精品解析：山东省烟台市芝罘区2024—2025学年上学期九年级数学期末试卷

初四数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为（ ） A. 3个 B. 6个 C. 9个 D. 12个 3. 已知抛物线，下列结论正确是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当大于时随的增大而减小 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 对称轴是直线 4. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 将二次函数的图象向右平移个单位后经过点，则的值是（） A. 2 B. 2或4 C. 6 D. 4 9. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数； ②时，； ③； ④当时，过的顶点．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 10. 如图，，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______ ． 12. 在中，，，，则长度______． 13. 如图，是的内接三角形，若，，则________． 14. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 15. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长度是______． 16. 将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 计算： 18. 一个几何体的三视图如图（其俯视图是等边），请解答下列问题： （1）这个几何体的名称是 ； （2）根据图中标注的尺寸，求这个几何体的体积． 19. 化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______； （2）小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率． 20. 如图，在中，，，． （1）求长； （2）点在线段上，连接，且，求的值． 21. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元／件），与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． （1）求出与之间的函数关系式； （2）市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过，求每天的利润与销售单价之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 22. 某校数学实践小组利用周末来到河边，发现河对岸东西方向上两棵树和． 接下来他们准备利用所学的数学知识测量和的距离，并设计了如下实践报告单： 【实践课题】 测量两棵树和之间的距离 【实践工具】 皮尺，测角仪，计算器等测量工具 【实践活动】 测量小组根据河岸地形状况，在岸边选取合适的点位于树正南方向的点．然后向西走120米到点，测量和，测量三次取平均值，得到数据：，，并利用计算器计算了如下参考数据：，，，，，画出如下示意图： 【问题解决】 请你根据以上报告单，求间的距离（结果保留到0.1米）． 23. 如图，四边形内接于，直径，，是延长线上一点，连接且． （1）求证：是切线； （2）若，，求的半径长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在直线上方时，求面积的最大值； （3）当点在轴右侧时： ①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______； ②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初四数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示． 【详解】解：由题意，得：“卯”的俯视图为：． 故选A． 2. 在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为（ ） A. 3个 B. 6个 C. 9个 D. 12个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，分式方程的解法，熟练掌握利用概率求解问题是解题的关键．设白球的个数为x个，由题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设白球的个数为x个，由题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的根， ∴白球的个数为12个； 故选：D． 3. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当大于时随增大而减小 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】由抛物线可知： ，开口向下，故A选项不正确； 对称轴为，当大于时随的增大而减小，故B选项正确，D选项不正确； 抛物线的顶点坐标为，故C选项不正确； 故选：B 4. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 5. 如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理，可求得点P到A，B，C，D，E各点的距离，只有到B、C、E的距离相等，而三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即可解答． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是的外心， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外心及勾股定理，解题的关键在于熟悉三角形外心的概念． 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了抛物线和直线的图象，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意； B、由抛物线，可知图象开口向下，交轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意； C、由抛物线，可知图象开口向上，交轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意； D、由抛物线，可知图象开口向上，交轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解． 【详解】∵正方形的边长为4 ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ ∴圆锥底面周长为，解得 ∴该圆锥的底面圆的半径是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 8. 将二次函数的图象向右平移个单位后经过点，则的值是（） A. 2 B. 2或4 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移以及点与函数图象的关系，解题的关键是掌握二次函数图象平移的规律． 先根据二次函数图象平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点代入平移后的解析式，进而求解的值． 【详解】． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为 因为平移后的图象经过点， 把代入中， 可得，即． 则或． 当时，解得，因为，所以舍去． 当时，解得． 综上，的值为4， 故选：D． 9. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数； ②时，； ③； ④当时，过的顶点．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．结合图象，逐项分析解答即可得解． 【详解】由图可知：抛物线开口向上，顶点在x轴上方，故无论取何值，的值总是正数，结论①正确； 当时，抛物线图象在抛物线图象的下方，即，结论②正确； 将代入得，故，令，得到，；由，令，得，解得：，即，所以，即结论③错误； 当时，，顶点为，满足抛物线得解析式，即过的顶点，结论④正确； 故选：C 10. 如图，，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 为的中点，的中点， ，, , , 根据三角形边长关系可得， 的最大值为， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______ ． 