3.9 弧长及扇形的面积 同步训练 -2024-2025学年北师大版 九年级数学下册

3.9 弧长及扇形的面积 一、选择题： 1.已知扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的弧长为(    ) A. B. C. D. 2.如图，点，，在半径为的上，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为(    ) A. B. C. D. 4.西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为，圆心角，则的长度为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知是的弦，为上的一点，于点，若的半径为，，则弧长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，为的直径，点在上，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为    ． A. B. C. D. 8.如图，与菱形的边相切于点，点，在上若，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.半径为，圆心角为的扇形面积是__________． 10.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图是陈列在展览馆的仿真模型图是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则 ______． 11.一个圆锥的底面半径是，则圆锥侧面展开图的扇形的弧长为______． 12.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为___________． 13.如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为______结果保留 14.如图，长方形的长为，宽为，以点为圆心，为半径作圆与的延长线交于点，以点为圆心，为半径作圆与交于点则阴影部分的面积为          结果保留 15.如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点若，则的长为          ． 三、解答题： 16. 如图，在正方形网格中，点，，均在格点上． 将绕点顺时针旋转，得到，请在图中作出． 设网格中小正方形边长为，求上题中点运动到点的路径长． 17.如图，在平面直角坐标系中画一个的网格，一条圆弧经过格点． 在图中标出所在圆的圆心的位置，圆心的坐标为_____； 所在圆的半径为_____，的长度为_____； 下列各点与点的连线中，与所在圆相切的是_____填序号．点，点，点，点． 18.某学校开设劳动课程，学生加工制作了某种零件，零件的截面如图所示．直线、都与相切，切点分别为、，，四边形为矩形，，，，到直线和直线的距离均为． 求； 求； 求图中阴影部分的面积． 19.如图，是正三角形． 用直尺和圆规作它的外接圆保留作图痕迹． 在的条件下，连结，若，求扇形的面积． 20.如图，是以的边为直径的圆，，，与交于点． 求证：是的切线； 求阴影部分面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了弧长公式．根据直接求解即可得到答案． 【详解】解：扇形的半径为，圆心角为， ， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：， ， 的长， 故选：． 先求出圆心角的度数，再根据弧长公式求出的长度即可． 本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键． 3.【答案】  【解析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：扫过的面积为 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查弧长的计算．根据弧长公式代入计算即可． 【详解】根据弧长公式， 可得的长度为． 故选： 5.【答案】  【解析】解：如图，连接， ， ， ， ，， ， 弧长为 故选：． 6.【答案】  【解析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，推出是等腰直角三角形，求得，利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接， 为的直径，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 的长为， 故选：． 7.【答案】  【解析】沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，，．，四边形是菱形． 如图，连接交于点，， 是等边三角形，， ． ，，，， 图中阴影部分的面积故选B． 8.【答案】  【解析】解：如图连接，，，，． 四边形是菱形， ，， 在和中， ， ≌， ， 点在菱形的对角线上， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：． 如图连接，，，，证明≌，推出，推出点在菱形的对角线上，再根据求解即可． 本题考查切线的性质菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键． 直接利用扇形面积公式求出即可． 【解答】 解：半径为，圆心角为的扇形的面积为： 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：的周长为， 顺时针转动周时，点移动的弧长为， ， 解得， 故答案为：． 利用弧长公式根据点移动的弧长个周长，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为：， 圆锥侧面展开图扇形的弧长为：． 故答案为：． 根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可． 此题主要考查了圆锥侧面展开图与圆锥各部分对应情况，这个问题在中考中是重点题型． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是旋转的性质，弧长的计算，熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义是解题的关键由已知的扇形的圆心角为，圆的半径为，代入弧长公式即可求出弧长的长． 【解答】 解：每个小正方形的边长都为， ， 将绕点顺时针旋转得到，  ， 点运动的路径 则的长． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了矩形的性质和扇形及三角形的面积公式． 连接，如图，根据四边形为矩形及切线的性质得，，易得四边形为正方形，先利用扇形面积公式，利用计算由弧、线段、所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积． 【解答】 解：连接，如图， 四边形为矩形， ， 以为直径的半圆与相切于点， ，， 四边形为正方形， 由弧、线段、所围成的面积， 阴影部分的面积． 故答案为． 14.【答案】  【解析】本题考查整式的加减运算，圆的面积公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据，结合圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 所以 故答案为：． 15.【答案】  【解析】先得到为等边三角形，则可得，那么，则，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：如图， 折叠， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 的长：， 故答案为：． 16.【答案】【小题】 解：如图所示，即为所求； 【小题】 解：由题意得，， 的长为， 点运动到点的路径长为．   【解析】  本题主要考查了画旋转图形，求弧长： 根据网格的特点确定、对应点的位置，描出，再顺次连接、即可；   求出的长即可得到答案． 17.【答案】【小题】 解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 【小题】 解：由勾股定理得，，，， 所在圆的半径为，， ． 的长度为． 故答案为：． 【小题】 解：如图，设点，分别连接， ，即与不垂直， 点与点的连线与所在圆不相切， 点不符合要求； 如图，设点，分别连接， ，即与不垂直， 点与点的连线与所在圆不相切， 点不符合要求； 如图，设点，分别连接， ，即与垂直， 点与点的连线与所在圆相切， 点符合要求； 如图，设点，分别连接， ，即与不垂直， 点与点的连线与所在圆不相切， 点不符合要求； 故答案为：． 【解析】  分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求．  由勾股定理以及勾股定理的逆定理可得所在圆的半径为，，再利用弧长公式计算即可．  结合切线的判定及勾股定理的逆定理进行分别判断，可得答案． 18.【答案】【小题】 解：如图所示，过点作于点， ，四边形为矩形， ，， ， 到直线和直线的距离均为． ， 是等腰直角三角形， ， ， 【小题】 过点作，于点，连接，设交于点， 依题意，  是的切线， ， 是的切线， 又， 是等腰直角三角形， ，， 设的半径为，则， ， 又 解得：，即 【小题】 解：图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积， ，则， ．   【解析】  过点作于点，根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据平行线的性质，即可求解；   过点作，于点，连接，设交于点，设的半径为，根据得出，即可求解；   根据图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积，即可求解． 19.【答案】【小题】 解：作图如图所示，即为所求作的的外接圆． 【小题】 解：， 扇形的面积为．   【解析】  本题考查了作图线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理和扇形的面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质和扇形的面积公式是解题的关键． 作线段和的垂直平分线，它们的交点为，然后以点为圆心，为半径画圆即可；   根据圆周角定理得到，再利用扇形面积公式即可解答． 20.【答案】【小题】 ， 是以的边为直径的圆， 是的切线； 【小题】 如图所示，连接 ， 阴影部分面积．   【解析】  此题考查了切线的判定，等边对等角，求弓形面等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据等边对等角得到，然后求出，即可证明；   如图所示，连接，首先求出，，然后根据阴影部分面积代数求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$