2024-2025学年八下数学第一次月考卷-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十六-十七章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列式子是二次根式的是（ ） A． 7 B． 3 8 C． 2 1x  D． a 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．6，7，8 B． 2 ， 3 ， 5 C．5，12，13 D．9，12，15 3．下列计算正确的是（ ） A． 9 3  B． 8 2 10  C．  25 5  D． 6 2 3  4．下列各式中是最简二次根式的是（ ） A． 3 B． 1 3 C． 1 3 D． 1 2 3  2 5．如图，某港口 P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方 向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它 们离开港口1.5小时后分别位于点 ,Q R处，此时两船的距离是（ ） A．32 海里 B．42 海里 C．40 海里 D．30 海里 6．如图， ABCV 的两个顶点A ，C均在数轴上，且 90ACB  ， 1 2 BC AC ，若点A 表示的数是 1 ，点C 表示的数是1，那么以点A 为圆心， AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A． 5 1 B． 5 C． 5 1 D． 5 1  7．化简 1a a   的结果是（ ） A． a  B． a C． a D． a 8．如图，在 ABCV 中， 6AB  ， 8AC  ， 10BC  ，点 D 为 AB上一点，将 BCD△ 沿CD所在直线折叠后， 点 B 的对应点 E 恰好落在CA的延长线上，则 AD的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D． 8 3 9．实数 a、b在数轴上的位置如图所示，且 a b ，则化简 2 2 22a a ab b   的结果为（ ） A． 2a b B． 2a b  C．b D． 2a b 3 10．有一个边长为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正 方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变 得“枝繁叶茂”，那么“生长”了 2024 次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．若要使二次根式 6 2x  有意义，则 x 的取值范围为 ． 12．若一个直角三角形的两直角边长分别是 5 和 12，则斜边长为 ． 13．比较大小3 2 15 ． 14．如图， 90ACB  ，以Rt ABC△ 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 1S ， 2S ， 3S ，且 3 12S  ， 2 8S  ， 则 1S 为 ． 15．对于任意不相等的两个实数m， n，定义一种运算来如下： m nm n m n    ※ ．例： 3 23 2 5 3 2     ※ ， 那么    5 4 12 13 ※ ※ ． 4 16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商 高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼 成的一个大正方形，若大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，直角三角形的两条直角边长分别为 m、 n，则mn  ． 17．已知 8, 6a b ab    ，则 b ab a a b   ． 18．如图，在 ABCD 中， 5AB  ，EF CD ，点 P是线段 EF 上的动点，连结 ,AP BP， 10ABPS  ．当 ABP 是以 AB为腰的等腰三角形时， BP的长为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算：   3 15 327 7 3 7 3 5       ． 20．先化简，再求值： 2 22 1 1 2 2 1 x x x x x x x         ，其中 3 2x   5 21．如图，四边形 ABCD 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为 1． (1)BC＝ ，AD＝ ，连接 BD，判断△ABD 的形状为 ； (2)求四边形 ABCD 的面积． 22．小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用 根细绳悬挂一个小球A ，小球A 可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近 小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点 B作 BC OA 于点C，（图中的A 、B、O、C在同一平面上）， 测得 2cmAC ， 8cmBC  ．求OB的长． 23．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台 EFGH ，其面积为 6400 平方米， 长为 128 米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 2 米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞 台 ABCD的总面积． 6 24．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点 A，E，D在同一条直线上， 90A D    ， AE CD a  ， AB ED b  ，BE CE c  ． (1)填空： BEC  ______ ，根据三角形面积公式，可得 BECV 的面积______；根据割补法，由梯形的面 积减去阴影部分的面积，可得 BECV 的面积______． (2)求证： 2 2 2a b c  ． 25．请阅读下列材料： 问题：已知 5 2x   ，求代数式 2 4 7 x x 的值． 小明根据二次根式的性质：  2a a ，联想到了以下的解题方法： 由 5 2x   得 2 5x   ，则 2( 2) 5x   ，即 2 24 4 5 4 1x x x x   ， ．把 2 4x x 作为整体，得： 2 4 7 1 7 6x x      ． 请回答下列问题： (1)已知 3 3x   ，求代数式 2 6 8x x  的值． 由 3 3x   得 3x   ，则  2 23 6 9x x x     ， 2 6x x   ，∴ 2 6 8x x   ； (2)已知 2 1 2 x  ，求代数式 3 2 5 4 x x 的值． 7 26．观察下列运算：      2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1              ；        2 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2              ；        2 2 1 4 3 4 3 4 3 4 3 2 3 4 34 3 4 3 4 3 4 3                ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 1 10 9   ， 1 1n n    （用含 n 的式子表示，n为正整数）． (2)化简： 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 225 223          ． 