数解是：1和2，故答案为1，2． 24.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是　 　． 【解析】由4x+2＞3x+3a，解得x＞3a﹣2，由2x＞3（x﹣2）+5， 解得3a﹣2＜x＜1， 由关于x的不等式组仅有三个整数解，得﹣3≤3a﹣2＜﹣2， 解得﹣≤a＜0，故答案为：﹣≤a＜0． 　 25.已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范是　 　． 【解析】，解①得：x≥a，解②得：x＜2． ∵不等式组有四个整数解， ∴不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1． 则实数a的取值范围是：﹣3＜a≤﹣2． 故答案是：﹣3＜a≤﹣2． 26.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是　 　． 【解析】不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3． 27.若不等式的整数解有5个，则m的取值范围是　 　． 【解析】，由①得：x＞3，由②得：x＜m+1，∴3＜x＜m+1， ∵不等式组有5个整数解，即：4、5、6、7、8，∴8＜m+1≤9，∴7＜m≤8，答案为7＜m≤8． 28.不等式组的整数解 ． 【解析】-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3． 29.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围． 【解析】解不等式组，解不等式①得：x＞﹣， 解不等式②得：x≤a+4， ∵不等式组有四个整数解，∴1≤a+4＜2， 解得：﹣3≤a＜﹣2． 11.3.2 一元一次不等式组的应用 一、知识要点 1、常见的一些等量关系 行程问题：路程＝速度×时间 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 数字问题：多位数的表示方法：例如：. 2、列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （4）解：解所列的不等式； （5）答：写出答案，并检验是否符合题意． 方法总结： （1）利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． （2）列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 二、典例分析 例1. 甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动．甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠．某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）．  （1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式。 （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？ （3）若该班级需要购买球拍4副，乒乓球12盒，请你设计出最佳购买方案。 【解析】解：（1）由题意得 y甲=20×4+5×（x-4）=60+5x（x≥4）， y乙=20×4×0.9+5x×0.9=4.5x+72（x≥4）； （2）当y甲=y乙时，即60+5x=4.5x+72，解得x=24，到两店价格一样； 当y甲＞y乙时，即60+5x＞4.5x+72，解得x＞24，到乙店合算； 当y甲＜y乙时，即60+5x＜4.5x+72，解得4≤x＜24，到甲店合算． （3）因为需要购买4副球拍和12盒乒乓球，而12＜24， ①购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=120元； ②购买方案二：采用两种购买方式， 在甲店购买4副球拍，需要4×20=80元，同时可获赠4盒乒乓球； 在乙店购买8盒乒乓球，需要8×5×90%=36元．共需80+36=116元．显然116＜120． ∴最佳购买方案是：在甲店购买4副球拍，获赠4盒乒乓球；再在乙店购买8盒乒乓球． 答：（1）y甲=60+5x（x≥4），y乙=4.5x+72（x≥4）． （2）当x=24，到两店价格一样；当x＞24，到乙店合算；当4≤x＜24，到甲店合算． （3）在甲店购买4副球拍，获赠4盒乒乓球；再在乙店购买8盒乒乓球． 例2.蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？ 【解析】解:设需调用B型车x辆,由题意得:,解得: , 又因为x取整数,所以x最小取11. 答:在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车11辆. 例3.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？ 【解析】设猴子有x只，花生有(3x+8)颗，根据题意得：，解得：。 ∵x取整数，∴x=5或6，①当x=5时，3x+8=3×5+8=23（颗）；②当x=6时，3x+8=3×6+8=26（颗）； 答：①若有5只猴子，则花生23棵．②若有6只猴子，花生26棵． 例4.某公司在甲、乙两座仓库分别设有农用车12辆和6辆。现需要调往A县10辆， 调往B县8辆。已知从甲仓库调运1辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运1辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。  （1）设从乙仓库调运A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式； （2）若要求总运费不超过900元，问一共有几种调运方案？ （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【解析】（1）若乙仓库调往 A 县农用车 x 辆, 则乙仓库调往 B 县农用车辆，A县需10 辆车，故甲给 A 县调农用车 (10-x) 辆，那么甲仓库给 B 县调农用车辆。根据各个调用方式的运费可以列出方程, 化简得 （2）总运费不超过 900 元，即, 可得解得, 所以或 1 或 2, 即有如下三种方案: ①甲往辆；乙往辆；甲往辆；乙往辆. ②甲往 A:9 辆；乙往辆；甲往辆；乙往辆。 ③甲往 A:8 辆；乙往辆；甲往辆；乙往辆。 （3）要使得总运费最低，由, 可知当时y 值最小，最小值为 860, 即 (2) 中的第①种方案，即甲往 A:10 辆；乙往 A:0 辆；甲往 B: 2 辆；乙往 B:6 辆，最低运费为 860 元. 例5.中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 【解析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨， ，解得．即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； （2）由题意可得，设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y辆， ，解得或或， 故有三种派车方案,第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆． 例6. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，共有哪几种进货方案？ 【解析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为m元，=，m=4000，检验：m=4000时， m（1000+m）≠0，m=4000是原分式方程的解．今年三月份的售价为4000元． （2）设购进甲x台，购进乙为（15﹣x）台，，6≤x≤10． 方案：甲6台，乙9台；甲7台，乙8台；甲8台，乙7台；甲9台，乙6台；甲10台，乙5台。 故5种方案． 例7. 为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案： 甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元； 乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元． 现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍． （1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？ （2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？ 【解析】（1）设A型花和B型花每枝的成本分别是x元和y元，根据题意得：，解得： 所以A型花和B型花每枝的成本分别是5元和4元． （2）设按甲方案绿化的道路总长度为a米，根据题意得：1500﹣a≥2a，a≤500 则所需工程的总成本是： 5×2a+4×3a+5（1500﹣a）+4×5（1500﹣a）=10a+12a+7500﹣5a+30000﹣20a=37500﹣3a ∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少 w=37500﹣3×500=36000（元） ∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元． 三、针对训练 1.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位•千克） 600 100 原料价格（元•千克） 8 4 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg，则x应满足的不等式为（　　） A．600x+100（10-x）≥4200 B．8x+4（100-x）≤4200 C．600x+100（10-x）≤4200 D．8x+4（100-x）≥4200 【解析】A； 2.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 【解析】设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，故选：C． 3.西峰城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（　　） A．14.6﹣1.2＜5+1.2（x﹣3）≤14.6 B．14.6﹣1.2≤5+1.2（x﹣3）＜14.6 C．5+1.2（x﹣3）=14.6﹣1.2 D．5+1.2（x﹣3）=14.6 【解析】∵14.6＞5，∴行驶距离在3千米外．则14.6﹣1.2＜5+1.2（x﹣3）≤14.6．故选：A． 4.用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（　　） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 【解析】选：B． 5.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器耗资不能超过34万元. 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日产量（个） 100 60 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 【解析】（1）设购买甲种机器x台,则购买乙种机器(6-x)台；由题意,得， 解这个不等式,得x≤2,即x可以取 0、1、2 三个值,所以,该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台；方案二:购买甲种机器1台,购买乙种机器5台； 方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台. （2）按方案一购买机器,所耗资金为30万元,新购买机器日生产量为360个. 按方案二购买机器,所耗资金为1×7+5×5=32万元；新购买机器日生产量为1×100+5×60=400个； 按方案三购买机器,所耗资金为2×7+4×5=34万元;新购买机器日生产量为2×100+4×60=440个。 因此,选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求,又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。 6.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 【解析】解：设有辆车，则有吨货物． 由题意，得，解不等式①，得：；解不等式②，得：； 所以不等式组的解集为． ∵为正整数，∴x=6． 答：有6辆汽车． 7.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）该校初三年级共有多少人参加春游? （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【解析】 解：(1)设租36座的车x辆． 据题意得：，解得：． 由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)． (2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)， 方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)， 方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋1×400＝3040(元) ． 所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 8.“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？ 【解析】解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x、y、z，由题意得： 且，由方程组得：，解不等式组得：10≤x≤11 ∵x为整数，∴x＝10或x＝11； 当x＝10时，y＝12，z＝12； 当x＝11时，y＝13，z＝7 ∴可有两种方案购买． 9.为了抓住保国寺建寺1000年的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ 【解析】（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元， 根据题意得方程组得：，解方程组得：， ∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元； （2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个， ∴，解得：50≤x≤53， ∵x 为正整数，x=50，51，52，53，∴共有4种进货方案， 分别为：方案1：商店购进A种纪念品50个，则购进B种纪念品有50个； 方案2：商店购进A种纪念品51个，则购进B种纪念品有49个； 方案3：商店购进A种纪念品52个，则购进B种纪念品有48个； 方案4：商店购进A种纪念品53个，则购进B种纪念品有47个． 10.倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买． （1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？ （2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？ 【解析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套， 根据题意，得：，解得：， 答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套． （2）设购买A型号健身器材m套，根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，解得：m≥33， ∵m为整数，∴m的最小值为34， 答：A种型号健身器材至少要购买34套． 11.某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元． （1）求A、B两种商品的进价分别是多少元？ （2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？ 【解析】（1）设A商品的进价是a元，B商品的进价是b元， 根据题意得：，解得：， 答：A商品的进价是16元，B商品的进价是4元； （2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（100﹣x）件，根据题意得：16x+4（100﹣x）≤900， 解得：x≤41，∵x为整数， ∴x的最大整数解为41，∴最多能购进A种商品41件. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$