【答案】且x≠4 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】 ∴且x-4≠0， ∴自变量x的取值范围是且x≠4. 【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 在中，，，，则长度是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是利用余弦函数的定义求出直角三角形的斜边． 先根据余弦函数的定义得出的值，再设，最后结合勾股定理求解AB的长度． 【详解】在中，，根据余弦函数的定义， 已知，所以设， 根据勾股定理， 已知，则， 即． 两边同时除以16得， ， ， 则． 故答案为：10． 13. 如图，是的内接三角形，若，，则________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 15. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，等腰直角三角形，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，连接，，，通过证明为等腰直角三角形可得，通过证明为等腰直角三角形可得，即可求出的长，再利用勾股定理求解的长，进而可求出的长． 【详解】过点作，交的延长线于点，连接，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简，解题的关键是牢记特殊三角函数值并正确化简绝对值． 分别计算绝对值、三角函数乘积以及分式的值，再进行加减运算． 【详解】原式 18. 一个几何体的三视图如图（其俯视图是等边），请解答下列问题： （1）这个几何体的名称是 ； （2）根据图中标注的尺寸，求这个几何体的体积． 【答案】（1）三棱柱 （2）这个几何体的体积 【解析】 【分析】此题考查了由三视图判断几何体和几何体的体积求法，正确判断出几何体的形状是解题关键． （1）利用主视图以及俯视图即可得出该几何体是三棱柱，进而得出答案； （2）由三视图知，三棱柱的底面是高为的等边三角形，三棱柱的高为，再用底面积乘高即可求解． 【小问1详解】 解：根据三视图可得这个几何体的名称是三棱柱； 故答案为：三棱柱； 【小问2详解】 解：如图，作于点D，则题意，， 是等边三角形 ， 在中， 这个几何体的体积 19. 化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______； （2）小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）列出表格，根据表格可求解； 【小问1详解】 解：∵一共有（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属元素卡片， ∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，共6种， 小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为． 20. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）点在线段上，连接，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算．直角三角形两锐角互余，等角对等边等知识． （1）作于点，根据正弦和余弦的定义分别求出和，根据直角三角形两锐角互余得出，再根据等角对等边得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． （2）作于点，，则，，根据正切的定义得出，进而可得出，再根据，进而可得出，，进而了可得出，最后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：作于点 在中，， ， 在中， ， 【小问2详解】 解：作于点，则， ∴， ，， ， ， ， 由题意，， 21. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元／件），与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． （1）求出与之间的函数关系式； （2）市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过，求每天的利润与销售单价之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价定为140元／件时，每天最大利润元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式； （2）根据利润=（售价－单价）×销售量，由题意可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由函数图象得， 解得：， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 ，所以 ， ， 当时，， 售价定为140元／件时，每天最大利润元． 22. 某校数学实践小组利用周末来到河边，发现河对岸东西方向上两棵树和． 接下来他们准备利用所学的数学知识测量和的距离，并设计了如下实践报告单： 实践课题】 测量两棵树和之间的距离 【实践工具】 皮尺，测角仪，计算器等测量工具 【实践活动】 测量小组根据河岸地形状况，在岸边选取合适点位于树正南方向的点．然后向西走120米到点，测量和，测量三次取平均值，得到数据：，，并利用计算器计算了如下参考数据：，，，，，画出如下示意图： 【问题解决】 请你根据以上报告单，求间的距离（结果保留到0.1米）． 【答案】间的距离约为202.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角函数的应用，根据题意作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点作于点，在中，结合，利用三角函数求出，在和中，利用已知的角度三角函数关系，这一条件进行计算，得出的长度． 详解】解：过点作于点． 由题意知，，， 在中， ， 在中， ， 在中， （米） 答：间的距离约为202.2米． 23. 如图，四边形内接于，是直径，，是延长线上一点，连接且． （1）求证：是切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交于点，证明，又，得到，继而得证； （2）设的半径为，则易得，由勾股定理得到，得到，继而得解； 【小问1详解】 连接并延长交于点，连接，则， ， ， ， 又为半径， 是切线 【小问2详解】 设的半径为， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 是直径， ， 的半径长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在直线上方时，求面积最大值； （3）当点在轴右侧时： ①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______； ②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值． 【答案】（1） （2）4 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出直线与坐标轴交点A，B的坐标，再代入抛物线解析式求出b，c的值． （2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，则，得到点的坐标为，通过三角形面积公式表示出面积，再根据二次函数性质求最大值． （3）①先求出面积，再根据面积与面积关系求出点纵坐标，进而求出横坐标．②分二种情况，根据平行四边形对边平行且相等的性质，利用点的坐标关系求出的值． 【小问1详解】 对于直线，当时，，解得， ； 当时，， ， 把得： ， 将代入， 得，解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得， ． 点的坐标为， ． 将代入， ， 面积的最大值最大值是4； 【小问3详解】 ①抛物线，令，即， 解得， ． ， 的面积是面积的一半， ， 过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n， H点坐标为，， 代入化简解得， 代入抛物线得， ； ②由题意， 当是对角线时，如图，， 由及平移得， 代入，解得； 当是平行四边形的边时，如图，， 由及平移得， 代入，解得； 解得 的值是或． 【点睛】 本题考查一次函数与二次函数的综合应用，三角形面积计算，平行四边形的性质等，解题的关键是熟练掌握函数的性质，利用相关公式和性质建立方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$