27．如图， ABCV 是边长为6cm的等边三角形，点 P，Q分别从顶点A ，B同时出发，点 P沿射线 AB运动， 点Q沿折线 BC CA 运动，且它们的速度都为1cm / s ，当点Q到达点A 时，点 P也随之停止运动．连接 PQ， PC，设点 P的运动时间为  st ． (1)当点Q在线段 BC上运动时， BQ的长为______ cm， BP的长为______ cm（用含 t的式子表示）； (2)当 PQ与 ABCV 的一条边垂直时，求 t的值； (3)在运动过程中，当 CPQ 是等腰三角形时，直接写出 t的值． 8 28．已知 ABCV ， AD是一条角平分线． (1)【探究发现】如图 1所示，若 AD是 BAC 的角平分线，可得到结论： AB BD AC DC  ． 小红的解法如下： 过点D作DE AB 于点 E，DF AC 于点 F ，过点A 作 AG BC 于点G， AD 是 BAC 的角平分线，且DE AB ，DF AC ， _________________，（_________________________________________） 1 2 1 2 ABD ADC AB DES S AC DF     △ △ ______________， 1 2 1 2 ABD ADC BD AGS BD S CDCD AG      △ △ ， AB BD AC DC   (2)【类比探究】如图 2所示，若 AD是 BAC 的外角平分线， AD与 BC的延长线交于点D． 求证： AB BD AC CD  (3)【拓展应用】如图 3所示，在 ABCV 中， 60BAC  ，BF、CE分别是 ABC 、 ACB 的角平分线且相 交于点D，若 2 2 ED CD  ，直接写出 FC BC 的值是__________． 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十六-十七章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三边能否构成直角三角形），熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能构成直角三角形，故选项符合题意； B. ，能构成直角三角形，故选项不符合题意； C. ，能构成直角三角形，故选项不符合题意； D. ，能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义、除法、加法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据二次根式的运算法则依次分析各选项即可作出判断． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 4．下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．进行解题即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 5．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：D ． 6．如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 表示的数是； 故选：A． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 8．如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理和逆定理，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．根据折叠可知：根据折叠得出，，证明为直角三角形，，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠可知：，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴的长为． 故选：D． 9．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 10．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理以及正方形的性质，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2024次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知， “生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2024次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2025； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．若要使二次根式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意，解得． 故答案为：． 12．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查勾股定理，本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长． 【详解】解：由题意得：斜边长， 故答案为：13． 13．比较大小 ． 【答案】/大于 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，要比较这两个二次根式的大小，只需要比较被开方数的大小即可； 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴, 故答案为：． 14．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键，属于基础题． 根据勾股定理直接代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 15．对于任意不相等的两个实数，，定义一种运算来如下：．例：，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．利用新运算的规定，将式子转化后利用实数的运算法则解答即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，，，进而可得． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， ∵小正方形的面积是1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 17．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18．如图，在中，，，点是线段上的动点，连结，．