3.3 垂径定理 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

3.3 垂径定理 一、选择题： 1.如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则的长不可能为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，点在弦上，，，，则圆心到的距离是(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的直径，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于，两点，交于点，连接若，则等于(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为(    ) A. B. C. D. 5.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，请你帮忙计算纸杯杯底的直径为(    ) A. B. C. D. 6.如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 7.一根水管的截面如图所示．已知的半径，圆心到水面的距离是，则水面宽的长是    ． A. B. C. D. 8.如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心如果半径为，那么的弦长度为 A. B. C. D. 二、填空题： 9.如图，若的半径为，点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为，则弦的长为________． 10.如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______． 11.如图，在中，圆心到弦的距离为，，则的半径长为______． 12.王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为______． 13.如图，刘老师拍摄了一张美丽的日出照并将其冲刷成照片，测得照片中太阳被海平线截得的线段长为，太阳边缘上的点到海平线的最远距离也为，则照片中太阳的半径是          ． 14.图是民族英雄冯子材故居的一处圆形拱门，图是拱门的平面示意图，拱门底端宽米，拱门高米，拱门圆弧最低处距地面米，则拱门所在圆的半径是________米． 三、解答题： 15. 有一个长方体水槽，其长、宽、高之比为：：，其体积为． 求长方体水槽的长、宽、高． 将一个半径为的小球放入注满水的水槽中，当小球完全浸入水槽时，溢出水槽外的水的体积为水槽体积的，求该小球的半径取，结果精确到，球的体积公式为 16. 如图，在以点为圆心的两个圆中，大圆的弦交小圆于点，，求证：． 17.如圖，的直徑，弦於點，，求長度． 18.如图，考古专家在圆形残片上，作弦的垂直平分线，交弧于点，交弦于点． 求作此残片所在圆的圆心不写作法，保留作图痕迹 已知，，求中所作圆的半径． 19.某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度弧所对的弦的长为米，拱高弧的中点到弦的距离为米． 求该圆弧所在圆的半径； 在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端点米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：过作于，连接， ，， ， ， ，即． 故选：． 先过作于，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围． 本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2.【答案】  【解析】本题考查了垂径定理，作，可得，求出即可求解． 【详解】 解：作，如图所示： ， ， ， ， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是勾股定理，线段垂直平分线的性质和画法，垂径定理的有关知识，连接，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果． 【解答】 解：连接， 由作图可知：垂直平分， ， ，， ， ， ． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， ． 故选：． 利用垂径定理，勾股定理求解即可． 本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5.【答案】  【解析】解：如图，，过圆心，连接，， ， ， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 本题考查垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 6.【答案】  【解析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得：， 设，， ， 解得：， 即， 故选：． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】如果过作于，交折叠前的弧于，根据折叠后劣弧恰好经过圆心，根据垂径定理及勾股定理即可求出的长，进而求出的长． 【详解】解：如图，过作于，交折叠前的弧于，    根据折叠后劣弧恰好经过圆心，那么可得出的是， 直角三角形中，，， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出的长是解题关键． 首先过点作于点，再利用勾股定理求出即可． 【解答】 解：如图所示：过点作于点， 由题意可得：到圆心的最短距离为，即， 在中，， 则． 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：连接， 是的直径，弦于点， ， ， ， ， 故答案为：． 连接，根据垂径定理和勾股定理即可得到结论． 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：为圆心到弦的距离， ， ， 在中，，， ． 故答案为：． 先根据垂径定理得到，然后根据勾股定理计算出的长即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 12.【答案】  【解析】解：如图，取圆心点，连接． 设圆的半径为，则． ，， ， ， ， 在中利用勾股定理，得， ， ， 该圆形工件的半径为． 故答案为：． 取圆心点，连接设圆的半径为，则根据垂径定理求出，将含的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于的方程并求解即可． 本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，掌握垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理是解题的关键． 13.【答案】    【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解图示，确定圆心，掌握垂径定理，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，确定圆心，由垂径定理可得，设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，，，，连接，作垂直平分线交于点，则为圆心，连接，则， ， 设圆的半径为，则，， 在中，， ， 解得，， 照片中太阳的半径是， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：如图，取圆心为，连接，，过点作于点，并延长交于点， 设米，则米， 米， 米， ， 米， 在中，， ， 解得：， 故答案为． 15.【答案】解：有一个长方体的水池长、宽、高之比为：：，其体积为 ， 设长方体的水池长、宽、高为，，， ， ， ， 解得：， 长方体的水池长、宽、高为：，，； ， ， ， 答：该小球的半径为．  【解析】直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可； 利用球的体积公式，进而开立方求出即可． 此题主要考查了立方根的计算以及立方体体积公式，熟练记忆球体以及立方体体积公式是解题关键． 16.【答案】证明：过圆心作，垂足为点，在大圆中，，在小圆中，，，，．   17.【答案】解：连接， ， ， ， ， 在中，， ，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：如图所示： ，，， ， 设半径为，得： ， 解得：．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：垂直平分， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， 米． 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为米； 过点作于点，连接． 米， 米． ， 四边形为矩形， ，， 在中，米． 米， 米． 米． 即支撑杆的高度为米．  【解析】根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．在中，由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径； 过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则在中，，求出根据四边形为矩形即可得到答案． 此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，关键是矩形判定定理的应用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$