3.5 确定圆的条件同步练习 2024-2025学年北师大版 九年级数学下册

3.5 确定圆的条件 一、选择题： 1.若的半径为，点在内，则的长可能是(    ) A. B. C. D. 2.是的外接圆，则点是的(    ) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 3.如图，内接于，为的直径，的平分线交于点，连接，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，的顶点均在上，，，则的半径为(    ) A. B. C. D. 5.如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点即小正方形的顶点、，使为的外心，则的长度是(    ) A. B. C. D. 6.如图，等边边长为，、分别是边、上两个动点且分别连接、，交于点，点为的中点，为上一动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，弦的长为，点在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是(    ) A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 二、填空题： 8.若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 9.如图，已知点在格点的外接圆上，连接，，则的正切值为_____． 10.如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为          ． 11.已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是          ． 12.已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为______． 13.在平面直角坐标系中，以为圆心的圆的半径为若抛物线的图像与有且只有一个公共点，则          ． 三、解答题： 14. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，连接和． 若，，求的值； 以点为圆心，为半径作当，旋转角为时，判断直线与的位置关系并说明理由． 15. 你可以用哪些办法来确定一个圆形纸片的半径？ 16. 如图，是半圆的直径，点为圆心，是半圆上一点，连接． 用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点，使得保留作图痕迹； 在的条件下，连接，，若，，求四边形的面积． 17.如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． 画出的外接圆圆心． 连结，，则的长为________． 18.如图，以为直径作的外接圆，的角平分线交于点，连接若，求的度数； 若，，求与的长． 19.已知，如图，点为上的一点． 用没有刻度的直尺和圆规作一个的内接正三角形保留作图痕迹并标出、； 若半径为，则三角形的面积为____________． 答案和解析 1.【答案】  【解析】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为， 所以的长小于， 因为，所以选项A符合题意， 故选A 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了三角形的外接圆与外心有关知识，根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【解答】 解：是的外接圆， 点是的三条边的垂直平分线的交点． 故选A． 3.【答案】  【解析】解：为的直径， ， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据角平分线的定义得到，推出是等腰直角三角形，于是得到， 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形 的判定和性质，熟练掌握 4.【答案】  【解析】解：连接并延长交于，连接， 则，， ， 的半径为． 故选：． 连接并延长交于，连接，则，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的外接圆与外心，正确的作出辅助线是解题的关键． 5.【答案】  【解析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点和点的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    点为的外心， ，点和点的位置如图所示， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的性质、轴对称的性质、三角形的三边关系、矩形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握圆的性质和轴对称的性质． 根据等边的性质和可得≌，进而可知，从而找到了点的运动轨迹，作关于的对称点，与交于点，连接、，则可得到当点、、共线时最小，最小值为，接着在中计算，则，计算即可得到答案． 【解答】 解：如图，以为底边作等腰，其中，以为圆心作圆，作关于的对称点，与交于点，连接、，延长，过作于， 在等边中，，， ， ≌， ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， ， ， 由对称可知：，， 则， 当点、、共线时最小，最小值为， 等腰中， ， ， 则四边形为矩形，，， 点为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当点在直线上时，， 则当时，点，，不能确定一个圆， 故答案为：． 利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三点确定一个圆解答即可． 本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 9.【答案】  10.【答案】  【解析】解：从图形可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 如图连接，作线段和线段的垂直平分线分别为、，两线交于点，则点是圆弧的圆心，如图， 点的坐标是， 故答案为：． 根据图形得出、、的坐标，再连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，最后求出点的坐标即可． 本题考查了确定圆的条件，坐标与图形的性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心的位置是解此题的关键． 11.【答案】点在外  【解析】【分析】根据点在圆上，点在圆外，点在圆内，即可得到答案． 【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是点在外， 故答案为：点在外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上，点在圆外，点在圆内是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：是的内接正三角形， ， 过作于，连接，则长为边心距， 在直角中，， ． 故答案为：． 先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可． 本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键． 13.【答案】或  【解析】【分析】 解：当时，及抛物线的图像如图所示， 抛物线的顶点为，， 当抛物线的顶点在圆上时，抛物线的图像与有且只有一个公共点，此时； 当时，及抛物线的图像如图所示， 抛物线的顶点为，， 当抛物线的顶点在圆上时，抛物线的图像与有且只有一个公共点，此时， 综上，若抛物线的图像与有且只有一个公共点，则的值为或． 【解答】 本题考查二次函数的图象与圆的交点个数问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，根据题意解答即可． 14.【答案】解：将绕点逆时针旋转一定的角度，得到， ，，， ，， ∽， ， ，， ； 直线是的切线，理由如下： 将绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， ， 是半径， 直线是的切线．  【解析】证明∽，可得，即可求解； 由旋转的性质可得，，，可证，即可求解． 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明三角形相似是解题的关键． 15.【答案】解：如图中，根据度的圆周角所对的弦是直径，作出两条直径，两条直径的交点即为圆心，即可确定半径的长． 如图中，根据垂径定理，作弦，的垂直平分线，交点即为圆心，即可确定半径的长．   【解析】利用圆周角定理，垂径定理确定圆心即可解决问题． 本题考查垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16.【答案】解：如图，点即为所求； 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积．  【解析】过点作交于点，点即为所求； 利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可． 本题考查作图复杂作图，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理，点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17.【答案】解：如图，点即为所求；  解：如图， ， ， 的长为：．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：为直径， ， ， ； 连接，如图， 平分， ， ，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，， 过点作于点，如图， ， ， 在中，，， ， ．  【解析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数，从而得到的度数； 连接，如图，利用角平分线的定义得到，再根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，，从而可利用勾股定理计算出；过点作于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，接着在中利用勾股定理计算出，然后计算得到的长． 本题考查了三角形的外接圆与外心，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理． 19.【答案】解：如图所示，即为所求： ．  【解析】【分析】 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 以为半径，在圆上依次截取得到圆的等份点，从而得到圆的三等份点，于是可作出的内接正三角形； 连接、，延长交于点，则，先求得，，据此知，，根据三角形的面积公式可得答案． 【解答】 解：见答案； 如图，连接、，延长交于点，则， ， ， 则，， ，， ． 故答案为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$