3.8圆内接正多边形 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

3.8圆内接正多边形 一、选择题： 1.正十边形的中心角是(    ) A. B. C. D. 2.正多边形的一个外角是，则这个多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，点为正六边形的中心，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，正五边形内接于，为上的一点点不与点重命，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.两个边长为的正六边形按如图所示方式放置，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 6.如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是：(    )    该圆的半径为； 的长为； 平分； 连接，，则与的面积比为． A. B. C. D. 7.正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是(    ) A. 把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形 B. 把圆等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形 C. 各边相等并且各角也相等的多边形是正多边形 D. 用量角器等分圆是一种简单而常用的方法 8.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为          ． 10.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为          ． 11.如图，正六边形内接于，它的内切圆半径为，则正六边形的边长为______． 12.如图，在正五边形中，连接，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，则的度数是______ 13.两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则           14.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是          ． 15.如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为          ． 三、解答题： 16. 【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题如图是由正方形镶嵌而成的图案，图是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 填写表中空格： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 ______ ______ 如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有______． 正三角形 正五边形 正六边形 正七边形 正八边形 【拓展应用】 如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有个正三角形和个正六边形，求和的值． 17. 如图，用无刻度的直尺和圆规分别作出的内接正十二边形、正方形和正三角形不写作法，保留作图痕迹． 18.某个正多边形的每一个内角都比其相邻外角的倍还多，那么这个正多边形的内角和是多少 19.如图，已知等边，请用直尺不带刻度和圆规按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹 作的外心 设是边上一点，在图中作出一个正六边形，使点、点分别在边和上． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 根据正多边形的中心角定义可知：正边形的中心角为，则代入求解即可． 此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，掌握中心角的求法是解题的关键． 【解答】 解：正十边形的中心角为：． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：正多边形的外角和是， 正多边形的一个外角是， 多边形的边数为：， 故选：． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数即可． 此题考查了多边形的内角和外角的关系，熟记正多边形的边数和外角的关系是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正六边形的性质；熟记正六边形的中心角的计算方法是解题的关键． 由正六边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】 解：点是正六边形的中心， ， ， ． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接，． 是正五边形， ， ， 故选B． 5.【答案】  【解析】如图所示，设左边正六边形的中心为，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，得到、、三点共线，求出，得到，则，再由，可得． 【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为，连接， ， 是等边三角形， ， 正六边形的一个内角度数为， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】先求出，进而证明是等边三角形，则，由此即可判断；求出，则的长为：，即可判断；求出，再求出，即可推出，由此即可判断；过点作交延长线于点，交延长线于点，求出，则，设交于点，求出，则，，则，再证明，则，即可判断． 【详解】解：根据题干补全图形，连接，    根据内接正六边形的性质可知：，， 是等边三角形， ，即圆的半径为，故正确； 根据内接正方形的性质可知：， 的长为：，故错误； ，， ， ，， ， ， ， ， 平分，故正确； 过点作交延长线于点，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， 设交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 因此正确的结论： 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是：把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形． 故选：． 根据正多边形的作法，是作圆的内接正五边形，即可作出判断． 本题考查了正多边形的作图，正确理解是作圆的内接多边形是关键． 8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设的半径为，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可． 【解答】解：设圆的半径为，则内接正方形的边心距为， 内接正三角形的边心距为， 故． 11.【答案】  【解析】解：连接，，过作于， 正六边形内接于，它的内切圆半径为， ，， ， 是等边三角形， ， 答：正六边形的边长为， 故答案为：． 连接，，过作于，由正六边形内接于，它的内切圆半径为，得到，，求得根据等边三角形的性质得到结论． 本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据正五边形的内角和得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键． 13.【答案】  14.【答案】  【解析】【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图：    是正三角形， ， 的长为：， “莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图：  六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ， ， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 16.【答案】      【解析】解：正三角形的每一个内角的度数为， 正方形的每一个内角的度数为， 正五边形的每一个内角的度数为， 故答案为：，； 由的方法可求出， 正三角形的每一个内角的度数是， 正五边形的每一个内角的度数是， 正六边形的每一个内角的度数是， 正七边形的每一个内角的度数是， 正八边形的每一个内角的度数是， 由于，，， 所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形， 故答案为：； 由题意得，、满足的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 答：和是值为或． 根据正多边形的内角的计算方法进行计算即可； 求出正三角形、正五边形，正六边形，正七边形，正八边形的内角度数，再根据“密铺”的性质进行计算即可； 求出的正整数解即可． 本题考查正多边形和圆以及平面镶嵌，掌握正多边形内角的计算方法以及平面镶嵌的性质是正确解答的关键． 17.【答案】如图   18.【答案】解：设内角是，外角是， 则得到一个方程组， 解得． 而多边形的外角和是， 则多边形内角和中的外角的个数是， 则这个多边形的边数是边形，内角和为． 故这个多边形的边数为，内角和为．  【解析】本题根据多边形的内角与外角的关系转化为方程组的问题，并利用了多边形的外角和与内角和定理；已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容． 一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的倍还多，又由于内角与外角的和是度．设内角是，外角是，列方程组求解，再根据多边形的外角和与内角和定理求解． 19.【答案】解：如图，点为的外心． 如图，正六边形即为所求．   【解析】【分析】本题考查尺规作图复杂作图，等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，正多边形的计算． 根据垂直平分线的作法作出，的垂直平分线交于点即为所求； 过点作交于，分别以，为圆心，长为半径作圆弧交于，交于，过点作交于，过点作交于，六边形即为所求正六边形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$