当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形、二次根式的应用，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况：①当时，②当时，过点作于点，先利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理求出，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①当时，是以为腰的等腰三角形； ②当时，是以为腰的等腰三角形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，的长为5或， 故答案为：5或． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算：． 【答案】 【详解】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．根据立方根，平方差公式，二次根式的混合运算计算即可． 解：原式 20．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 21．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)2；5；等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）连接BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出BC，AD的长，又因为，得到△ABD为直角三角形；又BD=AD，所以△ABD为等腰直角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD为直角三角形；△BCD为直角三角形；所以四边形ABCD的面积等于△ABD加上△BCD的面积，即可求解； 【详解】（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得： ， ， ∴， ， ∴BD=， ， ∴， ∴， ∴△ABD为直角三角形； 又因为：BD=AD=5， ∴△ABD为等腰直角三角形， 故答案为：2；5；等腰直角三角形． （2）由网格图，结合勾股定理可知： ， ， ∴， 所以△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积， =． 【点睛】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键． 22．小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键． 设的长为，由建立方程即可求解． 【详解】解∶设的长为，则， ， ， ，， 中，，即， 解得， 答∶ 的长为． 23．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 24．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 的面积， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积， 故答案为：，，； （2）证明：， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． 25．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即把作为整体，得： 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． 由得 ，则 ， ，∴ ； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；并将代入，得到x（x＋1），将它化为并将代入计算即可． 【详解】（1）由得， 则， ∴， ∴ 故答案为： （2）由得，则， ∴， ∴ ． 26．观察下列运算：； ； ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可；把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 27．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点也随之停止运动．连接，，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______，的长为______（用含的式子表示）； (2)当与的一条边垂直时，求的值； (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【分析】（1）根据路程，时间，速度关系求解即可； （2）分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； （3）如图4-1中，过点C作于点T，用t表示出，，再分三种情况分别画图，结合方程，三线合一，特殊位置可得答案． 【详解】（1）解：由题意，． （2）解：如图1中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴； 如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8； （3）解：如图，过点C作于点T， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，而， 当时，， ∴（不合题意舍去）． 当时，如图， 过作于，过作于， 由三线合一可得：，， ∵， ∴不合题意舍去， 当时，如图， 此时运动到的中点，为的中点，为的中点，， ∴， ∴， 如图4-2中，当时，过点P作于T， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为3或9． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 28．已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， 是的角平分线，且，， _________________，（_________________________________________） ______________，， (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证： (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________． 【答案】(1)，角平分线的性质； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； （3）在上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴（角平分线的性质） ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，角平分线的性质；； （2）证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P． ∵平分， ∴． ∴，， ∴； （3）在BC上取点G，使得，连接， ∵分别是的角平分线且相交于点D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由（1）知，， 设，，则，， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十六-十七章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 6．