精品解析：重庆市南开中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2024-2025学年度春季学期开学考试 九年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、 是负整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、2是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意； D、 是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列蛇年剪纸图片中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形； 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 3. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：C． 4. 如图，将直尺和 的三角尺叠放在一起，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴， ∴， 故选：B 5. 如图， 与是以点 为位似中心的位似图形，若，则 与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 先根据位似的性质得到 与的位似比为，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解： 与是位似图形，点 为位似中心， ， ∴ 与的周长比是 ， 故选：B． 6. 如图，下列图形由多个完全相同的●组成，第一个图形如图①有5个●，第二个图形如图②有11个●，第三个图形如图③有19个●，…，以此类推，第11个图形中●的个数为（ ） A. 131 B. 132 C. 155 D. 156 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解． 仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可． 【详解】解：观察图形发现： 第一个图形如图①有个●， 第二个图形如图②有个●， 第三个图形如图③有个●， … 第n个图形有个●， ∴第11个图形中●的个数为， 故选：C． 7. 估计的值应在（ ） A. 18到19之间 B. 19到20之间 C. 20到21之间 D. 21到22之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即的值应在20到21之间， 故选：C． 8. 如图，已知点 为矩形 的对称中心，，，以 为圆心，为半径作扇形，点为的中点，连接 ，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，分别交于点F和点G，证明，则，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，分别交于点F和点G， ∵点 为矩形 的对称中心，，， ∴，， ，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴是等边三角形，， ∵点为的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了扇形面积、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，证明是解题的关键． 9. 如图，在正方形 中， ，连接 ，， 平分交于 ，过 作交于 ，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识．证明，得到，求出，证明，得到，，证明，得到，由即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵四边形 是正方形， ∴， ∵ ，， ∴ ，， ∴， ∴， ∵ 平分交于 ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 10. 已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法的应用及实数的运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 利用整式的乘法法则，当时，，， 可判断①错误；当时，，经过计算，可判断②错误；当为奇数时，令,则，，得，可判断③正确；当为偶数时，当 时， ； 当时，； ,依此类推，可判断④正确；即可判断出有几个正确的． 【详解】解：①当时，，， 故①错误； ②当时，， ，，，，， ， 故②错误； ③当为奇数时，令, 则 ， ， ， 故③正确； ④当为偶数时， 当 时，， ； 当时，， ； , 依此类推， 故④正确； 故答案为：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 2025年春节期间，重庆洪崖洞景区接待游客超人次，将数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“允”，“公”，“允”，“能”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的汉字是“允”和“公”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字是“允”和“公”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，抽取的两张卡片上的汉字是“允”和“公”的结果为4种， ∴抽取的两张卡片上的汉字是“允”和“公”的概率是． 故答案为：． 13. 如图，在四边形 中，对角线，交于点 ，在边上有一点，连接 ， ，是以 为底的等腰三角形，且，若 ，，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义和全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．由等腰三角形的定义得到，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是以 为底的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14. 若关于 的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于 的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多4个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 15. 如图， 内接于， 是的直径， 是的切线，点 为切点，点在的延长线上， ，，垂足分别为点 ， ，连接 ．若，，则 _______，____________________． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，过 作交 延长线于点 ，连接 ，根据切线的性质、正方形的判定可得四边形为正方形，再由勾股定理，可求出，再根据正方形的性质可求 ，即可求得直径 ；过 作交 于点，连接，根据等面积法即，可求出，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可求出，再根据，可证明 、 、 、 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得，，从而证明△△，最后由，即可求出 ，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过 作交 延长线于点 ，过 作交 于点，连接 ，， 是的直径， ， ， 、、为等腰直角三角形， ， 是的切线， ， ， ， ， 四边形为正方形， 设， 则， ， 即， 解得：（舍去负值）， ，， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ． 、 、 、 四点共圆， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：12；． 16. 一个四位自然数，如果 的千位数字和十位数字组成的两位数与 的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72，那么就称这个数为“72变数”．把“72变数” 的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数2493，，是“72变数”，且．则最小的“72变数”是__________，若是“72变数”，且，则满足条件的所有的和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数的规律探索，整式的运算，解方程组等知识点，正确找到规律是解决此题的关键．根据题目的对“72变数”的定义求解第一空．根据题目对“72变数”的定义，求出a，b，c，d之间的关系式，然后根据题目讨论求解即可． 【详解】解：根据“72变数”的定义，四位数，千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72， ， 要使四位数最小，千位数字应尽可能小， 是千位数字， ，此时要使 最小，百位数字也应尽可能小，取， ，即， 要使 最小， 应尽可能小， 是一位数， ，则 不符合个位数字是一位数的要求， 当，无法满足条件， ，时，，即，，同样无法满足要求， ，时，，即，，也无法满足要求， 当，时，，即，，也无法满足要求， 当，时，，即，，此时取，不符合要求，取，不符合要求，取，满足要求， 最小的“72变数”为， ， 是“72变数”， ， ， ， ，即， ， ，，，，且，且所有字母都取整数， 当时， ，得，此时当 时，， ，此时符合题意， 当 时， ，得 ，此时没有值，使， 是整数，不符合题意， 按此思路，分别计算得， 当 时， ，得，此时，而，是整数， ，此时符合题意， 当时， ，得，此时当，而，是整数， ，此时，符合题意， 当时， ，得，此时没有值，使， 是整数，不符合题意， 当时， ，得，此时没有值，使， 是整数，不符合题意， 当 时， ， ，，， ，而，不符合题意， 当 ， 时，而，，不符合题意， 满足条件的所有的和为， 故答案为：， ． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，每小问各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）化简求值：，其中，满足． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的化简求值等知识． （1）利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、立方根、绝对值、二次根式的分母有理化等知识进行计算即可； （2）先利用分式的混合运算法则计算得到化简结果，再根据非负数的性质得到，代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴原式． 18. 传播科学知识，讲好科学故事．近期我校举办了第三届科普讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：（ 组：； 组：； 组：； 组：；单位：分）． 九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99． 八年级10名同学中成绩在 组中的数据为：84：在 组中的数据为：90，92，93，93．根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级所抽学生大赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.8 93 32.56 九年级 90.8 92 31.92 八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图 （1）上述图表中 ____， ____， ____； （2）根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的科普讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校八、九年级各有300名同学参加了此次科普讲解大赛，估计我校八、九年级参加此次科普讲解大赛成绩在 组的学生人数是多少？ 【答案】（1）91；95；． （2）九年级学生的科普讲解大赛成绩较好，理由见解析． （3）人． 【解析】 【分析】此题考查了样本估计总体、中位数、众数、方差、平均数等统计量的定义和意义等知识． （1）求出八年级各组的人数和占比，根据中位数、众数的定义即可得到答案； （2）根据平均数和方差进行分析即可； （3）各年级人数乘以对应的占比再求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级 名学生， ∴A组的人数为1人，占比为：， C组的人数为4人，占比为：， D组的人数占比为：，人数为 （人）， B组的人数占比为：，即，人数为（人）， 八年级成绩的中位数在第5，6为同学的成绩的平均数， 即为C组中90，92的平均数，即， 九年级10名同学成绩出现次数最多的是95， ∴， 故答案为：91；95；． 【小问2详解】 解：九年级学生的科普讲解大赛成绩较好，理由：在平均数相同的情况下，九年级学生的科普讲解大赛成绩的方差小于八年级学生的科普讲解大赛成绩的方差． 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计我校八、九年级参加此次科普讲解大赛成绩在 组的学生人数是人． 19. 在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点 作的切线交 延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）完成下列证明过程： 为的切线， ①_____（圆的切线垂直于过切点的半径） ， 即． ②_____， ． 