如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 9．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．若要使二次根式有意义，则x的取值范围为 ． 12．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为 ． 13．比较大小 ． 14．如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为 ． 15．对于任意不相等的两个实数，，定义一种运算来如下：．例：，那么 ． 16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 17．已知，则 ． 18．如图，在中，，，点是线段上的动点，连结，．当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算：． 20．先化简，再求值：，其中 21．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； (2)求四边形ABCD的面积． 22．小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 23．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 24．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 25．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即把作为整体，得： 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． 由得 ，则 ， ，∴ ； (2)已知，求代数式的值． 26．观察下列运算：； ； ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 27．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点也随之停止运动．连接，，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______，的长为______（用含的式子表示）； (2)当与的一条边垂直时，求的值； (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的值． 28．已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， 是的角平分线，且，， _________________，（_________________________________________） ______________，， (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证： (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十六-十七章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列式子是二次根式的是（ ） A． 7 B． 3 8 C． 2 1x  D． a 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如 ( 0)a a  的代数式叫做二次根式．当 0a  时， a表示 a的算术平方根；当 a小于 0 时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实 数根）． 【详解】解：A、 7 无意义，故本选项不符合题意； B、 3 8 的根指数是 3，不是 2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当 0a  时，根式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．6，7，8 B． 2 ， 3 ， 5 C．5，12，13 D．9，12，15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三边能否构成直角三角形），熟练掌握勾股定理的逆定理是解 2 题的关键． 利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 2 2 26 7 8  ，不能构成直角三角形，故选项A 符合题意； B.      2 2 22 3 5  ，能构成直角三角形，故选项B 不符合题意； C. 2 2 25 12 13  ，能构成直角三角形，故选项C 不符合题意； D. 2 2 29 12 15  ，能构成直角三角形，故选项D 不符合题意； 故选：A ． 3．下列计算正确的是（ ） A． 9 3  B． 8 2 10  C．  25 5  D． 6 2 3  【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义、除法、加法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据二次根 式的运算法则依次分析各选项即可作出判断． 【详解】解：A、 9 3 ，故该选项错误； B、 8 2 2 2 2 3 2    ，故该选项错误； C、  25 25 5   ，故该选项正确； D、 66 2 2   ，故该选项错误； 故选：C． 4．下列各式中是最简二次根式的是（ ） A． 3 B． 1 3 C． 1 3 D． 1 2 3  【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．（1）被开方数不含分母；（2）被 开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据 最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．进行解题即可． 【详解】解：A． 3 是最简二次根式，符合题意； B． 1 3 3 3  ，不是最简二次根式，不符合题意； 3 C． 1 3 33  ，不是最简二次根式，不符合题意； D． 1 2 3 6 33    ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 5．如图，某港口 P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方 向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它 们离开港口1.5小时后分别位于点 ,Q R处，此时两船的距离是（ ） A．32 海里 B．42 海里 C．40 海里 D．30 海里 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据方位角可得 1 2 90RPQ     ，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴ 1 2 45   ， ∴ 1 2 90RPQ     ， ∵“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5小时， ∴ 16 1.5 24PQ    （海里）， 12 1.5 18PR    （海里）， ∴ 2 2 2 224 18 30QR PR PQ     （海里）， 故选：D ． 6．如图， ABCV 的两个顶点A ，C均在数轴上，且 90ACB  ， 1 2 BC AC ，若点A 表示的数是 1 ，点C 表示的数是1，那么以点A 为圆心， AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A． 5 1 B． 5 C． 5 1 D． 5 1  4 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出 AC的长，勾股定理求出 AB的长， 再利用两点间的距离求出点 D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是 1 ，点 C表示的数是1， ∴ 2AC  ， ∵ 190 , , 2 ACB BC AC    ∴ 1BC  ， 2 21 2 5AB    ， 由作图可知： 5AD AB  ， ∴点 表示的数是 5 1 ； 故选：A． 7．化简 1a a   的结果是（ ） A． a  B． a C． a D． a 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解 此题的关键． 【详解】解：  2 21 1 1a a a a a a a                      ， 故选：B． 8．如图，在 ABCV 中， 6AB  ， 8AC  ， 10BC  ，点 D 为 AB上一点，将 BCD△ 沿CD所在直线折叠后， 点 B 的对应点 E 恰好落在CA的延长线上，则 AD的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D． 8 3 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理和逆定理，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的 关键．根据折叠可知：根据折叠得出 BD DE ， 10CE BC  ，证明 ABCV 为直角三角形， 90BAC  ， 5 设 AD x ，则 6DE DB x   ，根据勾股定理得出  2 2 26 2x x   ，求出 x 的值，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠可知：BD DE ， 10CE BC  ， ∴ 10 8 2AE CE AC     ， ∵在 ABCV 中， 6AB  ， 8AC  ， 10BC  ， ∴ 2 2 2AB AC BC  ， ∴ ABCV 为直角三角形， 90BAC  ， ∴ 180 90 90DAE     ， 设 AD x ，则 6DE DB x   ， 根据勾股定理得： 2 2 2DE AE AD  ， 即  2 2 26 2x x   ， 解得： 8 3 x  ， ∴ AD的长为 8 3 ． 故选：D． 9．实数 a、b在数轴上的位置如图所示，且 a b ，则化简 2 2 22a a ab b   的结果为（ ） A． 2a b B． 2a b  C．b D． 2a b 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得 0 ,a b a b   ，则 0a b+ < ，故 2 2 22a a ab b a a b b       ，即可作答． 【详解】解：由数轴得 0 ,a b a b   ， ∴ 0a b+ < ， 则 2 2 22a a ab b   a a b    a a b       a a b    b ， 6 故选：C． 10．有一个边长为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正 方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变 得“枝繁叶茂”，那么“生长”了 2024 次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理以及正方形的性质，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1 次后， 所有正方形的面积和是1 1 2  ；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是 2 1 3  ；可求出“生长”2024 次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知， “生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为1 1 2  ； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面 积之和为 2 1 3  ； ……； ∴经过 n 次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是 1n  ； ∴经过 2024 次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是 2025； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．若要使二次根式 6 2x  有意义，则 x 的取值范围为 ． 【答案】 1 3 x  【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，即可求解． 【详解】解：根据题意6 2 0x   ，解得 1 3 x  ． 7 故答案为： 1 3 x  ． 12．若一个直角三角形的两直角边长分别是 5 和 12，则斜边长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查勾股定理，本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长． 【详解】解：由题意得：斜边长 2 25 12 13   ， 故答案为：13． 13．比较大小3 2 15 ． 【答案】 /大于 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，要比较这两个二次根式的大小，只需要比较被开方数的大小即 可； 【详解】解：∵ 23 2 3 2 18   ， 又18 15 ， ∴ 18 15 ， ∴3 2 15 , 故答案为：． 14．如图， 90ACB  ，以Rt ABC△ 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 1S ， 2S ， 3S ，且 3 12S  ， 2 8S  ， 则 1S 为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键，属于基础题． 根据勾股定理直接代入计算． 【详解】解：∵ 90ACB  ， ∴ 2 2 2 12 8 4BC AB AC     ， ∴ 1 4S  ． 8 故答案为：4． 15．对于任意不相等的两个实数m， n，定义一种运算来如下： m nm n m n    ※ ．例： 3 23 2 5 3 2     ※ ， 那么    5 4 12 13 ※ ※ ． 【答案】 15 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题 的关键．利用新运算的规定，将式子转化后利用实数的运算法则解答即可． 【详解】解：原式    5 4 12 13 9 25 3 5 155 4 12 13               ， 故答案为： 15 16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商 高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼 成的一个大正方形，若大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，直角三角形的两条直角边长分别为 m、 n，则mn  ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得， 2 2 25m n  ， 2 1m n  ，进而可得 2 24mn  ． 【详解】解：∵大正方形的面积是 25， ∴ 2 2 25m n  ， ∵小正方形的面积是 1， ∴  2 1m n  ， ∴ 2 22 1m mn n   ， ∴25 2 1mn  ， ∴2 24mn  ， ∴ 12mn  ， 故答案为：12． 17．已知 8, 6a b ab    ，则 b ab a a b   ． 9 【答案】 26 6 3  【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式， 进行解答，即可． 【详解】解：∵ 8 0a b    ， 6 0ab   ， ∴ 0a  ， 0b  ， ∴ b ab a a b  2 2 ab abb a a b   b ab a ab a b    2 2b ab a ab ab ab    2 2b aab ab      2 2a b ab ab ab       28 2 6 6 6       26 6 3   ． 故答案为： 26 6 3  ． 18．如图，在 ABCD 中， 5AB  ，EF CD ，点 P是线段 EF 上的动点，连结 ,AP BP， 10ABPS  ．当 ABP 是以 AB为腰的等腰三角形时， BP的长为 ． 【答案】5或 2 5 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形、二次根式的应用，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种 情况：①当 5BP AB  时，②当 5AP AB  时，过点 P作 PQ AB 于点Q，先利用三角形的面积公式可得 10 4PQ  ，再利用勾股定理求出 3AQ  ，从而可得 2BQ  ，然后在Rt BPQ 中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①当 5BP AB  时， ABP 是以 AB为腰的等腰三角形； ②当 5AP AB  时， ABP 是以 AB为腰的等腰三角形， 如图，过点 P作 PQ AB 于点Q， ∵ 10ABPS  ， 5AB  ， ∴ 1 5 10 2 PQ  ， 解得 4PQ  ， ∴ 2 2 2 25 4 3AQ AP PQ     ， ∴ 5 3 2BQ AB AQ     ， ∴在Rt BPQ 中， 2 2 2 24 2 2 5BP PQ BQ     ； 综上，BP的长为 5或 2 5 ， 故答案为：5 或 2 5 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算：   3 15 327 7 3 7 3 5       ． 【答案】 4 【详解】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．根据立方根，平方差公式，二次根式的混合 运算计算即可． 解：原式   453 7 3 5      11 3 4 9    4  20．先化简，再求值： 2 22 1 1 2 2 1 x x x x x x x         ，其中 3 2x   【答案】 1 2x   ， 3 3  【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式      21 1 2 2 1 1 xx x x x x x          1 2 2 x x x x      1 2   x ， 当 3 2x   ，原式 3 3   ． 21．如图，四边形 ABCD 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为 1． (1)BC＝ ，AD＝ ，连接 BD，判断△ABD 的形状为 ； (2)求四边形 ABCD 的面积． 【答案】(1)2 5 ；5；等腰直角三角形 (2) 35 2 【分析】（1）连接 BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出 BC，AD 的长，又因为 2 2 2AB AD BD  ，得 到△ABD 为直角三角形；又 BD=AD，所以△ABD 为等腰直角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD 为直角三角形；△BCD 为直角三角形；所以四边形 ABCD 的面 积等于△ABD 加上△BCD 的面积，即可求解； 【详解】（1）解：连接 BD，由网格图，结合勾股定理可得： 12 2 22 4 4 16 2 5BC      ， 2 23 4 5  AD ， ∴ 2 25 25AD   ， 2 2 23 4 25BD    ， ∴BD= 25 5 ， 2 2 21 7 50  AB ， ∴ 2 2 25 25 50AD BD    ， ∴ 2 2 2AB AD BD  ， ∴△ABD 为直角三角形； 又因为：BD=AD=5， ∴△ABD 为等腰直角三角形， 故答案为：2 5；5；等腰直角三角形． （2）由网格图，结合勾股定理可知： 2 22 1 5CD    ，    2 22 2 2 5 5 25BC CD    ， ∴ 2 2 2BC CD BD  ， 所以△BCD 为直角三角形， ∴四边形 ABCD 的面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积， = 1 1 25 355 2 5+ 5 5=5+ = 2 2 2 2     ． 【点睛】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长 的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键． 13 22．小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用 根细绳悬挂一个小球A ，小球A 可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近 小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点 B作 BC OA 于点C，（图中的A 、B、O、C在同一平面上）， 测得 2cmAC ， 8cmBC  ．求OB的长． 【答案】17cm 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键． 设OB的长为 cmx ，由 2 2 2OB BC OC  建立方程即可求解． 【详解】解∶设OB的长为 cmx ，则 cmOA x ， 2cmAC  ， 2OC x   ， BC OA ， 8cmBC  ， Rt OBC △ 中， 2 2 2OB BC OC  ，即  22 28 2x x   ， 解得 17x  ， 答∶ OB的长为17cm ． 23．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台 EFGH ，其面积为 6400 平方米， 长为 128 米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 2 米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞 14 台 ABCD的总面积． 【答案】(1)5 2 米 (2)140平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为 6400 128 50 5 2   （米） 答：这个舞台的宽为5 2米； （2）解：装饰后矩形舞台 ABCD的总面积为      128 2 2 50 2 2 8 2 2 2 5 2 2 2 10 2 7 2 140        （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是140平方米． 24．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点 A，E，D在同一条直线上， 90A D    ， AE CD a  ， AB ED b  ，BE CE c  ． (1)填空： BEC  ______ ，根据三角形面积公式，可得 BECV 的面积______；根据割补法，由梯形的面 积减去阴影部分的面积，可得 BECV 的面积______． (2)求证： 2 2 2a b c  ． 【答案】(1)90， 2 1 2 c ， 2 1 2 c (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形 ABCD的面积，计算化简后，即可得出 2 2 2a b c  ． 【详解】（1）解： AE CD a  ， AB ED b  ， BE CE c  ， BAE ≌  SSSEDC ， ABE DEC   ， 15 90ABE AEB    ， 90AEB DEC   ， 90BEC  ， BEC 的面积 2 1 1 2 2 BE CE c   ， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得 BECV 的面积        2 2 2 2 21 1 1 1 12 22 2 2 2 2a b a b ab a ab b ab a b ab ab c              ， 故答案为：90， 2 1 2 c ， 2 1 2 c ； （2）证明： Rt ABE  ≌ Rt DEC△ ， AEB DCE   ， BE EC c  ， 90D   ， 90DCE DEC   ， 90AEB DEC   ， 90BEC  ， BEC 是等腰直角三角形， Rt ABE Rt CDE Rt BECABCDS S S S     梯形 ，   2 2 2 2 AB CD AD AE AB ED DC BE EC         ， 即    2 2 2 2 a b a b ab ba ca     ， 2 2 22 2 2 2 a ab b c ab     ， 2 2 2a b c   ． 【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． 25．请阅读下列材料： 问题：已知 5 2x   ，求代数式 2 4 7 x x 的值． 小明根据二次根式的性质：  2a a ，联想到了以下的解题方法： 由 5 2x   得 2 5x   ，则 2( 2) 5x   ，即 2 24 4 5 4 1x x x x   ， ．把 2 4x x 作为整体，得： 2 4 7 1 7 6x x      ． 请回答下列问题： 16 (1)已知 3 3x   ，求代数式 2 6 8x x  的值． 由 3 3x   得 3x   ，则  2 23 6 9x x x     ， 2 6x x   ，∴ 2 6 8x x   ； (2)已知 2 1 2 x  ，求代数式 3 2 5 4 x x 的值． 【答案】(1) 3 3 6 2，， ，； (2) 1 16 ． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练 掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由 2 1 2 x  得 2 1 2x   ，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到 2 1 4 x x  ；    3 2 2 25 1 14 4 44 4 4x x x x x x x x x x        并将 2 1 4 x x  代入，得到 x（x＋1）  1 1 4 x x  ，将它化为 21 ( ) 4 x x＋ 并将 2 1 4 x x  代入计算即可． 【详解】（1）由 3 3x   得 3 3x   ， 则 2 2( 3) 6 9 3x x x   ， ∴ 2 6 6x x   ， ∴ 2 6 8 2x x   故答案为： 3 3 6 2，， ， （2）由 2 1 2 x  得 2 1 2x   ，则  2 22 1 4 4 1 2x x x     ， ∴ 2 1 4 x x  ， ∴ 3 25 4 x x  21 4 44 x x x x    21 44 x x x x     1 14 4 4 x x        1 1 4 x x  17  214 x x  1 1 4 4   1 16  ． 26．观察下列运算：      2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1              ；        2 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2              ；        2 2 1 4 3 4 3 4 3 4 3 2 3 4 34 3 4 3 4 3 4 3                ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 1 10 9   ， 1 1n n    （用含 n 的式子表示，n为正整数）． (2)化简： 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 225 223          ． 【答案】(1) 10 9 ， 1n n  (2)7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则是解决 问题的关键． （1）把 1 10 9 的分子分母都乘以 10 9 ，然后利用平方差公式计算即可；把 1 1n n  的分子分 母都乘以 1n n  ，然后利用平方差公式计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； 【详解】（1）解： 1 10 9      1 10 9 10 9 10 9         2 2 10 9 10 9    10 9  ； 1 1n n  18      1 1 1 1 n n n n n n            2 2 1 1 n n n n      1n n   ； （2）解： 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 225 223                      3 1 5 3 7 5 225 223 3 1 3 1 5 3 5 3 7 5 7 5 225 223 225 223                  3 1 5 3 7 5 225 223 2 2 2 2           225 1 2   7 ． 27．如图， ABCV 是边长为6cm的等边三角形，点 P，Q分别从顶点A ，B同时出发，点 P沿射线 AB运动， 点Q沿折线 BC CA 运动，且它们的速度都为1cm / s ，当点Q到达点A 时，点 P也随之停止运动．连接 PQ， PC，设点 P的运动时间为  st ． (1)当点Q在线段 BC上运动时， BQ的长为______ cm， BP的长为______ cm（用含 t的式子表示）； (2)当 PQ与 ABCV 的一条边垂直时，求 t的值； (3)在运动过程中，当 CPQ 是等腰三角形时，直接写出 t的值． 【答案】(1) t，  6  t (2) 2t  或 4t  或 8t  (3) 3t  或 9t  【分析】（1）根据路程，时间，速度关系求解即可； （2）分三种情形：如图 1 中，当 PQ BC 时，如图 2 中，当QP AB 时，同法可得 2QB BP ，如图 3 中， 当PQ AC 时，同法可得 2AP AQ ，分别求解即可； （3）如图 4-1 中，过点 C作CT AB 于点 T，用 t表示出 2PC ，CQ，再分三种情况分别画图，结合方程， 19 三线合一，特殊位置可得答案． 【详解】（1）解：由题意 cmBQ t ，  6 cmPB t  ． （2）解：如图 1 中，当 PQ BC 时， ∵ 90PQB  ， =60B ， ∴ 30BPQ  ， ∴ 2PB BQ ， ∴6 2t t  ， ∴ 2t  ； 如图 2 中，当QP AB 时，同法可得 2QB BP ， ∴  2 6t t  ， ∴ 4t  ； 如图 3 中，当 PQ AC 时，同法可得 2AP AQ ， ∴  2 12t t  ， ∴ 8t  ， 综上所述，满足条件的 t的值为 2 或 4 或 8； 20 （3）解：如图，过点 C作CT AB 于点 T， ∵ ABCV 是等边三角形， ∴ 60A  ． ∵CT AB ， ∴ 3AT TB  ， ∴ 2 2 2 26 3 3 3CT AC AT     ， ∴    2 22 3 3 3PC t   ，而 6CQ t  ， 当PC CQ 时，      2 2 23 3 3 6t t    ， ∴ 0t  （不合题意舍去）． 当PC PQ 时，如图， 过A 作 AK BC 于K，过 P作 PN BC 于N， 由三线合一可得：CK BK ，CN QN ， ∵CN CK BK QN   ， ∴不合题意舍去， 当CQ PQ 时，如图， 21 此时 P运动到 AB的中点， P为 AB的中点，Q为 BC的中点，CP AB ， ∴ 3CQ BQ PQ AP BP     ， ∴ 3t  ， 如图 4-2 中，当PQ PC 时，过点 P作PT AC 于 T， ∵PC PQ ， PT CQ ， ∴CT QT ， ∴ 1 2 AT AQ TQ CQ   ， 同理可得： 1 1 2 2 AT AP t  ， ∴    1 112 6 2 2 t t t    ， ∴ 9t  ， 综上所述，满足条件的 t的值为 3 或 9． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形 30 度角的性质等知识， 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 28．已知 ABCV ， AD是一条角平分线． (1)【探究发现】如图 1所示，若 AD是 BAC 的角平分线，可得到结论： AB BD AC DC  ． 小红的解法如下： 过点D作DE AB 于点 E，DF AC 于点 F ，过点A 作 AG BC 于点G， AD 是 BAC 的角平分线，且DE AB ，DF AC ， _________________，（_________________________________________） 22 1 2 1 2 ABD ADC AB DES S AC DF     △ △ ______________， 1 2 1 2 ABD ADC BD AGS BD S CDCD AG      △ △ ， AB BD AC DC   (2)【类比探究】如图 2所示，若 AD是 BAC 的外角平分线， AD与 BC的延长线交于点D． 求证： AB BD AC CD  (3)【拓展应用】如图 3所示，在 ABCV 中， 60BAC  ，BF、CE分别是 ABC 、 ACB 的角平分线且相 交于点D，若 2 2 ED CD  ，直接写出 FC BC 的值是__________． 【答案】(1) DE EF，角平分线的性质； AB AC (2)见解析 (3)2 2 【分析】（1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可； （2）过点 D作DN BA 于 N，过点 D 作DM AC 于 M．过点 A作 AP BD 于点 P．利用角平分线的性质及 等面积法证明即可； （3）在 BC上取点 G，使得 BG BE ，连接DG，先利用全等三角形的判定得出 BDE BDG≌△ △ ， DCG DCF ≌ 再由其性质及前面的结论求解即可． 【详解】（1）解：过点 D 作DE AB 于点 E，DF AC 于点 F，过点 A 作 AG BC 于点 G， ∵ AD是 BAC 的角平分线，且DE AB DF AC ， ， ∴ DE EF（角平分线的性质） ∴ 1 2 1 2 ABD ADC AB DES AB S ACAC DF       ， 又∵ 1 2 1 2 ABD ADC B AGDS BD S CDCD AG    △ △ ， ∴ AB BD AC CD  ， 故答案为： DE EF，角平分线的性质； AB AC ； （2）证明：过点 D作DN BA 于 N，过点 D作DM AC 于M ．过点 A作 AP BD 于点 P． 23 ∵ AD平分 MAN ， ∴DN DM ． ∴ 1 2 1 2 ABD ADC AB DNS AB S ACAC DM       ， 1 2 1 2 ABD ADC BD APS BD S CDCD AP       ， ∴ AB BD AC CD  ； （3）在 BC 上取点 G，使得 BG BE ，连接DG， ∵BF CE、 分别是 ABC ACB 、 的角平分线且相交于点 D， ∴ DBE DBG  ， DCG DCF   ， 1 1180 180 60 120 2 2 BDC ABC ACB          ， ∵BD BD ， ∴ BDE BDG≌△ △ ， ∴ 60BDE BDG   ， ∴ 60BDG CDG   ， ∴DG是 BDC 的角平分线， ∴ 180 60CDF BDC    ， 在 DCG△ 与 DCF 中， CDF CDG DC DC DCG DCF       ， ∴ DCG DCF ≌ ， ∴FC GC ， 24 由（1）知， 2 2 DE BE DC BC   ， 设BE x ， 2BC x ，则 BG BE x  ，  2 1FC CG BC BG x     ， ∴  2 1 2 2 2 xFC BC x     ， 故答案为：2 2 ． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练 掌握运算角平分线的性质是解题关键．