又， ． ， ③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ， ， ④_____ 即． 在探索过程中，我们还发现 ，即圆的弦切角等于所对的⑤______． 【答案】（1）见解析 （2）① ，②，③，④，⑤圆周角 【解析】 【分析】此题考查了切线判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识． （1）过点C作射线的垂线交 延长线于，连接即可； （2）证明，，得到 ，证明，则，即可得到．再根据证明过程得到圆的弦切角等于所对的圆周角． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明： 为的切线， （圆的切线垂直于过切点的半径） ， 即． ， ． 又， ． ， ，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ， ， 即． 在探索过程中，我们还发现 ，即圆的弦切角等于所对的圆周角． 故答案为：① ，②，③，④，⑤圆周角． 20. 临近春节，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的福字和对联，每副对联的进价比每张福字的进价高5元． （1）求一张福字和一副对联的进价分别是多少元？ （2）这批福字和对联很快被一抢而空，该商店计划再购进一批福字和对联，此时每张福字的进价上涨了元，购进福字的数量在第一次的基础上减少了 张：对联的进价不变，购进对联的数量在第一次的基础上减少了副，总花费1100元，求的值． 【答案】（1）一张福字进价为元，一副对联的进价为 元； （2）的值为2． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用． （1）设一张福字进价为 元，一副对联的进价为元，商店分别用300元，800元购进一批数量相同的福字和对联，据此列方程，解方程并检验即可； （2）根据总花费1100元列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设一张福字进价为 元，一副对联的进价为元， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， ∴ 答：一张福字进价为元，一副对联的进价为 元； 【小问2详解】 第一次购进福字（张）， 第一次购进对联（副）， 根据题意可得， 解得（不合题意，舍去） 答：的值为2． 21. 如图1，在平行四边形 中，， ， ．点为边的中点，动点从点 出发，沿折线 方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点 时停止运动，连接 ， ．设点的运动时间为 秒，记为 ． （1）请直接写出 关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数 与 的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】（1） （2） 画图如下： 由图象知：当时，y随x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，分 和 讨论，根据三角形面积公式得出y关于x的函数表达式即可； （2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可； （3）分别求出 经过，，时，b对应的值，然后画图分析即可求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形 中， ， ． ∴， ， ∵点为边的中点， ∴ ， 当时， 过E作于F， ∵， ∴， ∴ ； 当 时， 过C作于G， ∴ ， ∴ 综上， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当 经过时， ，解得 ， 当 经过时， ，解得， 当 经过时， ，解得， 画图分析 当时，一次函数 与 的图象有且仅有2个交点． 22. 除夕当天，小南和小津相约同时从家出发前往外婆家吃年夜饭．如图，小南从家 处出发步行至小青家 处，再步行到达正东方向的朝旭百货 处，最后步行到达外婆家 处．小津从家 处出发步行至商店处，再步行至外婆家．已知 在 的东北方向，且米，米， 在的正北方向，且在 的北偏西方向，既在 的南偏东方向，又在 的南偏西方向，且米， 在 的正东方向．（参考数据：，， ， ） （1）求小津家 处与商店处的距离；（结果保留根号） （2）小南步行的平均速度为90米/分，小津步行的平均速度为60米/分，请计算说明小南和小津谁先到达外婆家．（结果精确到 ） 【答案】（1）米 （2）小津先到达外婆家；计算见解析 【解析】 【分析】（1）连接 ，延长 交 于点G，过点B作 于点H，证明四边形 为矩形，得出米， ，解直角三角形得出米， 米，米，米，即可得出答案； （2）根据解析（1）中求出的相关结果，分别求出小南需要的时间，小津需要的时间，然后再进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接 ，延长 交 于点G，过点B作 于点H，如图所示： ∵ 在的正北方向， 在 的正东方向， ∴ ， ∵ ， 在 的正东方向， ∴四边形 为矩形， ∴米， ， ∵ 在 的东北方向， ∴， ∴（米）， （米）， ∴米， ∵ 在 的北偏西方向，E在 的南偏西方向， ∴， ， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∵在 的南偏东方向， ∴， ∴（米）， 答：小津家 处与商店处的距离米； 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知：米，米， ∴小南需要的时间为： （分钟）， 小津需要的时间为： （分钟）， ∵， ∴小津先到达外婆家． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握三角形函数的定义，是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于 ， 两点，且点 在 轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交 轴于点，点 是直线上一动点，过点 作轴交 轴于点，连接 ，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线 方向平移，使得新抛物线的对称轴为 轴，点是线段上一点，连接 ，过点作交新抛物线于点 ，且点 在 轴上方，连接 ，当时，直接写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点 在 轴上且在直线上，求出点 坐标，再代入求解即可； （2）求出 坐标，则设 ，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着 方向平移个单位长度，得到线段 ，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、 、 依次共线时，最小，求解即可； （3）过点 作轴于点，利用新抛物线的对称轴为 轴，得出相当于抛物线水平向右平移个单位，再向下平移个单位，求出新抛物线解析式，再利用，求出，分两种情况：当点在 轴左侧时，和当点在 轴右侧时，分别构造一线三垂直相似，设，，表示出相似三角形各线段长，利用相似比为进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点 为直线与抛物线的交点，且点 在 轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设 ， ∵轴交直线于点，交 轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当 时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交 轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着 方向平移个单位长度，得到线段 ，连接 ， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、 、 依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，过点 作轴于点， ∴，， ∴， ∵将抛物线沿射线 方向平移， ∴利用相似可知平移相当于水平向右平移，再向下平移，向右和向下平移的距离比为 ， ∵新抛物线的对称轴为 轴，且原抛物线的对称轴为直线 ， ∴相当于抛物线水平向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴新抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在 轴左侧时，过点作轴于点 ，过点 作轴交于点 ，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，，，， ∴， 解得：，， ∴, 则； 当点在 轴右侧时，过点作轴于点 ，过点 作轴交于点 ，如图， 同理， ∴， 设，， 则，，，， ∴， 解得：，或（舍）， ∴， 则； 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数表达式，一次函数的图象与性质，（架桥铺路）最值问题，三角函数，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题，等角问题是解题的关键． 24. 已知，在等腰 中， ， ． （1）点 为平面上一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接交于点 ． ①如图1，若点 在边上，且点 为中点，求 的长度； ②如图2，连接 ，若点 ， ，三点共线，且满足，请猜想线段，， 之间的数量关系，并证明： （2）如图3，点在线段上，连接 ，以 为直角边在 上方作等腰直角，且，点P，Q，R分别为，，的中点，连接，， ，，将 绕点 逆时针旋转得，连接，，当且取得最小值时，直接写出的值． 【答案】（1）①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①令 交于 ，由等腰直角三角形的性质可得，，由旋转的性质可得 ，，求出垂直 ，u 、 为等腰直角三角形，从而可得， ，证明，得出，结合，得出 ，，再由勾股定理计算即可得解；②由旋转的性质可得 ，，在上截取，过点作交于 ，证明，得出，，证明，得出，从而即可证明，得出，即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，从而可得 、 、、 四点共圆，由圆周角定理可得，令点 的轨迹为，作点 关于的对称点，连接，则由轴对称的性质可得，从而可得，当 、 、共线时，最小，作于 ，连接 ，作交 的延长线于，作于，证明，得出，，从而得出，，证明 是的中位线，得出，，进而可得，证明，可得，，，进而可得，，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，结合勾股定理可得，，进而可得，证明，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，令 交于 ， ∵在等腰 中， ， ， ∴，， 由旋转的性质可得： ，， ∴， ∴垂直 ， ∴， ∴ 、 为等腰直角三角形， ∴， ， ∵ 为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ，， ∴； ②，证明如下： 由旋转的性质可得： ，， 如图，在上截取，过点作交于 ， ， ∵， ， ∴， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在等腰 中， ， ， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴ 、 、、 四点共圆， ∵， ∴ 为直径， ∴， 令点 的轨迹为， 作点 关于的对称点，连接， 则由轴对称的性质可得：， ∴，当 、 、共线时，最小， 作于 ，连接 ，作交 的延长线于，作于， ∵点为的中点， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵为的中点， ∴， ∴ 是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由圆周角定理可得：， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度春季学期开学考试 九年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列蛇年剪纸图片中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 4. 如图，将直尺和 的三角尺叠放在一起，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点 为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列图形由多个完全相同的●组成，第一个图形如图①有5个●，第二个图形如图②有11个●，第三个图形如图③有19个●，…，以此类推，第11个图形中●的个数为（ ） A. 131 B. 132 C. 155 D. 156 7. 估计的值应在（ ） A. 18到19之间 B. 19到20之间 C. 20到21之间 D. 21到22之间 8. 如图，已知点 为矩形 的对称中心，，，以 为圆心，为半径作扇形，点为的中点，连接 ，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 中， ，连接 ，， 平分交 于，过作交 于，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 2025年春节期间，重庆洪崖洞景区接待游客超人次，将数据用科学记数法表示为__________． 12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“允”，“公”，“允”，“能”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的汉字是“允”和“公”的概率是__________． 13. 如图，在四边形 中，对角线 ，交于点 ，在 边上有一点，连接， ，是以 为底的等腰三角形，且，若 ，，则 __________． 14. 若关于 的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 15. 如图，内接于 ，是 的直径，是 的切线，点为切点，点在的延长线上， ，，垂足分别为点 ， ，连接 ．若，，则 _______，____________________． 16. 一个四位自然数，如果 的千位数字和十位数字组成的两位数与 的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72，那么就称这个数为“72变数”．把“72变数” 的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数2493，，是“72变数”，且．则最小的“72变数”是__________，若是“72变数”，且，则满足条件的所有的和为__________． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，每小问各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）化简求值：，其中，满足． 18. 传播科学知识，讲好科学故事．近期我校举办了第三届科普讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：（ 组：； 组：； 组：；组：；单位：分）． 九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99． 八年级10名同学中成绩在 组中的数据为：84：在 组中的数据为：90，92，93，93．根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级所抽学生大赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.8 93 32.56 九年级 90.8 92 31.92 八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图 （1）上述图表中 ____， ____， ____； （2）根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的科普讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校八、九年级各有300名同学参加了此次科普讲解大赛，估计我校八、九年级参加此次科普讲解大赛成绩在组的学生人数是多少？ 19. 在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点 作 的切线交 延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）完成下列证明过程： 为 的切线， ①_____（圆的切线垂直于过切点的半径） ， 即． ②_____， ． 又， ． ， ③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ， ， ④_____ 即． 在探索过程中，我们还发现 ，即圆的弦切角等于所对的⑤______． 20. 临近春节，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的福字和对联，每副对联的进价比每张福字的进价高5元． （1）求一张福字和一副对联的进价分别是多少元？ （2）这批福字和对联很快被一抢而空，该商店计划再购进一批福字和对联，此时每张福字的进价上涨了元，购进福字的数量在第一次的基础上减少了 张：对联的进价不变，购进对联的数量在第一次的基础上减少了副，总花费1100元，求的值． 21. 如图1，在平行四边形 中，， ， ．点为边 的中点，动点从点 出发，沿折线 方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接 ，．设点的运动时间为 秒，记为． （1）请直接写出关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数 与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 22. 除夕当天，小南和小津相约同时从家出发前往外婆家吃年夜饭．如图，小南从家 处出发步行至小青家 处，再步行到达正东方向的朝旭百货 处，最后步行到达外婆家处．小津从家 处出发步行至商店处，再步行至外婆家．已知 在 的东北方向，且米，米， 在的正北方向，且在的北偏西方向，既在 的南偏东方向，又在的南偏西 方向，且米， 在 的正东方向．（参考数据：，， ， ） （1）求小津家 处与商店处的距离；（结果保留根号） （2）小南步行的平均速度为90米/分，小津步行的平均速度为60米/分，请计算说明小南和小津谁先到达外婆家．（结果精确到 ） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于 ， 两点，且点 在 轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线 上方抛物线上一点，过点作轴交直线 于点，交 轴于点 ，点 是直线 上一动点，过点 作轴交轴于点 ，连接 ，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线 方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，点是线段 上一点，连接 ，过点作交新抛物线于点 ，且点 在 轴上方，连接 ，当时，直接写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 坐标的其中一种情况的过程． 24. 已知，在等腰 中， ， ． （1）点 为平面上一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接交 于点． ①如图1，若点 在边 上，且点为 中点，求 的长度； ②如图2，连接 ，若点 ， ， 三点共线，且满足，请猜想线段，， 之间的数量关系，并证明： （2）如图3，点在线段 上，连接 ，以 为直角边在 上方作等腰直角，且，点P，Q，R分别为 ， ，的中点，连接，，，，将 绕点 逆时针旋转 得，连接，，当且取得最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $